主要内容 ·高斯求积公式的定义 ·高斯求积公式的构造 ·数值微分与误差估计
主要内容 • 高斯求积公式的定义 • 高斯求积公式的构造 • 数值微分与误差估计
插值型求积公式的 最高代数精度讨论 [f(x)k≈∑Af(x） 前面讨论求积公式构造的过程中，节点x(k=0,1, 2,.,)是确定的，而且通常情况下是等距分布的。 对于一个两节点的插值求积公式，待求的求积系数个 数为2。一般情况下，如果求积公式具有1次代数精度， 则所有求积系数可通过方程式求解如下例： 试确定一个具有1次代数精度的公式 〔f(x)d=Af(a)+Af(b)
插值型求积公式的 最高代数精度讨论 = n i k k b a f x dx A f x 0 ( ) ( ) 前面讨论求积公式构造的过程中，节点xk (k=0,1, 2, . ,n)是确定的，而且通常情况下是等距分布的。 对于一个两节点的插值求积公式，待求的求积系数个 数为2。一般情况下，如果求积公式具有1次代数精度， 则所有求积系数可通过方程式求解.如下例: 试确定一个具有1次代数精度的公式 ( ) ( ) ( ) f x dx A0 f a A1 f b b a = +
试确定一个具有1次代数精度的公式 f(x)≈Af(a)+Af(b) 解：因为当(i=0,1)时，∫xd分别为(b-a)和(b-a) 故要公式具有1次代数精度，则必须有 f(x)=1 [Af(a)+Af(b)=A+A=b-a f(x)=x Af(a)+Af(b)=aA+bA=(b-a) 解此方程组得：A,=A= b-a 梯形公式 求积公式 rxw=i,fa+fol
试确定一个具有1次代数精度的公式 解：因为当 故要公式具有1次代数精度，则必须有 f (x) = 1 f (x) = x ( ) ( ) ( ) f x dx A0 f a A1 f b b a + 时， 分别为 和 ( )， 2 1 ( 0,1) ( ) 2 2 i x dx b a b a b a i = − − + = + = − + = + = − ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 A f a A f b aA bA b a A f a A f b A A b a 解此方程组得： 2 0 1 b a A A − = = ( ) ( ) 2 求积 式 ( ) f a f b b a f x dx b a + − 公 梯形公式
求积公式∫(x)d≈Af(a)+Af(b)要具有2次精度，则必须满足 f(x)=1A+A=b-a f(x)=xaA+bA =(b2-a)/2 f(x)=x aA+bA=(b-a)/3 两个变量 三个独立方程 将人=4=6,2代入最后一个方程的左边，符到 “(+6)≠，4→以上方程组为“不盾方程组巴 2 3 如果假设求积节点可以任意选择，即求积公式) 四个变量 三个独立方程 f(x)d=Af(x,)+Af(xb则以上方程变为 还需补充一个方程 A∫(x)+A∫(x)=A,+A=b-a Af(x)+Af(x,)=xA+x,A=(bi-a)/2 Af(x)+Af(x,)=x4+xA=(bi-a)/3
f (x) = 1 f (x) = x 求积公式 f (x)dx A0 f (a) A1 f (b)要具有2次精度，则必须满足 b a + + = − + = − + = − ( )/ 3 ( )/ 2 3 3 1 2 0 2 2 2 0 1 0 1 a A b A b a aA bA b a A A b a 2 f (x) = x 3 ( ) 2 3 3 2 2 b a a b b a − + − 将 代入最后一个方程的左边，得到 2 0 1 b a A A − = = 以上方程组为“矛盾方程组” 两个变量 三个独立方程 ，则以上方程变为 如果假设求积节点可以任意选择，即求积公式为 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 f x dx A f x A f x b a = + + = + = − + = + = − + = + = − ( ) ( ) ( )/ 3 ( ) ( ) ( )/ 2 ( ) ( ) 3 3 1 2 0 1 2 0 0 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 A f x A f x x A x A b a A f x A f x x A x A b a A f x A f x A A b a 四个变量 三个独立方程 还需补充一个方程
求积公式f(x)=Af(x)+Af(x 两节 A+4=b-a 式可 归纳总结 N+1个节点的 x4+x,A=(b2-a2)/2 4 积分公式最多 xA+x4=(b-a)1365 可达到多少次 的代数精度？ xiA+xA=(bi-a)/4 2N+2个未知变量，需 要2N+2个独立方程， 即满足0次到2N+1次 代数精度时所组成的 2N+2个方程
( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 f x dx A f x A f x b a = + 求积公式 + = − + = − + = − + = − ( )/ 4 ( )/ 3 ( )/ 2 4 4 1 3 0 1 3 0 3 3 1 2 0 1 2 0 2 2 0 0 1 1 0 1 x A x A b a x A x A b a x A x A b a A A b a 四个变量 四个独立方程 最终得到的求积公 式具有3次代数精度 两节点求积公 式可不可能有 4次代数精度? a b a 0 b x 1 x 归纳总结 N+1个节点的 积分公式最多 可达到多少次 的代数精度？ 2N+2个未知变量，需 要2N+2个独立方程， 即满足0次到2N+1次 代数精度时所组成的 2N+2个方程
高斯求积公式 具有最高代数精度(2+1次代数精度)的求积公式 ∫f(x)k≈∑Af(x) 称为Gauss型求积公式。其节点称为Gauss点。 问题难点：非线性方程组的求解 A+A=b-a x,A,+x,A=(b-a)/2 多节点的高斯 x4+x4=(b-a)/3 求积公式岂不 是很难求得？ xA,+x3A=(b4-a4)/4
= b a n k k k f x dx A f x 0 ( ) ( ) 具有最高代数精度(2n+1次代数精度)的求积公式 称为Gauss 型求积公式。其节点称为Gauss 点。 高斯求积公式 + = − + = − + = − + = − ( )/ 4 ( )/ 3 ( )/ 2 4 4 1 3 0 1 3 0 3 3 1 2 0 1 2 0 2 2 0 0 1 1 0 1 x A x A b a x A x A b a x A x A b a A A b a 问题难点: 非线性方程组的求解 多节点的高斯 求积公式岂不 是很难求得？
定理：对于在区间[-1,1]上的求积公式 ∫f(x)dk≈∑Afx) 如果节点x,x,x时n+1次多项式 0(x)=(x-x)(x-x).(x-xn) 的根，并且o(x)与任意一个次数不超过n的多项式q(x) 正交，即 ∫ox)q(x)dk=0 则以上求积公式对一切次数不超过2n+1的的多项式都 准确成立，此时求积系数为 4=-x)o(x 0(x) d
dx x x x x A n x q x dx x n q x x x x x x x x x x x n f x dx A f x k k k n n n k k k − − − = − = + = = − − − + − 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , , 1 ( ) ( ) [ 1 1] 准确成立，此时求积系数为 则以上求积公式对一切次数不超过 的的多项式都 正交，即 的根，并且 与任意一个次数不超过 的多项式 如果节点 时 次多项式 定理：对于在区间 ， 上的求积公式
在区间[-l1,1]上，勒让德(Legendre)多项式 p(x)=,d0x-1y]是正交的，即 2"n!dx" Lp.(x)p.(xdx=0 首项系数为1 因此，p(x)的n+1各7就是高斯型积分公式的 积分节点，对应的(x)为p(x)除以其首项系数， o(x)= a太x-r】 于是，4o 2 (1-x)[p,(x)月
( ) ( ) 0 [( 1) ] 2 ! 1 ( ) [ 1 1] 1 1 1 2 = = − − − + p x p x dx x dx d n p x Legendre n n n n n n n 是正交的，即 在区间 ， 上，勒让德（ ）多项式 ( ) 1 2 1 1 1 1 1 2( 1) ! ( 1)! ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 + + + + + − + + = + n n n n n x dx d n n x x p x p x n 积分节点，对应的 为 除以其首项系数 因此， 的 各零点就是高斯型积分公式的 首项系数为1 2 2 1 1 (1 ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) k k k n k k x p x dx x x x x A − = − = − 于是
高斯求积公式的构造过程如下： ①计算p(x)的n+1个零点，作为高斯点； ②)通过计算公式确定A: 3)求积公式形成。 例： 1.构造单节点高斯积分公式，此时n=0 (n+1=D p(x)=}4x-)=x,px)=l 2 dx 2 p,(x)的零点为x。=0, A=1-xIpx,刀 =2 于是， ∫f(x)dk≈2f0) 以此类推，便可以得到2节点~5节点时的高斯型求积公式
（）求积公式形成。 （）通过计算公式确定 ； （）计算 的 个零点，作为高斯点； 高斯求积公式的构造过程如下： 3 2 1 1 ( ) 1 k n A p + x n + ( ) 2 (0) 2 (1 )[ ( )] 2 ( ) 0, ( 1) , ( ) 1 2 1 ( ) 1. 0 1 1 1 1 2 1 0 2 0 1 0 0 1 2 1 f x dx f x p x p x x A x x p x dx d p x n n = − = = = − = = = + = − 于是， 的零点为 构造单节点高斯积分公式，此时 （ ） 例： 以此类推，便可以得到2节点~5节点时的高斯型求积公式
高斯求积公式的截断误差为 RL]= 22*[(n+1川 2n+32n+2)川 Tf( 7∈(-1,1) 例题：利用两点高斯公式求积分V1+xd 关键步骤1：变量代换，转换求积区间为-1,1]实际积分区间可[0,1】 令x=at+b,并由x=0时t=-1,x=1时t=1,得到 [0=-a+b∫a=1/2∫x=(t+1)/2 l1=a+6 →b=1V2k=0/2dh 1=小*=，+"→0=， 查表得到高斯点，=- 求积系数A=A=1 1≈Af(t)+Af(t)=1.147833092
( ), ( 1,1) 2 3 (2 2)! 2 ( 1)! [ ] ( 2 2) 3 4 2 3 − + + + = + + 高斯求积公式的截断误差为 n n f n n n R f + 1 0 2 例题：利用两点高斯公式求积分 1 x dx 关键步骤1:变量代换,转换求积区间为[-1,1] 实际积分区间[0,1] = = + = = = + = − + = + = = − = = dx dt x t b a a b a b x at b x t x t (1/ 2) ( 1)/ 2 1/ 2 1/ 2 1 0 令 ,并由 0时 1, 1时 1，得到 4 ( 1) 1 2 1 ( ) 4 ( 1) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 2 + = + + = + = + − t dt f t t I x dx 1 3 1 , 3 1 查表得到高斯点t 0 = − t 1 = ，求积系数A0 = A1 = I A0 f (t 0 ) + A1 f (t 1 ) =1.147833092