第九章 第二节对坐标的曲线积分 Curvilinear integral with respect to coordinate elements) 一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 四、小结与思考练习 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 1 目录 上页 下页 返回 第二节 对坐标的曲线积分 第九章 （Curvilinear integral with respect to coordinate elements) 一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 四、小结与思考练习
一、对坐标的曲线积分的概念 1.变力沿曲线所作功的计算y L:A→B, F(x,y)=P(x,y)i+e(x,y)j L /Mi Ax 常力所作的功W=F.AB. 分割A=M,M1(x1,1),Mn-(x-1,yn1),Mn=B. M-1M;=(△x)i+(△y)j. 2009年7月26日星期日 2 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 2 目录 上页 下页 返回 o x y A B L 一、对坐标的曲线积分的概念 Mn −1 Mi Mi−1 M2 M1 Δxi i Δy 1. 变力沿曲线所作功的计算 L A → B,: jyxQiyxPyxF G G = + ),(),(),( 常力所作的功 分割 .),(,),(, A = xMM y1110 " − xM − ynnn −111 n = BM .)()( 1 i i i i jyixMM G G − = Δ + Δ W = F ⋅ AB
取F(5,7)=P(5,7,)i+Q(5,7)j, F(5,n)。B M.M △W,≈F(5,7)M,-M, M 即△W,≈P(5,)△x,+Q(5,7)Ay 求和W=∑△W, 近似值 =1 ()-Av,+()-Av 取极限W=四∑IP(5,n,)A+(5,)△，小 精确值 2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 返回 求和 .]),(),([ 1 ∑= ≈ Δ⋅+Δ⋅ n i iii iii P ηξ Qx ηξ y .]),(),([lim 1 取极限 0 ∑= → = Δ⋅+Δ⋅ n i iii iii W P ηξ Qx ηξ y λ 近似值 精确值 jQiPF ,),(),(),( ii ii ii G G 取 = + ηξηξηξ 1 (, ) , W F MM i ii i i Δ≈ ⋅ ξ η − JJJJJJJG .),(),( i iiiiii 即 Δ ≈ ξ η Δ + ξ η ΔyQxPW ∑= Δ= n i WW i 1 o x y A B L M n−1 M i M i−1 M 2 M1 ),( F ξ i η i Δ xi i Δy
2.对坐标的曲线积分的概念 定义设L为xOy面内从，点A到点B的一条有向光 滑曲线孤，P(x,y)和Q(x,y)为定义在L上的有界函数. 在L上沿从点A到，点B的方向任意插入一点列M,(x,y) (i=1,2,.,n-1),将L分成n个有向小孤段 M,-M,（i=1,2,.,n;M=A,Mn=B) 记△x,=x,-x-1,Ay,=y-y1,在每个小孤段MM,上任 取一点(5，).如果当各小孤段的长度的最大值1→0时 极限im∑P(5,n,)△x,总存在，那么称此极限值为函数 i=1 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 4 目录 上页 下页 返回 2. 对坐标的曲线积分的概念 定义 设 L 为 xOy 面内从点 A 到点 B 的一条有向光 滑曲线弧，Pxy (, ) 和Qxy (, ) 为定义在 L 上的有界函数 . 在 L 上沿从点 A 到点 B 的方向任意插入一点列 (, ) Miii x y （ i = 1, 2, , 1 " n − ）， 将 L 分成 n 个有向小弧段 M q i i −1M （i n = 1,2, , " ；M 0 = A , M n = B ）. 记 iii 1 xxx Δ= − − , iii 1 yyy Δ= − − , 在每个小弧段 M q i i −1M 上任 取一点(, ) i i ξ η . 如果当各小弧段的长度的最大值 λ → 0 时, 极限 0 1 lim ( , ) n ii i i P x → = ∑ Δ λ ξ η 总存在，那么称此极限值为函数
函数P(x,y)在有向曲线孤L上对坐标x的曲线积分，记为 ,P(x,y)d,即 ∫P(x,y)dx=1im∑P(5,n,)Ax 10 i= 类似地，如果极限1im∑Q(5,)△y,总存在，那么称 20 i 此极限值为函数Q(x,y)在有向曲线孤L上对坐标y的 曲线积分，记为，Q(x,y)dy,即 ∫，0(xd=lm∑05，n,y 其中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数，以上对坐标的曲线 积分也称为第二类曲线积分 2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回 函数 Pxy (, )在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分，记为 ( , )d L P xy x ∫ ,即 ( , )d L Pxy x ∫ 0 1 lim ( , ) n ii i i P x → = = ∑ Δ λ ξ η 类似地, 如果极限 0 1 lim ( , ) n ii i i Q y → = ∑ Δ λ ξ η 总存在，那么称 此极限值为函数 Q x(, ) y 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 的 曲线积分，记为 ( , )d LQxy y ∫ ,即 ( , )d LQxy y ∫ 0 1 lim ( , ) n ii i i Q y → = = ∑ Δ λ ξ η 其中 P(, ) x y ﹑Qxy (, ) 叫做被积函数,以上对坐标的曲线 积分也称为第二类曲线积分
推广：若L为空间有向光滑曲线孤，P(x,y,),Q(x,y,z) 及R(x,y,z)为定义在L上的有界函数，则可类似地定义 在空间有向曲线L上对坐标的曲线积分（或第二类曲线 积分) [P(x.y.)dx=lim P()Ax →0 i=1 ∫0(x,y2y=1im∑0(5，5，)Ay 2→0 i=1 ,R(x,y2=m∑R5,n5)AL, 注意：本节下一段的定理1将看到，当被积函数在有向 光滑曲线孤L上连续时，对坐标的曲线积分总是存在 的.如果未作特别说明，以后我们总假定被积函数在上 连续 2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回 推广： 若 L 为空间有向光滑曲线弧，P x(, ,) y z ，Q x(, ,) y z 及 R x(, ,) y z 为定义在 L 上的有界函数，则可类似地定义 在空间有向曲线 L 上对坐标的曲线积分（或第二 类曲线 积分） 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n iii i i P xyz x P x λ ξηζ Γ → = = ∑ Δ ∫ 0 1 ( , , ) lim ( , , ) . d n iii i i Qxyz y Q y λ ξηζ Γ → = = ∑ Δ ∫ 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n iii i i R x y zz R z λ ξηζ Γ → = = ∑ Δ ∫ 注意：本节下一段的定理 1 将看到，当被积函数在有 向 光滑曲线弧 L 上连续时，对坐标的曲线积分 总是存在 的．如果未作特别说明，以后我们总假定被积函数在 L 上 连续．
前面讲到的变力沿曲线所作的功可表示为 W=SP(x.)dx+O(x.y)dy 习惯上，常常把∫P(x,)dr+∫，Q(x, 简写成，P(x,y)dx+Q(x,y)dy 类似地，把∫，P(x,ydr+(x,y+∫R(x,八，)d 简写成∫P(x,y,2)dx+Q(x,2)y+R(x,y,z)d正 如果L是有向闭曲线，那么该曲线积分记为 ∮，Pdr+Qd或∮Pdr+Oy+Rdz 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 7 目录 上页 下页 返回 前面讲到的变力沿曲线所作的功可表示为 W ( , )d ( , )d L L = + P x y x Qx y y ∫ ∫ 习惯上，常常把 ( , )d ( , )d L L P x y x Qx + y y ∫ ∫ 简写成 ( , )d ( , )d L P x y x Qx + y y ∫ 类似地，把 ( , , )d ( , , )d ( , , )d LL L P x y z x Qx + + y z y R x y z z ∫∫∫ 简写成 ( , , )d ( , , )d ( , , )d L P x y z x Qx + + y z y R x y z z ∫ 如果 L 是有向闭曲线，那么该曲线积分记为 d d L P x Q+ y v∫ ddd L P x Q+ +y R z 或 v∫
3.对坐标的曲线积分的性质 性质1两个函数代数和的曲线积分等于这两个函 数的曲线积分的代数和.即 ∫（±Rd=∫Pdr±jBd J,(g±Oy=∫，0dy±j0,d 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面， 即 JkPdx=kf,Pdx,JkQdy=k Qdy, 2009年7月26日星期日 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 8 目录 上页 下页 返回 3. 对坐标的曲线积分的性质 性质 1 两个函数代数和的曲线积分等于这两个函 数的曲线积分的代数和．即 1 2 1 2 ( d d d; ) L LL P P ± = x Px ± P x ∫ ∫∫ 1 2 2 1 () d d d L LL ∫ ∫∫ QQ Q y ± ± y y = Q 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面, 即 d d, L L kP x P x = k ∫ ∫ d d, L L kQ y = k Q y ∫ ∫
性质3（分段可加性）若积分孤段L是由两段有向 光滑曲线孤L和L,首尾连接而成，则 JPdr+Qdy=Pdx+Oy+∫，Pdr+dy 性质4（有向性）如果L表示与有向光滑曲线孤L 反向的曲线孤，那么 ∫nPa+Ody=-j,Pdr+Ody 性质4告诉我们，当积分曲线改变为相反方向时，第 二类曲线积分要改变符号. 2009年7月26日星期日 9 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月26日星期日 9 目录 上页 下页 返回 性质 3 (分段可加性) 若积分弧段 L 是由两段有向 光滑曲线弧 L1 和 L2 首尾连接而成,则 1 2 dd dd dd LL L P x Q+= ++ + y Px Q y Px Q y ∫∫∫ 性质 4（有向性） 如果 L− 表示与有向光滑曲线弧 L 反向的曲线弧，那么 dd dd L L P x Q y Px Q y − + =− + ∫ ∫ 性质 4 告诉我们，当积分曲线改变为相反方向时，第 二类曲线积分要改变符号
二、对坐标的曲线积分的计算 定理1设L是有向光滑曲线，其参数方程为=0， (y=w(t) 当参数t单调地从变到B时，点M(x,y)从L的起点A沿 L运动到点B.又设P(x,y),Q(x,y)是定义在L上的连续 函数，则曲线积分，P(x,y)dx+Q(x,y)dy存在，并且 ∫P(x,y)dr+O(x,y)dy =∫{P[p(),w()]o'()+Q[o(),w(i)]w'()}dt(证明从略.) 注意：上述公式右端定积分上限B不一定大于下限， 要求对应于L的起点，B对应于L的终，点，这是与计算第一 类曲线积分不同的. 2009年7月26日星期日 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 10 目录 上页 下页 返回 二、对坐标的曲线积分的计算 定理 1 设 L 是有向光滑曲线，其参数方程为 ( ) , ( ) , x t y t ϕ ψ ⎧ = ⎨ ⎩ = 当参数 t 单调地从 α 变到 β 时， 点 M (, ) x y 从 L 的起点 A 沿 L 运动到点 B . 又设 Pxy (, ) ，Qxy (, ) 是定义在 L 上的连续 函数，则曲线积分 ( , )d ( , )d L Pxy x Qxy y + ∫ 存在,并且 ( , )d ( , )d L Pxy x Qxy y + ∫ = + { } Pt t tQt t tt [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( ) d ′ ′ ∫ β α ϕψ ϕ ϕψψ (证明从略. ) 注意：上述公式右端定积分上限 β 不一定大于下限 α ， 要求 α 对应于 L 的起点， β 对应于 L 的终点，这是与计算第一 类曲线积分不同的