第一章绪论 ·研究计算方法的必要性 ·误差的基本概念 ·选用和设计算法应注意的问题
第一章 绪论 • 研究计算方法的必要性 • 误差的基本概念 • 选用和设计算法应注意的问题
第一章猪论 ·研究计算方法的必要性 ·误差的基本概念 ·选用和设计算法应注意的问题
第一章 绪论 • 研究计算方法的必要性 • 误差的基本概念 • 选用和设计算法应注意的问题
什么是汁并方法？ 它能够做什么？ 计算方法/数值分析： 利用计算机求解数学问题近似解的方法。 学习和了解科学计算的桥梁
什么是计算方法？ 它能够做什么？ 学习和了解科学计算的桥梁 计算方法／数值分析： 利用计算机求解数学问题近似解的方法
探过在计茸机上根据熬学公式编 程是香就能得到正确秸果？ 如把方程组的系数舍入 成两位有效数字 研究例子：求解线性方程组 1 x1+ 3 11 1 3+ 1 x1+0.50x2+0.33x3=1.8 4 0.50x,+0.33x2+0.25x,=1.1 1 3 X1+ 3 x2+ 4 5 X3三 60 0.33x1+0.25x2+0.20x=0.78 它的解为x1=6.222. 其准确解为X1=X2=X3=1 X2=38.25. X3=-33.65
探讨1：在计算机上根据数学公式编 程是否就能得到正确结果? 研究例子:求解线性方程组 其准确解为x1=x2=x3=1 + + = + + = + + = 60 47 5 1 4 1 3 1 12 13 4 1 3 1 2 1 6 11 3 1 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x + + = + + = + + = 0.33 0.25 0.20 0.78 0.50 0.33 0.25 1.1 0.50 0.33 1.8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 如把方程组的系数舍入 成两位有效数字 它的解为x1 =-6.222. x2=38.25. x3=-33.65
接动2积多∫sm奶何林群7 高等数学求解积分的牛顿—莱布尼兹公式： 设f(x)∈C[a,b],F(x)是f(x)在a,b]上 的一个原函数，则有 [f(x)dx=F(b)-F(a) 的原函数无法求出，怎么办？ X 通过数值分析方法，可求得其近似解
探讨2：积分 dx 如何求解? x x 1 0 sin 高等数学求解积分的牛顿——莱布尼兹公式： 设 ，F(x)是 在[a,b]上 的一个原函数，则有 f (x)C[a,b] f (x)dx F(b) F(a) b a = − f (x) x sin x 的原函数无法求出，怎么办？ 通过数值分析方法，可求得其近似解
探付弓：高阶线性方程组奶何求解刁 线性代数中求解线性方程组的克莱姆法则： 如果线性方程组Ax=b的系数行列式不等于零，那末，方程 组有唯一解 D D 其中，D为方程组的系数行列式，D是把系数行列式中第列的元素用 方程组右端的自由项b代替后所得到的n阶行列式。 求解20阶线性方程组，用克莱姆法则要用9.7×100 次乘法运算，用每秒1亿次的计算机计算，大约需算30多 万年；但用消元法只须3000次乘法运算，只要几秒钟
探讨3：高阶线性方程组如何求解? 线性代数中求解线性方程组的克莱姆法则： 如果线性方程组 A x = b 的系数行列式不等于零，那末，方程 组有唯一解 其中，D为方程组的系数行列式，Dj是把系数行列式中第j列的元素用 方程组右端的自由项b代替后所得到的n阶行列式。 D D x j j = 求解20阶线性方程组，用克莱姆法则要用 次乘法运算,用每秒1亿次的计算机计算,大约需算30多 万年;但用消元法只须3000次乘法运算，只要几秒钟。 20 9.7 10
计算方信研宪的玉要内家 ·如何把教学模型归结为数值问题，知积分么 的求取方法； ·如何制定较好的数值计算方法，如提高运算速 度、节省存贮空间等； ·如何估计一个给定算法的精度，分析误差在计 算过程中的积累和传播； ·如何构造精度更高的算法，并研究算法的收 敛性、稳定性等
计算方法研究的主要内容： • 如何把数学模型归结为数值问题,如积分 的求取方法； • 如何制定较好的数值计算方法,如提高运算速 度、节省存贮空间等； • 如何估计一个给定算法的精度,分析误差在计 算过程中的积累和传播； • 如何构造精度更高的算法，并研究算法的收 敛性、稳定性等 dx x x 1 0 sin
t算1e,n=0,2 由高等数学知识可知： I,=e[x'e'dx=e"[e'dx=e(e-1)=1-ex0.6321 L.=e-fx'd(e")=e"("e-Le'd(x"))-1-nl. 1.-e恤ex e 1e"ase小r n+1 大致趋势：n越大，I,越小
, 0 1 2 . 1 1 0 x e dx n , , , e I n x n = = 计算： 由高等数学知识可知： ( 1) 1 0.6321 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 = = = − = − − − − − I e x e dx e e dx e e e x x ( ) 1 1 0 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) 1 − − − = = − = − n n x n x x n I n e x d e e x e e d x nI 1 1 1 1 1 (max ) 1 (min ) 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 + + + = + = − − − − n I n e n I e e x dx n e I e e x dx n x n x n x n x n 大致趋势： n 越大， I n 越小
计算L.-xe,n=0.1,2 可使用以下两个公式进行计算： 公试-：1，=1-e≈0.6321 I=1-nI +)。为-个较大数 e 公式二： -1)
, 0 1 2 . 1 1 0 x e dx n , , , e I n x n = = 计算 可使用以下两个公式进行计算： = − = − − − 1 1 0 1 1 0.6321 n n I n I I e 公式一： = − + + + = − − (1 ) 1 ) 1 1 1 ( 2 1 1 1 * n n N N I n I I n n e I 公式二： (N为一个较大数)
计算结课： 公式一 公式二 I=1-e1=0.6321 计算结果真好 ≈0.042746233 =1-1=0.36787944 21616 14 ) 1。=1-10-L=0.08812800 怎么回 事1 I=1-11I,=0.03059200 )≈ 6z20 I,=1-12.I=0.63289600? [=1-13.1,=-7.2276480?8 )≈0.36787944 =1-14.I=94.959424？1 I=1-15·I=-1423.39141！I。 （I)≈0.63212056
计算结果： 公式一 公式二 1 15 1423 3914 1 14 94 959424 1 13 7 2276480 1 12 0 63289600 1 11 0 03059200 1 10 0 08812800 . 1 1 0 36787944 0 6321 1 1 1 5 1 4 * 1 3 * 1 4 * 1 2 * 1 3 * 1 1 * 1 2 * 1 0 * 1 1 * 9 * 1 0 * 0 * 1 * 0 I I . I I . I I . I I . I I . I I . I I . I e . = − = − = − = = − = − = − = = − = = − = = − = = − = − (1 ) 0 63212056 1 1 (1 ) 0 36787944 2 1 (1 ) 0 066870220 14 1 (1 ) 0 063816918 15 1 0 042746233 16 1 2 16 1 * 1 * 0 * 2 * 1 * 1 4 * 1 3 * 1 5 * 1 4 1 * 1 5 I I . I I . I I . I I . . e I = − = − = − = − = + − ? ?? ? ! ! ! 怎么回 事?! 计算结果真好！