第五章 第三节定积分的换元法和分部积分法 不定积分 「换元积分法 换元积分法 一定积分 分部积分法 分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第五章 二、定积分的分部积分法 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法
一、定积分的换元法 定理1设函数f(x)∈C[a,b],单值函数x=p(t)满足： 1)p(t)∈Cl[a,β]，p(a)=a,p(B)=b; 2)在[x,B]上a≤p(t)≤b, 则fxr=f[90lo④di 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在， 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[p(t)]是f[o(t)]p'(t)的原函数，因此有 ∫fx)dr=F(b)-F(a)=FLo(B】-FLo(a] =∫f[o]p')di 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、定积分的换元法 定理 1 设函数f ∈ baCx ,],[)( 单值函数 x = ϕ t)( 满足: ,],[)( 1 1) ϕ ∈Ct βα 2) 在 α β ],[ 上 a ≤ ϕ t ≤ b,)( ϕ α = ϕ β = ba ;)(,)( fxxf t b a d][d)( ∫∫ = β α ϕ t)( ϕ′ t)( 证 : 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是设 xfxF )()( 的一个原函数, 则 是 的原函数 , 因此有 ∫ b a d)( xxf = − aFbF )()( = F ϕ β )]([ − F ϕ α)]([ f d][ t ∫ = β α ϕ t)( ϕ′ t)( F ϕ t)( ][ f ϕ t)( ][ ϕ′ t)( 则
fxx=∫f[p】p'()dt 说明： 1)当B<,即区间换为[B,]时，定理1仍成立 2)必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回. 3)换元公式也可反过来使用，即 ∫fo0)o'0d=∫fx)dx(令x=p) 或配元〔fLo()]p'dt=f[()]dp( 配元不换限 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 1) 当 β < α , 即区间换为 β α],[ 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 xxf 令 = ϕ tx ))(( b a d)( ∫ = 或配元 ][ ∫ = β α f ϕ t)( ϕ t)(d 配元不换限 f d][ t ∫ β α ϕ t)( ϕ′ t)( fxxf t b a d][d)( ∫∫ = β α ϕ t)( ϕ′ t)( f d][ t ∫ β α ϕ t)( ϕ′ t)( 说明:
例1（补充题）计算心Va2-x2dr(a>0) 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0;x=a时，t=牙 原式=a2月cos21dr yy=va2-x2 -2J月0+cos2)a: 0 a x 2+2n2） 4 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 ).0(d 0 22 − > ∫ axxa a 解 : 令 = ax t ,sin 则 = ax t t ,dcosd 当 = 时 tx = ;0,0 ., 2 π = 时 tax = 2 ∴ 原式 = a tt a d)2cos1( 2 2 0 2 ∫ += π )2sin 2 1 ( 2 2 tt a += 0 2 π 4 2 π a = ∫ 2 0 π dcos tt 2 22 −= xay o x y a S 且 例 1（补充题）计算
2(龙题) dx. 解：令1=V2x+1,则r-2 ,dx=tdt,且 2 当x=0时，t=1;x=4时，t=3. -2 =32+3)d 好*30 2009年7月3日星期五 5 目录○ 上页 下页 返回○
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 .d 12 4 2 0 x x x ∫ + + 解 : 令 = xt + ,12 则 ,dd, 2 1 2 ttx t x = − = 当 x = 时,0 x = 时,4 t = .3 ∴ 原式 = tt t t d 3 2 1 2 1 2 ∫ + − d)3( tt 2 1 3 1 2 ∫ += )3 3 1 ( 2 1 3 += tt 1 3 3 22 = t = ;1 且 例2 （补充题）计算
例3（补充题）计算Vsin3x-sin5xdc 解：“f(x)=Vsin3x-sinx=cosx(sinx) ∫Vsinx-sin3xdk=∫lcosx(sinx)idk =位cosx(sinx)idk+打g(←cosx(sin)h (sinx)dsinx(sinx)dsinx am6如川音 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 例3 （补充题）计算 3 5 0 sin sin . x xdx π − ∫ 解 : 3 5 ∵ f ( ) sin sin x xx = − ( ) 3 cos s 2 = x in x 3 5 0 sin sin x xdx π ∴ − ∫ ( ) 3 2 0 cos x sin x dx π = ∫ ( ) 2 3 2 0 co s x sin x dx π = ∫ ( ) 3 2 ( cos ) x sin x x 2 d π + π − ∫ ( ) 3 2 0 sin x d2 sin x π = ∫ ( ) 3 2 sin x d2 sin x π − ∫π ( ) 2 0 5 2 2 sin 5 x π = ( ) 2 5 2 2 sin 5 x π π − . 5 4 =
例4设f(x)∈C[-a,a], 偶倍奇零 ()若f(-x)=(),则fx)dr=20f()dr 2)若f(-x)=-f(),则[，f(x)dx=0 证：，fx)dr=,fx)dr+∫f(x)dr =Sof(-t)dt+Sof(x)dx 令x=-t =∫Lf(-x)+f(x)]dx 了20f(x)dr,f(-x)=fx)时 10. f(-x)=-f(x)时 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 设 f ∈ − aaCx ,],[)( (1) 若 x ,)()( 证 : f − x = f ∫∫− = a a a xxfxxf 0 则 d)(2d)( = ∫− xxf a a d)( (2) 若 f − x = − f x ,)()( = 0d)( ∫− a a 则 xxf xxf a d)( 0 ∫− xxf a d)( 0 ∫ + ttf a d)( 0 ∫ −= xxf a d)( 0 ∫ + xxfxf a d])()([ 0 ∫ +−= ,d)(2 0 xxf a ∫ − = xfxf )()( 时 ,0 − = − xfxf )()( 时 偶倍奇零 令 = −tx = 例 4
例5计算 x°+2 av-x dx. 2 提示： x5+2 V1-x2 V1x2 V1-x2 奇函数 偶函数 例6设f(x)是以T为周期的周期函数，且f(x)连 续，试证：对任意的a, ∫f(x)dx=fx)d (解答见下页) 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 例 5 计算 1 5 2 1 2 2 2 d 1 x x x − + − ∫ . 提示： 5 5 222 2 2 111 x x x x x + = + − − − 奇函数 偶函数 例 6 设 f ( ) x 是以 T 为周期的周期函数， 且 f ( ) x 连 续，试证：对任意的 a ， 0 ( )d ( )d T a T a f x x f x x + = ∫ ∫ . （解答见下页）
解：∫fc)dx=心fax)r+∫fx)dx ∫'fax)=fa)dx+2fx)dr 即要证明∫f(x)dr=∫fx)dr对于定积分∫fx)d 作变量代换x=t+T, f)dx=+d=fdd 最后得到等式∫。fx)r=f(x)dr 这个等式说明连续的周期函数在任意一个以周期T 为长度的区间上的定积分都是相等的. 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 解： 0 0 ( )d ( )d ( )d a T a T f x x fx x fx x = + ∫∫∫ ( )d ( )d ( )d a T T a T a a T f x x fx x fx x + + = + ∫ ∫∫ ， 即要证明 0 ( )d ( )d a a T T fx x fx x + = ∫ ∫ ，对于定积分 ( )d a T T f x x + ∫ 作变量代换 x = +t T ， ( )d a T T f x x + ∫ 0 ( )d a = + f tTt ∫ 0 ( )d a = f t t ∫ 0 ( )d a = f x x ∫ 最后得到等式 0 ( )d ( )d T a T a f x x fx x + = ∫ ∫ T 这个等式说明连续的周期函数在任意一个以周期 T 为长度的区间上的定积分都是相等的
二、定积分的分部积分法 定理2设u(x),v(x)∈C[a,b],则 arxd=4xl2rs)r(d 证：[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) 两端在[a,b]上积分 4ww8-心aend+wwar ·(d=0a8i((e)dx 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 二、定积分的分部积分法 定理2 ,],[)(,)( 1 设 ∈ baCxvxu 则 xvxuxxvxu )()(d)()( b a ′ = ∫ a b ∫ − ′ b a d)()( xxvxu 证 : ∵ u x v x ′ = u′ x v x + u x v′ x)()()()(])()([ u x v x)()( a b xxvxuxxvxu b a b a = ′ + ′ d)()(d)()( ∫∫ ∫ ∴ ′ b a d)()( xxvxu = u x v x)()( a b ∫ − ′ b a d)()( xxvxu 两端在 ba ],[ 上积分