概率论与数理统计 机电工程学院机电所 杨东武
概率论与数理统计 机电工程学院机电所 杨东武
“概率论与数理统计”教学大纲 课程编号：SC12005 课程名称：概率论与数理统计 英文名称：Probability and Statistics 学时：46 学分：3 课程类型：必修 课程性质：公共基础课 适用专业：工科类专业 先修课程：高等数学 开课学期：第2学期 开课院系：理学院数学系 一、课程的教学日标与任务 概率论与数理统计是我校工科各专业的共同必修课。它是一门研究随机现象规律的数学学 科，理论严谨、应用广泛，是数学的一个重要分支，也是现代科技人才必须掌握的工具技术 课之一。通过该课程的学习，要使学生系统地获得概率论与数理统计的基本知识，必要的基 础理论：要求学生掌握常用的分析方法：同时为学习随机过程，信号处理等后继课程奠定基 础。 二、本课程与其它课程的联系和分工 概率论与数理统计是研究随机现象的入门课程，是现代科技人才必须掌握的工具技术课之 ，也是学习随机过程、信号处理等后继课程的主要数学工具 三、课程内容及基本要求 (一)概率论的基本概念(8学时) 内容：随机实验：样本空间。随机事件：频率概率：古典概：条件概率与独立性。 1.基本要求 ()理解样本空间，随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。能熟练运用事件的和、积、 差运算表示未知的事件。 (2)了解概率的公理化体系，掌握概率的基本性质。熟练掌握概率的加法公式。会计算古典 概型问的概率。 (3)了解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式和Bays公式。 (④)了解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。 2.重点、难点 重点：样本空间，随机事件：事件的关系及运算：概率的基本性质：条件概率，概率的乘法
“概率论与数理统计”教学大纲 课程编号：SC1112005 课程名称：概率论与数理统计 英文名称：Probability and Statistics 学 时：46 学 分：3 课程类型：必修 课程性质：公共基础课 适用专业：工科类专业 先修课程：高等数学 开课学期：第 2 学期 开课院系：理学院数学系 概率论与数理统计是我校工科各专业的共同必修课。它是一门研究随机现象规律的数学学 科，理论严谨、应用广泛，是数学的一个重要分支，也是现代科技人才必须掌握的工具技术 课之一。通过该课程的学习，要使学生系统地获得概率论与数理统计的基本知识，必要的基 础理论；要求学生掌握常用的分析方法；同时为学习随机过程，信号处理等后继课程奠定基 础。 概率论与数理统计是研究随机现象的入门课程，是现代科技人才必须掌握的工具技术课之 一，也是学习随机过程、信号处理等后继课程的主要数学工具。 (一) 概率论的基本概念(8 学时) 内容：随机实验；样本空间，随机事件；频率概率；古典概型；条件概率与独立性。 1．基本要求 (1) 理解样本空间，随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。能熟练运用事件的和、积、 差运算表示未知的事件。 (2) 了解概率的公理化体系，掌握概率的基本性质。熟练掌握概率的加法公式。会计算古典 概型问题的概率。 (3) 了解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式和 Bayes 公式。 (4) 了解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。 2. 重点、难点 重点：样本空间，随机事件；事件的关系及运算；概率的基本性质；条件概率，概率的乘法
公式、全概公式和Bayes公式：独立性的概念。 难点：古典概型问题的概率。 3.说明 几何概型可以选讲 (二)随机变量及其分布(6学时) 内容：随机变量：离散型随机变量的概率分布：随机变量的分布函数：连续型随机变量的制 率密度函数：随机变量的函数的分布。 1.基本要水 ()理解随机变量，离散型随机变量的概念，理解独立重复试验的概念。掌握计算有关事件 概率的方法。掌握0-1分布，掌握Poisson分布及其应用，掌握二项分布及其应用。 (2)了解分布函数的概念，理解连续性随机变量及其概率密度的概念。掌握概率密度与分布 函数的关系，分布函数与密度函数的性质，掌均匀分布和指数分布及其应用。 (3)掌握正 态分 布及其应用，会求简单随机变量函数的概率分布 2.重点、难点 重点：随机变量的概念：离散型随机变量的分布律，常见的离散型随机变量二项分布，Poisso 分布，Bernoulli概型：分布函数的概念及性质：概常密度函数的性质，常见的连续型随机变 量，均匀分布，指数分布，正态分布：随机变量函数的分布。 难点：随机变量的概念：分布函数的概念 (三)多维随机变量及其分布(8学时) 内容：二维随机变量：边际分布：条件分布：相互独立的随机变量：两个随机变量的函数的 分布。 1。其木要求 ()了解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数的概念及性质，理解二维 离散型随机变量的联合分布律及性质，二维连续型随机变量的联合密度函数及性质，会利用 二维概率分布求有关事件的概率。 (2②)了解边缘分布，条件分布。理解边缘密度，条件密度。会求二维离散型随机变量的边缘 分布，边缘分布 。会求 维连续型随机变量的边缘分布，边缘密度 (③)理解随机变量独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立性的条件 (④)掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。 (⑤)会求两个随机变量的简单函数的分布。 2.重点、难点 重点： 二维随机变量联合分布函数的概念，二维离散型随机变量的联合分布律，二维连续基 随机变量的联合密度函数：边际分布，二维离散型随机变量的边际分布律，二维连续型随机 变量的边际密度函数：离散型随机变量相互独立的充要条件，连续型随机变量相互独立的充 要条件。 难点：离散型随机变量的条件分布律，连续型随机变量的条件密度函数：两个随机变量和的 密度函数，两个随机变量商的密度函数。 (四)随机变量的数字特征(6学时) 内容：数学期望：方差几种重要随机变量的数学期望和方差：协方差及相关系数：矩、协 方差矩阵。 1.基本要求 ()理解随机变量的数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会
公式、全概公式和 Bayes 公式；独立性的概念。 难点：古典概型问题的概率。 3. 说明 几何概型可以选讲。 (二) 随机变量及其分布(6 学时) 内容：随机变量；离散型随机变量的概率分布；随机变量的分布函数；连续型随机变量的概 率密度函数；随机变量的函数的分布。 1. 基本要求 (1) 理解随机变量，离散型随机变量的概念，理解独立重复试验的概念。掌握计算有关事件 概率的方法。掌握 0-1 分布，掌握 Poisson 分布及其应用，掌握二项分布及其应用。 (2) 了解分布函数的概念，理解连续性随机变量及其概率密度的概念。掌握概率密度与分布 函数的关系，分布函数与密度函数的性质，掌握均匀分布和指数分布及其应用。 (3) 掌握正态分布及其应用，会求简单随机变量函数的概率分布。 2. 重点、难点 重点：随机变量的概念；离散型随机变量的分布律，常见的离散型随机变量二项分布，Poisson 分布，Bernoulli 概型；分布函数的概念及性质；概率密度函数的性质，常见的连续型随机变 量，均匀分布，指数分布，正态分布；随机变量函数的分布。 难点：随机变量的概念；分布函数的概念。 (三) 多维随机变量及其分布(8 学时) 内容：二维随机变量；边际分布；条件分布；相互独立的随机变量；两个随机变量的函数的 分布。 1. 基本要求 (1) 了解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数的概念及性质，理解二维 离散型随机变量的联合分布律及性质，二维连续型随机变量的联合密度函数及性质，会利用 二维概率分布求有关事件的概率。 (2) 了解边缘分布，条件分布。理解边缘密度，条件密度。会求二维离散型随机变量的边缘 分布，边缘分布律。会求二维连续型随机变量的边缘分布，边缘密度。 (3) 理解随机变量独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立性的条件。 (4) 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。 (5) 会求两个随机变量的简单函数的分布。 2. 重点、难点 重点：二维随机变量联合分布函数的概念，二维离散型随机变量的联合分布律，二维连续型 随机变量的联合密度函数；边际分布，二维离散型随机变量的边际分布律，二维连续型随机 变量的边际密度函数；离散型随机变量相互独立的充要条件，连续型随机变量相互独立的充 要条件。 难点：离散型随机变量的条件分布律，连续型随机变量的条件密度函数；两个随机变量和的 密度函数，两个随机变量商的密度函数。 (四) 随机变量的数字特征(6 学时) 内容：数学期望；方差；几种重要随机变量的数学期望和方差；协方差及相关系数；矩、协 方差矩阵。 1. 基本要求 (1) 理解随机变量的数字特征(数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数)的概念，并会
运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。 (2)会根据随机变量X的联合概率分布求其函数8)的数学期望Eg:会根据随机变量X 和Y的概率分布求其函数g(X,的数学期望Eg(X,。 (3)根据随机变量X和Y的概率分布求其相关系数，理解相关系数取特殊值的概率含义。了 解切比雪夫不等式。 2.重点、难点 重点：离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量函数的数学期望 数学期望的性质，几种重要随机变量的数学期望：方差的概念，方差的性质，几种重要随机 弯量的方差：协方劳，相关系数。 3.说明 矩、协方差矩阵的概念可以略讲。 (五)大数定律及中心极限定理(2学时) 内容：大数定律：中心极限定理。 1.基本要求 (1)了解切比雪夫大数定律、贝努利大数定律和辛锌大数定律（独立同分布随机变量的大数定 律)成立的条件和结论。 (2)了解独立同分布的中心极限定理，德莫佛一拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布 为极限分布的定理)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的 概率。 2.重点、难点 重点：独立同分布的中心极限定理：德莫佛一拉普拉斯中心极限定理。 难点：概率收敛的概念：切比雪夫大数定律、贝努利大数定律、辛锌大数定律。 3.说明 该章大数定理部分可以略讲。 (六)数理统计的基本概念(3学时) 内容：随机样本：抽样分布。 基本要求 ()了解总体、个体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。 了解x2分布、1分布和F分布的定义及性质、了解分位数的概念并会查表计算。 (2)了解正态总体的常用抽样分布。 2.重点 总体、个体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念：正态总 体的常用抽样分布。 3.说明 分布、1分布和F分布的定义及性 可略讲 (七)参数的点估计与区间估计7学时) 内容：参数的点估计：估计量的评价标准：区间估计：正态总体均值和方差的置信 区间：(0-1)分布参数的区间估计：单侧置信区间。 1.基本要求 ()理解参数的估计、估计量、点估计的概念。掌握矩估计法一，二阶矩)和极大似然估计 法。 (2)了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性相合性)的概念，并会验证估计量的 无偏性
运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。 (2) 会根据随机变量 X 的联合概率分布求其函数 g(X)的数学期望 E[g(X)]；会根据随机变量 X 和 Y 的概率分布求其函数 g(X，Y)的数学期望 E[g(X，Y)]。 (3) 根据随机变量 X 和 Y 的概率分布求其相关系数，理解相关系数取特殊值的概率含义。了 解切比雪夫不等式。 2. 重点、难点 重点：离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量函数的数学期望， 数学期望的性质，几种重要随机变量的数学期望；方差的概念，方差的性质，几种重要随机 变量的方差；协方差，相关系数。 3. 说明 矩、协方差矩阵的概念可以略讲。 (五) 大数定律及中心极限定理(2 学时) 内容：大数定律；中心极限定理。 1．基本要求 (1) 了解切比雪夫大数定律、贝努利大数定律和辛锌大数定律(独立同分布随机变量的大数定 律)成立的条件和结论。 (2) 了解独立同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布 为极限分布的定理) 的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的 概率。 2. 重点、难点 重点：独立同分布的中心极限定理；德莫佛—拉普拉斯中心极限定理。 难点：概率收敛的概念；切比雪夫大数定律、贝努利大数定律、辛锌大数定律。 3．说明 该章大数定理部分可以略讲。 (六) 数理统计的基本概念(3 学时) 内容：随机样本；抽样分布。 1. 基本要求 (1) 了解总体、个体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。 了解 x 2 分布、t 分布和 F 分布的定义及性质、了解分位数的概念并会查表计算。 (2) 了解正态总体的常用抽样分布。 2. 重点 总体、个体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念；正态总 体的常用抽样分布。 3．说明 x 2 分布、t 分布和 F 分布的定义及性质可略讲。 (七) 参数的点估计与区间估计(7 学时) 内容：参数的点估计；估计量的评价标准；区间估计；正态总体均值和方差的置信 区间；(0-1)分布参数的区间估计；单侧置信区间。 1．基本要求 (1) 理解参数的估计、估计量、点估计的概念。掌握矩估计法(一，二阶矩)和极大似然估计 法。 (2) 了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并会验证估计量的 无偏性
(3)了解区间估计，置信区间的概念。会求单个正态总体均值和方差的置信区间。会求两个 正态总体均值差和方差比的置信区间。 (④)了解(0-)分布参数的区间估计，单侧置信区间的概念。 2.重点、难点 重点：矩估计法和极大似然估计法：估计量的评价标准一一无偏性、有效性（最小方差性）和 一致性（相合性）：单个正态总体均值和方差的置信区间，两个正态总体均值差和方差比的置 信区间。 难点：区间估计的思想。 (八)假释检验(6学时) 内容：假释检验：正态总体均值的假释检验：正态总体方差的假释检验。 1.基本要求 (1)了解显著性假释检验的基本思想，掌握假释检验的基本步骤，了解假释检验可能产生的 两类错误。 (2)掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假释检验。 2.重点、难点 重点：单个及两个正态总体的均值和方差的假释检验。 难点：假释检验的基本思想。 3.说明 本章第三节后不讲。 四、教学安排及方式 总学时46学时，讲课40学时，习题课6学时。 、教学环节 、教学时数 参或 讲课 实验 习题讲 讨论课 上机 看录像 小计 课程内容 概率论的基本概念 6 6+2 随机变量及其分布 6 6 多维随机变量及其分布 6 2 6+2 随机变量的数字特征 1 5+1 大数定律及中心极限定理 2 2 数理统计的基本概念 3 3 参数的点估计与区间估计 6 6+1 假释检验 6 6 合计 40 6 40+6 五、考核方式 笔试闭卷。 各教学环节占总分的比例：平时测验及作业10%，期末考试90%
(3) 了解区间估计，置信区间的概念。会求单个正态总体均值和方差的置信区间。会求两个 正态总体均值差和方差比的置信区间。 (4) 了解(0-1)分布参数的区间估计，单侧置信区间的概念。 2. 重点、难点 重点：矩估计法和极大似然估计法；估计量的评价标准——无偏性、有效性(最小方差性)和 一致性(相合性)；单个正态总体均值和方差的置信区间，两个正态总体均值差和方差比的置 信区间。 难点：区间估计的思想。 (八) 假释检验(6 学时) 内容：假释检验；正态总体均值的假释检验；正态总体方差的假释检验。 1．基本要求 (1) 了解显著性假释检验的基本思想，掌握假释检验的基本步骤，了解假释检验可能产生的 两类错误。 (2) 掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假释检验。 2. 重点、难点 重点：单个及两个正态总体的均值和方差的假释检验。 难点：假释检验的基本思想。 3．说明 本章第三节后不讲。 总学时 46 学时，讲课 40 学时，习题课 6 学时。 教学环节 教学时数 课程内容 讲课 实验 习题课 讨论课 上机 参观或 看录像 小计 概率论的基本概念 6 2 6＋2 随机变量及其分布 6 6 多维随机变量及其分布 6 2 6＋2 随机变量的数字特征 5 1 5＋1 大数定律及中心极限定理 2 2 数理统计的基本概念 3 3 参数的点估计与区间估计 6 1 6＋1 假释检验 6 6 合 计 40 6 40＋6 笔试闭卷。 各教学环节占总分的比例：平时测验及作业 10%，期末考试 90%
六、推荐教材与参考资料 教材 盛骤，等.概率论与数理统计.北京：高等教有出版社，1989 参考资料： [复且大学.概率论.北京：人民教有出版社，1979 [2复旦大学数理统计.北京：人民教育出版社，1979 [3)王梓坤.概率论及其应用.北京：科学出版社，1979 (执笔人：宋月审核人：于力)
教材： 盛骤，等. 概率论与数理统计. 北京：高等教育出版社，1989 参考资料： [1] 复旦大学. 概率论. 北京：人民教育出版社，1979 [2] 复旦大学. 数理统计. 北京：人民教育出版社，1979 [3] 王梓坤. 概率论及其应用. 北京：科学出版社，1979 (执笔人：宋 月 审核人：于 力)
第一讲随机事件与概率 概率论与数理统计 1.概率论是研究什么的？ 第一章概率论的基本概念 研究和揭示随机现象统计规律性的科学。 §1随机试验 随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定 自然界和补会上发生的现象是名利 类现为确岸性现象 性，但在大量重复试验中结果又具有统计规 多样的，有 在一定条件下必然发生的现象 律性的现象。 向空中抛一物体必然落向地面： 水加热到100℃必然沸腾： 2.随机试验(E):具有以下特点的试验称 异性电荷相吸引： 为随机试验。 放射性元素发生蜕变： 特点： (1).可在相同条件下重复进行： 还有一类为随机现象：在试验或 (2).试验可能结果不止一个，但能确定所有 观察前无法预知出现什么结果。 的可能结果： 抛一枚硬币结果可能正面（或反 (3),一次试验之前无法确定具体是哪种结 面)嘲上： 果出现。 向同一目标射击，各次弹着点都 例1： 不相同： E1抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表某地区的日平均气温： 示出正面和反面： 掷一颗骰子，可能出现的点数： E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现 的情况： E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的 统计规律性： 多次重复抛一枚硬币得到正面 次数 朝上的结果大致有一半： E4:掷一颗骰子时出现的点数： 同一门大炮射击同一目标的着 E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤 弹点大致在目标附近且按照一 次数： 定的规律分布： E6:在一批灯泡中任取一只，测试其寿命： E7:记录某地一昼夜的最高温度与最低温 度
第一讲 随机事件与概率 1．概率论是研究什么的？ 研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。 随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定 性，但在大量重复试验中结果又具有统计规 律性的现象。 2. 随机试验（E）：具有以下特点的试验称 为随机试验。 特点： （1）.可在相同条件下重复进行； （2）.试验可能结果不止一个,但能确定所有 的可能结果; （3）.一次试验之前无法确定具体是哪种结 果出现。 例１： E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表 示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现 的情况； E3: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的 次数; E4: 掷一颗骰子时出现的点数； E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤 次数； E6: 在一批灯泡中任取一只，测试其寿命; E7: 记录某地一昼夜的最高温度与最低温 度 。 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 §1 随机试验 自然界和社会上发生的现象是多种 多样的，有一类现象为确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。 向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到 100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变； . 还有一类为随机现象：在试验或 观察前无法预知出现什么结果。 抛一枚硬币结果可能正面(或反 面)朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都 不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数； . 统计规律性： 多次重复抛一枚硬币得到正面 朝上的结果大致有一半； 同一门大炮射击同一目标的着 弹点大致在目标附近且按照一 定的规律分布；
3.样本空间(S):随机试验E的所有可能结果 §2样本空间、随机事件 所组成的集合。样本空间的元素，即试验E的 每个结果，称为样本点(e)。 例2：给出EE,的样本空间 Su:(H,T): S2:(HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT, TTH,TTT): S3:(0,1,2,3 电话交换台一分钟内接到的呼 S4:（1,2,3,4,5,6; 唤次数的上限未知 S5:{0,1,2,3, 灯泡寿命上限未知 S6:(t≥0： x,y分别表示最低和最高温 S7:{(Ky川T,≤x≤y≤TJ。 度，T,和T分别表示该地区的 4.随机事件：试验E的样本空间S中满足某些 温度下限和上限。 条件的样本点所组成的集合，简称事件。 任何事件均可表示为样本空间的某个子集。 事件是样本空间的子集。在每 次试验中，当且仅当这一子集 由一个样本点组成的单点集称为基本事件， 中的一个样本点出现时，称这 两个特殊事件： 事件发生。 必然事件：样本空间S 不可能事件：空集 事件的表示：文字表述或样本空间的子集 例3： (1)E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面 出现的情况： 事件A:“第一次出现的是H(正面)” (HHH,HHT,HTH,HTT) 事件B:“三次出现同一面”(HH,TTT) 事件C:“恰好出现一次正面” (HTT,THT,TTH)
3. 样本空间（S）：随机试验 E 的所有可能结果 所组成的集合。样本空间的元素，即试验 E 的 每个结果，称为样本点（e）。 例２：给出 E1~E7的样本空间： S1：｛H，T｝； S2：｛HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT， TTH，TTT｝； S3：｛0，1，2，3｝； S4：｛1，2，3，4，5，6｝； S5：｛0，1，2，3，.｝； S6：｛t| t 0 ｝； S7：｛(x,y)| 0 T1 T x y ｝。 4. 随机事件：试验 E 的样本空间 S 中满足某些 条件的样本点所组成的集合，简称事件。 任何事件均可表示为样本空间的某个子集。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 两个特殊事件: 必然事件：样本空间 S。 不可能事件：空集 。 事件的表示：文字表述或样本空间的子集。 例３： （1）E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面 出现的情况； 事件 A：“第一次出现的是 H(正面)” ｛HHH，HHT，HTH，HTT｝ 事件 B：“三次出现同一面” ｛HHH，TTT｝ 事件 C：“恰好出现一次正面” ｛HTT，THT，TTH｝ §2 样本空间、随机事件 电话交换台一分钟内接到的呼 唤次数的上限未知 灯泡寿命上限未知 x, y 分别表示最低和最高温 度， T0和T1 分别表示该地区的 温度下限和上限。 事件是样本空间的子集。在每 次试验中，当且仅当这一子集 中的一个样本点出现时，称这 一事件发生
(2)E6:在一批灯泡中任取一只，测试其寿 思考： 事件A与B是否会同时发生？ 命 事件B与C是否会同时发生？ 事件D1:“寿命小于1000小时” 为什么？ {t0≤t≤1000]】 同一样本空间中，不同的事件 (3)E7:记录某地一昼夜的最高温度与最低 之间有一定的关系，如试验 当试验的结果是H 温度。 时，可以说事件A(至少出现 事件D2:“最高温度与最低温度相差10摄氏度” 个正面)和B(三次出现同 面)同时发生了：但事件B和 {(xy)y-x=10,T≤x≤y≤T} C(恰好出现一次正面)在任何 情况下均不可能同时发生。易 见，事件之间的关系是由他们 所包含的样本点所决定的，这 种关系可以用集合之间的关系 来描述。 (课间休息) 5.事件之间的关系 设试验E的样本空间为S,事件A,B, 4(k=1,2,3)是S的子集。 (1)包含关系：AcB 事件A发生必然导致事件B发生， 若A=B,则称事件A与事件B 若ACB且BCA,则A=B。 相等。 (2)和事件：AUB={xx∈A或xeB 事件AUB称为事件A与事件B 当且仅当事件A,B中至少有一个发生时，事的和事件。 件AUB发生， 类似地，称日A为n个事件4,4，A,的 和事件。 (3)积事件：AOB={x|x∈A且x∈B 事件A⌒B称为事件A与事件B 的积车件 当且仅当事件A,B同时发生时，事件A⌒B 发生，简记为AB。 类似地，称0A为n个事件4，A,.,An的
（2）E6: 在一批灯泡中任取一只，测试其寿 命; 事件 D1：“寿命小于 1000 小时” ｛t| 0 t 1000 ｝ （3）E7: 记录某地一昼夜的最高温度与最低 温度 。 事件 D2：“最高温度与最低温度相差10摄氏度” ｛（x,y）|y-x=10, 0 T1 T x y ｝ 思考： 事件 A与B 是否会同时发生？ 事件 B 与C 是否会同时发生？ 为什么？ 同一样本空间中，不同的事件 之间有一定的关系，如试验 E2 ，当试验的结果是 HHH 时，可以说事件 A (至少出现一 个正面)和 B(三 次出现同一 面)同时发生了；但事件 B 和 C(恰好出现一次正面)在任何 情况下均不可能同时发生。易 见，事件之间的关系是由他们 所包含的样本点所决定的，这 种关系可以用集合之间的关系 来描述。 (课间休息) 5. 事件之间的关系 设试验 E 的样本空间为 S，事件 A，B， A (k = 1,2,3,.) k 是 S 的子集。 （1）包含关系： A B 事件 A 发生必然导致事件 B 发生。 若 A B 且 B A ，则 A = B 。 （2）和事件： AB ={x | x A或xB} 当且仅当事件 A,B 中至少有一个发生时，事 件 A B 发生。 类似地，称 k n k A =1 为 n 个事件 A A An , , , 1 2 的 和事件。 （3）积事件： AB ={x | x A且xB} 当且仅当事件 A,B 同时发生时，事件 A B 发生，简记为 AB。 类似地，称 k n k A =1 为 n 个事件 A A An , , , 1 2 的 若 A = B ，则称事件 A 与事件 B 相等。 事件 A B 称为事件 A 与事件 B 的和事件。 事件 A B 称为事件 A 与事件 B 的积事件
积事件。 (4)差事件：A-={xx∈A且rEB卧 事件AB称为事件A与事件B的 差事件。 当且仅当事件A发生、B不发生时，事件A-B 发生。 (5)互斥的或互不相容的事件：AnB= 基本事件是两两互不相容的。 事件A与事件B不能同时发生。 (6)逆事件或对立事件： 称事件A与事件B互为对立事件 或互为逆事件。 AUB=S阻AnB= 对每次试验而言，事件A、B中必有一个发 生，且仅有一个发生。 事件A的对立事件记为A,A=S-A。 6.事件的运算 设试验E的样本空间为S,事件A,B, A4(k=1,2,3)是S的子集。 (I)交换律：AUB=BUA,AnB=BnA (2)结合律： AU(BUC)=(AUB)UC A0(BOC)=(40B)OC (3)分配律： A(BOC)=(AUB)0(AUC) A0(ByC)=(A0BV(AOC) (4)德·摩根律： 推广： AUB=AnB,AnB=AUB 84=Q4,Q4=84
积事件。 （4）差事件：A-B= {x | x A且xB} 当且仅当事件 A 发生、B 不发生时，事件 A-B 发生。 （5）互斥的或互不相容的事件：A B = 事件 A 与事件 B 不能同时发生。 （6）逆事件或对立事件： AB = S且AB = 对每次试验而言，事件 A、B 中必有一个发 生，且仅有一个发生。 事件 A 的对立事件记为 A ， A = S − A。 6. 事件的运算 设试验 E 的样本空间为 S，事件 A，B， A (k = 1,2,3,.) k 是 S 的子集。 （1）交换律：A B＝B A，A B＝B A （2）结合律： A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C （3）分配律： A (B C) = (A B) (AC) A (B C) = (A B) (AC) （4）德 ∙ 摩根律： A B = A B ， A B = A B 事件 A-B 称为事件 A 与事件 B 的 差事件。 基本事件是两两互不相容的。 称事件 A 与事件 B 互为对立事件 或互为逆事件。 k n k k n k k n k k n k A A A A =1 =1 =1 =1 = ， = 推广：