第十一章 第四节全般分方程 (Total differential equation) 一、全微分方程 二、积分因子法 三、用积分因子法解一阶线性方程 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 全微分方程 第十一章 (Total differential equation) 一、全微分方程 二、积分因子法 三、用积分因子法解一阶线性方程 四、小结与思考练习
一、全微分方程 若存在(x,y)使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 则 P(x,y)dx+O(x,y)dy=0 ① 为全微分方程（又叫做恰当方程) 判别：P,⑨在某单连通域D内有连续一阶偏导数，则 ①为全微分方程— aP8 ,(x,y)∈D 求解步骤： ∂yo 1.求原函数u(化，y) 方法1利用积分与路径无关的条件（见9.3节）， 方法2凑微分法； 2.由du=0知通解为u(k,y)=C. 2009年7月27日星期一 2 目录○ 上页>( 下页 、返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数 , , x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ ① 为全微分方程 x y),( ∈ D 求解步骤 : 1. 求原函数 u (x, y ) 则 方法 1 利用积分与路径无关的条件 ( 见9. 3 节). 方法 2 凑微分法 ; 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 一、全微分方程 若存在 yxu ),( 使 xu y = P x y + xQx y d),(d),(),(d y 则 P x y + xQx y y = 0d),(d),( 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) ①
例1求解 (自学课本例1) (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 解：因为ay P=6xy-3y二，故这是全微分方程 8x 取0=0,0=0，则有 u(x.)=fo5x4 dx+(3x2y-3xy2+y2)dy =x+3 y↑(x,y) 因此方程的通解为 3y-xy 3 0(x,0) 2 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 y x y),( o x 0d)33(d)35( 324 2 22 yyyxyxxyyxx =+−+−+ 解 : 因为 = ∂ ∂ y P 2 − 36 yyx , x Q ∂ ∂ = 故这是全微分方程. ,0,0 取 = yx 00 = xxyxu x d5),( 0 4 ∫ = 则有 yyyxyx y d)33( 0 2 22 ∫ +−+ 5 = x 22 2 3 + yx 3 − yx 3 3 1 + y 因此方程的通解为 =+−+ Cyyxyxx 33225 3 1 2 3 x )0,( 例1 求解 （自学课本 例 1 ）
2求x+2)dr-dy=0(学生练 解法1： .Op 1 00 ay 2 8x ,这是一个全微分方程 取=1，乃=1，则有 m-+a- 片 _y +2 (x,y) 故原方程的通解为 x2-+1 =C1 x 2 如， 或 -士=c(t*c=G别 X 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 0d 1 d)( 2 y =−+ x x x y x 解法 1： 2 1 y x P = ∂ ∂ ∵ , ∴ 这是一个全微分方程 . x Q ∂ ∂ = 0 0 取 x y =1 1 , = , 则有 2 1 1 (, ) d x uxy x x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 d y y x ⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 1 2 2 x x x ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 y y x ⎡ ⎤ + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 2 = x 1 x − 1 2 + y x − 1 x + 1 1 2 2 2 y x x = − + 故原方程的通解为 2 1 1 1 2 2 y x C x − + = y),( （学生练习） y x o x (1,1) ( ,1) x 或 2 1 1 2 1 2 y x C C x C ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎝ = − ⎟ ⎠ 其中 例2 求
例2求 (x+ 2)dx-dy=0 解法2：，P-=,这是一个全微分方程. ay x2 Ox' 用凑微分法求通解.将方程改写为 xdx-xdy-ydx=0 x2 即 a(22)-d()-0咸d(22-)-0 故原方程的通解为)-式C 2009年7月27日星期一 5 目录○ 、上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 0d 1 d)( 2 y =−+ x x x y x 解法2: 2 1 y x P = ∂ ∂ ∵ ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解 . 将方程改写为 0 dd d 2 = − − x xyyx xx 即 ( ) ( ) ,0d 2 1 d 2 =− x y x ( 故原方程的通解为 ) 0 2 1 d 2 =− x y 或 x C x y x =− 2 2 1 , x Q ∂ ∂ = 例2 求
思考：如何解方程(x3+y)dx-xdy=0? 这不是一个全微分方程，但若在方程两边同 、 就化成例2的方程. 二、积分因子法(Integral factor) P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 若存在连续可微函数山=4(x,y)≠0，使 L(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)e(x,y)dy =0 为全微分方程，则称(x,y)为原方程的积分因子. 在简单情况下，可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 二、积分因子法 （Integral factor) 思考 : 如何解方程 ?0dd)( 3 yxxyx =−+ 这不是一个全微分方程 , , 1 2 x 就化成例2 的方程 . μ = μ x y ≠ ,0),( 使 μ x y P x y + μ xx y xQ y y = 0d),(),(d),(),( 为全微分方程 , 则称 μ yx ),( 为原方程的积分因子 . 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 但若在方程两边同乘 P x y + xQx y y = 0d),(d),( 若存在连续可微函数 积分因子
常用微分倒推公式： 1)dx±dy=d(x±y) 2)xdy+ydx=d(xy 3)xdx+ydy=d((x2+y2)) 的 5) x2 6) ydx-xdy=d(In) 积分因子不一定唯一 例3对ydx-xdy=0 7) ydx-xdy=d(arctan) 可政u=子，“= 1 2 x-+y 8) dr+dy=d(√x2+) xy, x2+y2 Vx2+y2 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 x y =± ±yx )(ddd)1 x y + y x = x y )(ddd)2 x x + y y = (ddd)3 )( ) 22 2 1 +yx )(d dd )4 2 = − y yxxy y x )(d dd )5 2 = − x yxxy x − y )(d dd )6 = − yx yxxy y x ln )(d dd )7 22 = + − yx yxxy y x arctan )(d dd )8 22 = + + yx yyxx 22 + yx 积分因子不一定唯一 . 例 3 对 y x − x y = 0dd 可取 , 1yx μ = 22 1 + yx μ = , 2 1 y μ = , 2 1 x μ = 常用微分倒推公式 :
例4求(1+xy)ydx+(1上xy)xdy=0(补充题) 解：分项组合得(ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=O 即d(xy)+x2y2(_dy)=0 x y 选择分因子(）=，同乘方程两边，符 d(xy),dx dy =0 (xy)2 x y 即 d()+d1nx)-dmy）=0 XV 1 因此通解为n于=C即于Ce 因七=0也是方程的解，故C为任意常数. 2009年7月27日星期一 8 目录 上页」 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 + x y y x + − x y x y = 0d)1(d)1( 解 : 分项组合得 y x + x y )dd( 即 0) dd()(d 22 + =− y y x x yxyx 选择积分因子 ,),( 22 1 yx μ yx = 同乘方程两边 , 得 0 d d )( )d( 2 =−+ y y x x yx x y 即 ( ) 0)lnd()lnd( 1 d =−+ − yx yx 因此通解为 ,lnln 1 C y x yx =+ − 即 yx eC y x 1 = 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . + x y y − xx y = 0)dd( 例4 求 (补充题）
三、利用积分因子法解一阶线性方程 dy+P(x)y=Q(x) d 两边同时乘以积分因子M)=eJPa yeh+P(x)eA临=Q(x)euM 即 wre=een 亦即 [eh]=eee 两端积分，便得通解 y=ef[jewers+d 2009年7月27日星期一 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 )()( d d xQyxP x y =+ 两边同时乘以积分因子 ( ) ( ) P x dx ux e ∫ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx P x dx ye yP x e Q x e ∫ ∫ ′ + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx P xdx ye y Q x e e ′ ∫ ∫ ⎡ ⎤ ∫ ′ + ⎢ ⎥ ⎣ = ⎦ 即 ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx ye Q x e ′ ⎡ ⎤ ∫ ∫ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 亦即 两端积分，便得通解 ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫ ∫ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 三、利用积分因子法解一阶线性方程
例5求解（习题11.43(2）)y'-tanx.y=x 解：方程两边同时乘以积分因子 P=-tanx,O=x u)=era=e∫an =Ccosx 得 y'cosx-tanx.ycosx=xcosx 即 y'cosx-ysinx=xcosx 亦即 (ycosx)=xcosx 两端积分，便得通解 yCOSx=xsinx+cosx+C 或 y=xtanx+1+Csecx 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 得 y x xy x x x ′cos tan cos cos − ⋅ = 解 :方程两边同时乘以积分因子 P xQ x =− = tan , ( ) ( ) P x dx ux e ∫ = tan xdx e − ∫ = = C x cos 即 y xy x x x ′cos sin cos − = ( ) y xxx cos cos ′ 亦即 = 两端积分，便得通解 y x x x xC cos sin cos = + + 或 yx x C x = tan 1 sec + + 例5 求解( 习题11.4 3(2) ) y xy x ′− tan ⋅ =