主要内容 ·数值积分的意义 ·插值积分公式的构造 ·插值积分公式的精度 ·龙贝格积分公式
主要内容 • 数值积分的意义 • 插值积分公式的构造 • 插值积分公式的精度 • 龙贝格积分公式
为什么要数值积分？ 在微积分里，按Newton-Leibniz公式 求定积分 要求被积函数f(x) © 有解析表达式： F(x)有解析表达式 ©f(x)的原函数F(x)为初等函数
在微积分里，按Newton-Leibniz公式 求定积分 要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数． 为什么要数值积分？ F(x)有解析表达式
问题 f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. X 1 2 3 4 5 f(x) 4 4.5 6 8 8.5 f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 (arctanx/x 它们的原函数都不是初等函数
问题 f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5 f(x) 4 4.5 6 8 8.5 f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g. ， 它们的原函数都不是初等函数。 1 2 0 x e dx − 1 0 (arctan ) x x dx
求定积分就得通过近似计算一数值积分求得 积分近似值。 基本思想： 是对被积函数进行近似，给出数值积分，同 时考虑近似精度 可采用数据插 值方法获得(x) 的近似函数
求定积分就得通过近似计算－数值积分求得 积分近似值。 基本思想: 是对被积函数进行近似，给出数值积分，同 时考虑近似精度。 可采用数据插 值方法获得f(x) 的近似函数
设在区) 数值积分就是将定积分计 <x =b, 由n+] 算简化为计算被积函数在 直多项式有 各节点处函数值的线性组 值点 合。求积系数的确定以及 求积公式的误差分析成为 (常量) 数值积分研究的主要内容。 dx 品-0 @(x) kfx)=∑Af(x) k=0 插值求积公式， 由插值节点决定， Ak为求积系数 与f(x无关，记为Ak (可事先求出)
由 个数据点（ 作一插值多项式有 设在区间 上有 个节点 ， 1 , ( )) ( 0,1,2, , ) [ , ] 1 0 1 2 1 n x f x k n a b n a x x x x x b k k n n + = + = − = = − = n k k k k n x x x x p x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 各插值点 函数值 （常量） = − = b a n k k k b a n b a n dx x x x x f x f x dx p x dx p x f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = n k b a k k dx x x x x f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = − = n k k b a k dx f x x x x x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = = n k k k A f x 0 ( ) 由插值节点决定， 与f(x)无关,记为Ak 插值求积公式， Ak为求积系数 (可事先求出) 数值积分就是将定积分计 算简化为计算被积函数在 各节点处函数值的线性组 合。求积系数的确定以及 求积公式的误差分析成为 数值积分研究的主要内容
1.梯形公式： 用过点4(a,f@)和B(b,fb)的线段 y-fa)+I(b)-f(@(x-a) b-a 近似代替曲线y=fx),x∈[a,b小. fx) 两节点插值（一次插值） fb) w2@+fL Ra) 2.辛甫生公式：设x1为a和b的中间点，用过点4(a,), Cc1,fc)和B(b,fb)的抛物线近似代替曲线y=fx),x∈a,b. 三节点插值（抛物线插值、二次插值） rseb。2@+4+o外 注：Simpson公式又叫抛物线公式
用过点A(a, f(a)) 和B(b, f(b))的线段 近似代替曲线y=f(x), x [a, b]. ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a y f a x a b a − = + − − 1. 梯形公式: ( ) [ ( ) ( )]. 2 b a b a f x dx f a f b − + f(x) a b f(a) f(b) 两节点插值（一次插值） ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]. 6 2 b a b a a b f x dx f a f f b − + + + 设x1为a和b的中间点，用过点A(a, f(a))， C(x1 , f(x1 )) 和B(b, f(b))的抛物线近似代替曲线y=f(x), x [a, b]. 2. 辛甫生公式: 注： Simpson公式又叫抛物线公式。 三节点插值（抛物线插值、二次插值）
3.柯特斯公式：（五节点插值)将[a,b分成四份，xk=a+(b- a)k/4(k=0,1,2,3,4),类似于前面的推导过程，可以得到 心fx)d≈n.(x)da Cotes公式 6-a[7f(a)+32fx)+12f(x,)+32f(x,)+7fb】 90 0○ 通常求积区间[a,b]上的己知节点个数 都>4，而高次插值公式的精度不见得 就好，类似于分段低次插值的概念， 我们通常使用复化的求积公式
（五节点插值）将[a,b]分成四份，xk=a+(ba)k/4 (k=0,1,2,3,4)，类似于前面的推导过程，可以得到 3. 柯特斯公式: b a b a f (x)dx p (x)dx 4 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( ) 90 f a f x1 f x2 f x3 f b b a + + + + − = Cotes公式 通常求积区间[a,b]上的已知节点个数 都>4，而高次插值公式的精度不见得 就好，类似于分段低次插值的概念， 我们通常使用复化的求积公式
1.复化梯形公式 设[a,b]由n个等分子区间构成，则每个子区间的长度为 h=(b-a)/N- h称为步长 记n+1个节点为x=a+kh(k=0,1,2,.,n) 在每个子区间可[x,x]上应用梯形公式并将各子区间 的积分值相加，得到总区间[a 复化梯形公式，有时 fa≈h)f)+h区 也简称为梯形公式 -[fa)+22f+f
1.复化梯形公式 设[a,b]由n个等分子区间构成，则每个子区间的长度为 h = (b − a)/ N h称为步长 n 1 x a k h(k 0,1,2, ,n) 记 + 个节点为 k = + = , [ , ] ( ) : [ , ]1 的积分值相加 得到总区间 上函数 的积分值 在每个子区间 上应用梯形公式并将各子区间 a b f x x x k k + 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 n 1 n b a f x f x h f x f x h f x f x f x dx h + + + + + + − = + + − = 1 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 N k f a f xk f b h 复化梯形公式，有时 也简称为梯形公式
2.复化辛甫生公式 [a,b]由n个等分子区间构成，子区间长度h=(b-a)/N n+1个节点为x=a+kh(k=0,1,2,.,n) 若每个子区间[x,x]的中点为x,则可以在每个 子区间上应用辛甫生公式， 复化辛甫生公式 相加得到总区间[a,b]上函数/ s*a)+42/,2x)+创】
2.复化辛甫生公式 [a,b]由n个等分子区间构成，子区间长度h = (b − a)/ N n 1 x a k h(k 0,1,2, ,n) + 个节点为 k = + = [ , ] ( ) : [ , ] , 2 1 1 相加得到总区间 上函数 的积分值 子区间上应用辛甫生公式，将各子区间的积分值 若每个子区间 的中点为 则可以在每个 a b f x x x x k k k + + + + + − = − = + ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 1 1 1 0 2 f a f x 1 f x f b h f x dx N k k N k k b a 复化辛甫生公式
3.复化柯特斯公式 [a,b]由n个等分子区间构成，子区间长度h=(b-a)/N n+1个节点为x=a+kh(k=0,1,2,.,n) 若每个子区间可[x,x:]又分为四等份， 内点依次记为x4X则可以在每个子区间上 k+ 应用柯特斯(Cotes)公式， 复化柯特斯公式 相加得到总区间[a,b]上函 rxs是[7o)+22)12x） +32∑fx.)+14∑fx)+7fb)
3.复化柯特斯公式 [a,b]由n个等分子区间构成，子区间长度h = (b − a)/ N n 1 x a k h(k 0,1,2, ,n) + 个节点为 k = + = [ , ] ( ) : ( ) , , , [ , ] 4 3 2 1 4 1 1 相加得到总区间 上函数 的积分值 应用柯特斯 公式，将各子区间的积分值 内点依次记为 则可以在每个子区间上 若每个子区间 又分为四等份， a b f x Cotes x x x x x k k k k k + + + + + + − = + − = + 1 0 2 1 1 0 4 1 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 90 ( ) N k k N k k b a f a f x f x h f x dx 复化柯特斯公式 + + + − = − = + 32 ( ) 14 ( ) 7 ( ) 1 1 1 0 4 f x 3 f x f b N k k N k k