第十章无穷级数(Infinite Series) 主要内容 第一节常数项级数的概念与性质 第二节常数项级数的审敛法 第三节幂级数 第四节函数展开成幂级数 第五节函数的幂级数展开式的应用 第六节傅立叶级数 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第十章 无穷级数 （Infinite Series ） 主要内容 第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
第十章 第一节常激项级数的糯念和性质 Conception and property of constant term series) 一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 第一节 常数项级数的概念和性质 第十章 （Conception and property of constant term series ） 一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习
一、常数项级数的基本概念 定义给定一个数列山1，u2,山，.，n,.将各项依 00 次相加，简记为∑un,即 0 n=1 ∑4n=山1+42+4+.+4，+. n=l 称上式为无穷级数，其中第n项un叫做级数的一般项， 级数的前n项和 Sn=∑4k=4+42+吗+.+n k= 称为级数的部分和.若lim Sn=S存在，则称无穷级数 n->oo 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 一、常数项级数的基本概念 定义 给定一个数列 321 uuuu n , "" , 1 ∑ 将各项依 ∞ n = n u 即 ∑ ∞ n = 1 n u = + + 321 + + uuuu n +"" 称上式为无穷级数，其中第 n 项 n u 叫做级数的一般项 , 级数的前 n 项和 ∑ = = n k kn uS 1 n = + + + " + uuuu 321 若 lim SS 存在, n n 次相加, 简记为 称为级数的部分和 . = → ∞ 则称无穷级数
收敛，并称S为级数的和，记作 00 S=∑4n n=1 若lim S不存在，则称无穷级数发散. n->oo 当级数收敛时，称差值 In =S-Sn=un+l+un+2+. 为级数的余项.显然 lim=0 n->0 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 ∑ ∞ = = n 1 n uS 收敛 , 并称 S 为级数的和 , 记作 当级数收敛时, 称差值 n = − = + + uuSSr nnn +21 + " 为级数的余项 . 若 lim 不存在, n n S ∞→ 则称无穷级数发散 . 显然 = 0lim→ ∞ n n r
例1判别无穷级数∑n=1+2+3+.+n+.的敛散性。 n=l 解：由于3，=1+2++n=n+）,则 2 lims,lim (n+1) 二0 n→co n-→0 2 所以该级数发散， 例2讨论级数1-1+1-1+.+(-1)”+.的敛散性. 解：部分和数列s=1,52=1-1=0,S3=1-1+1=1, .,Sn=1-1+1-1+.+(-1)”-1. 易知，当n为奇数时，sn=1;当n为偶数时，Sn=0. 所以没有极限，故原级数发散. 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 例 1 判别无穷级数 1 123 n n n ∞ = ∑ = +++ ++ " " 的敛散性． 解：由于 ( 1) 1 2 2 n n n s n + =+ + + = " , 则 ( 1) lim lim 2 n n n n n s →∞ →∞ + = = ∞ 所以该级数发散． 例 2 讨论级数 1 1 1 1 1 ( 1) n − − + − + +− + " "的敛散性． 解：部分和数列 1s = 1， 2 s =11 0 − = ， 3 s =1111 −+= ， " ， 1 1 1 1 1 ( 1) n n s − = − + − + +− " ． 易知，当 n 为奇数时， 1 n s = ；当 n 为偶数时， 0 n s = ． 所以没有极限，故原级数发散．
例3讨论等比级数（又称几何级数） ∑aq”=a+ag+ag2+.+ag”+.(a≠0) n=0 (q称为公比)的敛散性， 解：1)若q≠1，则部分和 S.=a+ag+ag2+.+ag"-1-a-aq" 1-q 当go0 因此级数收敛，其和为品 n→o0 当q>1时，由于limq”=o,从而lim Sn=oo, n→o n->oo 因此级数发散. 2009年7月27日星期一 7 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 例3 讨论等比级数 (又称几何级数 ) )0( 2 0 ∑ ≠+++++= ∞ = aqaqaqaaqa n n n " " ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解 : 1) 若 q ≠ ,1 2 − 1 ++++= n n " qaqaqaaS q qaa n − − = 1 当 q 时,1 lim ∞= , → ∞ n n 由 于 q 从而 = ∞ ,lim→ ∞ n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为
2)若q=1,则 当q=1时，Sn=na>o,因此级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+.+(-1)n-a+. n为奇数 因此 n为偶数 从而lim S不存在，因此级数发散. n-→oo 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散. 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 2) 若 q = ,1 当 q = 时,1 n = anS 因此级数发散 ; 当 q −= 时,1 aaaa " )1( n − 1 a +−++−+− " 因此 ⎩ ⎨ ⎧ S n = n 为奇数 n 为偶数 从而 n n S ∞→ lim 综合 1) 、2)可知 , q < 1 时, 等比级数收敛 ; q ≥ 1 时, 等比级数发散 . 则 → ∞ , 级数成为 a, ,0 不存在 , 因此级数发散
二、收敛级数的基本性质 00 性质1若级数∑4n收敛于S,即S=∑4n,则各项 n=l n=1 00 乘以常数c所得级数∑c4n也收敛，其和为cS. n=l 证令5w2,则0，-立4-c5 k=1 k=1 lim on=c lim Sn=cS n-→o0 n-→o∞ 这说明∑cun收敛，其和为cS. n=] 说明：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 二、收敛级数的基本性质 性质1 若级数 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛于 S , , 1 ∑ ∞ = = n n uS ∑ 则各项 乘以常数 c 所得级数 ∞ n = 1 n uc 也收敛 , , 1 证 : 令 ∑ = = n k kn uS 则 ∑ = = n k n k uc 1 σ , n = c S n n σ → ∞ ∴ lim = c S ∑ ∞ n = 1 n uc n n 这说明 收敛 , 其和为 c S . c S → ∞ = lim 说明 : 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S
性质2 设有两个收敛级数 0 S=∑4n, ∑n n=1 n=1 0 则级数 ∑(4n±yn)也收敛，其和为S±o. n=l 证：令Sn=∑4k,on=∑k,则 k=1 k=1 Tn=∑(4±%)=Sn±on→S±o(n→o) k=1 这说明级数∑(un±'n)也收敛，其和为S±o n=l 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 性质2 设有两个收敛级数 , 1 ∑ ∞ = = n uS n ∑ ∞ = = n 1 n σ v 则级数 )( 1 n n n ∑ ± vu ∞ = 也收敛, 其和为 S ± σ . 证 : 令 , 1 ∑ = = n k kn uS , 1 ∑ = = n k kn σ v 则 )( 1 k n k n k ∑ ±= vu = τ nn = S ± σ → ± σ nS → ∞)( 这说明级数 )( 1 n n n ∑ ± vu ∞ = 也收敛, 其和为 S ± σ
例4判别级数 -*品+ 的敛散性。若收敛时求出它的和. 解内分+1 3,32 3n-1 十. 4n-1 都是公比小于1的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为 2和4，由性质2知所给级数收敛，其和为 4n-1 =2+4=6 2009年7月27日星期一 11 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 11 目录 上页 下页 返回 例 4 判别级数 2 1 2 2 1 1 13 1 3 1 3 (1 1) 24 2 4 2 4 n n n − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + + + + + ++ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ " " 的敛散性．若收敛时求出它的和． 解：由于 2 1 11 1 1 22 2 n − ++ + + + " " 与 2 1 2 1 33 3 1 44 4 n n − − + + ++ + " " 都是公比小于 1的等比级数，所以它们都收敛， 且其和分别 为 2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为 2 1 2 2 1 1 13 1 3 1 3 (1 1) 24 2 4 2 4 n n n − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + + + + + ++ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ " " 2 1 11 1 1 22 2 n − ⎛ ⎞ = ++ + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " 2 1 2 1 33 3 1 44 4 n n − − ⎛ ⎞ +++ + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " = 246 + =