第4期 ZHANG Tianjie,et al.:A modified consensus algorithm for multi-UAV formations based on pigeon-inspired optimization with a slow diving strategy ·575. 2.3 Convergence analysis of SD-PIO based on velocities,z(i)is theith element of z(t),i1,2,..., Banach fixed-point theorem 2n} In this section,convergence analysis of SD-PIO is z(i)∈u(z(t)=[xan(d)）…xa(t)h(t)…u(t)]' performed and a sufficient condition is proposed for the z()∈z),3K∈Na.st.u(2(t)=K&(). first part of SD-PIO SD-PIO-I).The main method d(T(a),T(a2)=max|T(a)-T(2)|= 1安12山 adopted to prove the stability of iteration is the Banach max Fz+Bu(z)-Fz2 Bu(z2)= 1名i名2m fixed-point theorem,as stated below: ‖Fz1+BK11-Fz2-BK22‖。(13) A map T from a normed space (V,d())into itself There is is a contraction if there exists入∈[0，l)such that for L=F(a-2)+B.[0…xa-x%0…6-%0…0] alx,y∈V,d(T(x),T(y))≤Ad(x,y) (14) In the first part of SD-PIO,each pigeon updates s.t.L=ll Fz +BK2-Fz2 BK222ll,thus the its speed and location according to Eq.(10),which largest element of Fz+BK21-Fz2 BK222 is can be transformed as selected and denoted as supposing it is thej thelement.F.and B..are the whole j th row of F and B, exp(-Rt) respectively.Ifjn,is the j th element of K121 -K2z2 and via-v2 is the (j n)th one, (12) otherwisex-xz is the (j-n)th element and v-v when it considers all the pigeons,(t 1)= is the j th one. Fz(t)+Bu(z(t)), |L=|F.(a-2)+B.[0…k4z0…k40…0]= where z(t)=[x(t)…xn(t),(t)…vn(t)]T, |F(a1-z2）+B.[0…k1…k2…0]4z≤ [1-9 exp(-Rt) ‖F(a1-2)+BK(a1-a2)‖。≤ lF+BK‖m‖a1-22‖。=lF+BKld(z1,a2） 1-ro exp(-Rt) (15) exp(-Rt) Whee4=maxl(i)-z(i)l,k,=xa-xsl/△， 1名i62 |k2=。-2sl/△，k,k2∈[-1,0)U(0,1], -rO exp(-Rt)」 「0 01 1-9 k K= ,,k2 lies in the j th column, 1- k2 B =r 1- Lo 0 The equation holds if and only ifx=v- 1-9 026=Az. u(z(t)=[xeai(t)…xuan(t)un(t）…tahn(t)] The Banach fixed-point theorem requires llF+ If iteration z(t+1)=Fz(t)+Bu(z(t))has a fixed- BKI∈[0,1) pointed',as a result,z'=Fz·+Bu(z）,then max1-or exp(-Rt)+rk o +rk2(1-), SD-PIO-I will converge to 2'and each pigeon will gr exp(-Rt)+rk rk2(1-p)<1 reach its final stable location as time tends to infinity. Denoting Z as a real number space R"and distance -仁120e1-o d(y)=yyeZ,Zhas been proven (16) as a complete metric space.There is a map T:Z-Z, Equation (16)is a sufficient condition for the T(z)=Fz+Bu(z),whereF∈R2xn,B∈R2nxn, convergence of SD-PIO-I,once it is satisfied,we have u(z)=K2x2n2,then Vz1,2∈Z,T(z1),T(a2）∈Z, d(T(x),T(y)≤IF+BKld(x,y),IF+BKIe∈ it can be proven that if d(T(x),T(y))sAd(x,y), [0,1),there exists a fixed-point z'satisfying z'= A [0,1),there exists a fixed-point which satisfies Fz·+Bu(z) the condition 2'=T(2)=Fz'Bu(z)and the x=v+x states of SD-PIO-I converge to z'.The following x=x+exp(-Ri)v'+r(imx)+(1-)vi] proves this conclusion. (17) Because the best local location and the slowest m°=0 Equation(17）→ .the states of SD-PIO-I speed are among all the pigeons'locations and２． ３ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＳＤ⁃ＰＩＯ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｂａｎａｃｈ ｆｉｘｅｄ⁃ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ， ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ＳＤ⁃ＰＩＯ ｉｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ａｎｄ ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐａｒｔ ｏｆ ＳＤ⁃ＰＩＯ （ ＳＤ⁃ＰＩＯ⁃Ｉ）． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｄｏｐｔｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ Ｂａｎａｃｈ ｆｉｘｅｄ⁃ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ， ａｓ ｓｔａｔｅｄ ｂｅｌｏｗ： Ａ ｍａｐ Ｔ ｆｒｏｍ ａ ｎｏｒｍｅｄ ｓｐａｃｅ （Ｖ，ｄ（）） ｉｎｔｏ ｉｔｓｅｌｆ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ λ ∈ ［０，１） ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ ｘ，ｙ ∈ Ｖ，ｄ（Ｔ（ｘ），Ｔ（ｙ）） ≤ λｄ（ｘ，ｙ） ． Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐａｒｔ ｏｆ ＳＤ⁃ＰＩＯ， ｅａｃｈ ｐｉｇｅｏｎ ｕｐｄａｔｅｓ ｉｔｓ ｓｐｅｅｄ ａｎｄ ｌｏｃａｔｉｏｎ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ Ｅｑ． （１０）， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ａｓ ｘｉ（ｔ ＋ １） ｖｉ（ｔ ＋ １） é ë ê ê ù û ú ú ＝ １ － ｒφ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） － ｒφ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） é ë ê ê ù û ú ú ｘｉ（ｔ） ｖｉ（ｔ） é ë ê ê ù û ú ú ＋ ｒ φ １ － φ φ １ － φ é ë ê ê ù û ú ú ｘｌｂｅｓｔ ｖｓｌｏｗ é ë ê ê ù û ú ú （１２） ｗｈｅｎ ｉｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｐｉｇｅｏｎｓ， ｚ（ｔ ＋ １） ＝ Ｆｚ（ｔ） ＋ Ｂｕ（ｚ（ｔ）） ， ｗｈｅｒｅ ｚ（ｔ） ＝ ｘ１（ｔ） … ｘｎ（ｔ） ｖ１（ｔ） … ｖ [ ｎ（ｔ） ] Ｔ ， Ｆ ＝ １ － ｒφ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） ⋱ ⋱ １ － ｒφ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） － ｒφ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） ⋱ ⋱ － ｒφ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú Ｂ ＝ ｒ φ １ － φ ⋱ ⋱ φ １ － φ φ １ － φ ⋱ ⋱ φ １ － φ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ｕ（ｚ（ｔ））＝ ｘｌｂｅｓｔ１（ｔ） … ｘｌｂｅｓｔｎ（ｔ） ｖｓｌｏｗ１（ｔ） … ｖ [ ｓｌｏｗｎ（ｔ）] Ｔ ． Ｉｆ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｚ（ｔ ＋ １） ＝ Ｆｚ（ｔ） ＋ Ｂｕ（ｚ（ｔ）） ｈａｓ ａ ｆｉｘｅｄ⁃ ｐｏｉｎｔｅｄ ｚ ∗ ， ａｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ， ｚ ∗ ＝ Ｆｚ ∗ ＋ Ｂｕ（ｚ ∗ ） ， ｔｈｅｎ ＳＤ⁃ＰＩＯ⁃Ｉ ｗｉｌｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｔｏ ｚ ∗ ａｎｄ ｅａｃｈ ｐｉｇｅｏｎ ｗｉｌｌ ｒｅａｃｈ ｉｔｓ ｆｉｎａｌ ｓｔａｂｌｅ ｌｏｃａｔｉｏｎ ａｓ ｔｉｍｅ ｔｅｎｄｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｄｅｎｏｔｉｎｇ Ｚ ａｓ ａ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｐａｃｅ Ｒ ｎ ａｎｄ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｄ（ｘ，ｙ） ＝ ｍａｘ １≤ｉ≤２ｎ ｘｉ － ｙｉ ，ｘ，ｙ ∈ Ｚ，Ｚｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｎ ａｓ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｍｅｔｒｉｃ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍａｐ Ｔ：Ｚ → Ｚ， Ｔ（ｚ） ＝ Ｆｚ ＋ Ｂｕ（ｚ） ，ｗｈｅｒｅ Ｆ ∈ Ｒ２ｎ×２ｎ ， Ｂ ∈ Ｒ２ｎ×２ｎ ， ｕ（ｚ） ＝ Ｋ２ｎ×２ｎ ｚ， ｔｈｅｎ ∀ｚ１ ，ｚ２ ∈Ｚ， Ｔ（ｚ１ ），Ｔ（ｚ２ ） ∈Ｚ， ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｏｖｅｎ ｔｈａｔ ｉｆ ｄ（Ｔ（ｘ），Ｔ（ｙ）） ≤ λｄ（ｘ，ｙ）， λ ∈［０，１）， ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｆｉｘｅｄ⁃ｐｏｉｎｔ ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｚ ∗ ＝ Ｔ（ｚ ∗ ） ＝ Ｆｚ ∗ ＋ Ｂｕ（ｚ ∗ ） ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔａｔｅｓ ｏｆ ＳＤ⁃ＰＩＯ⁃Ｉ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｔｏ ｚ ∗ ． Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｉｓ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ． Ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｌｏｃａｌ ｌｏｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｌｏｗｅｓｔ ｓｐｅｅｄ ａｒｅ ａｍｏｎｇ ａｌｌ ｔｈｅ ｐｉｇｅｏｎｓ ’ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ， ｚ（ｉ） ｉｓ ｔｈｅｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｚ（ｔ）， ｉ ∈ ｛１，２，…， ２ｎ｝ ∀ｚ（ｉ）∈ｕ（ｚ（ｔ））＝ ｘｌｂｅｓｔ１（ｔ） … ｘｌｂｅｓｔｎ（ｔ） ｖｓｌｏｗ１（ｔ） … ｖ [ ｓｌｏｗｎ（ｔ）] Ｔ ｚ（ｉ） ∈ｚ（ｔ），∃Ｋ ∈Ｎ２ｎ×２ｎ，ｓ．ｔ． ｕ（ｚ（ｔ））＝ Ｋｚ（ｔ） ． ｄ（Ｔ（ｚ１ ），Ｔ（ｚ２ ）） ＝ ｍａｘ １≤ｉ≤２ｎ Ｔ（ｚ１ ） － Ｔ（ｚ２ ） ＝ ｍａｘ １≤ｉ≤２ｎ Ｆｚ１ ＋ Ｂｕ（ｚ１ ） － Ｆｚ２ － Ｂｕ（ｚ２ ） ＝ ‖Ｆｚ１ ＋ ＢＫ１ ｚ１ － Ｆｚ２ － ＢＫ２ ｚ２‖¥ （１３） Ｔｈｅｒｅ ｉｓ Ｌｊ ＝ Ｆ·ｊ （ｚ１ －ｚ２） ＋Ｂ·ｊ ［０ … ｘ１ａ － ｘ２ｂ ０ … ｖ１ａ － ｖ２ｂ ０ … ０］ Ｔ （１４） ｓ．ｔ． Ｌｊ ＝‖ Ｆｚ１ ＋ ＢＫ１ ｚ１ － Ｆｚ２ － ＢＫ２ ｚ２‖¥， ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｆｚ１ ＋ ＢＫ１ ｚ１ － Ｆｚ２ － ＢＫ２ ｚ２ ｉｓ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ａｎｄ ｄｅｎｏｔｅｄ ａｓ Ｌｊ ｓｕｐｐｏｓｉｎｇ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｊ ｔｈｅｌｅｍｅｎｔ． Ｆ·ｊ ａｎｄ Ｂ·ｊ ａｒｅ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｊ ｔｈ ｒｏｗ ｏｆ Ｆ ａｎｄ Ｂ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｉｆ ｊ ≤ ｎ，ｘ１ａ － ｘ２ｂ ｉｓ ｔｈｅ ｊ ｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｋ１ ｚ１ －Ｋ２ ｚ２ ａｎｄ ｖ１ａ － ｖ２ｂ ｉｓ ｔｈｅ （ｊ ＋ ｎ） ｔｈ ｏｎｅ， ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｘ１ａ － ｘ２ｂ ｉｓ ｔｈｅ （ｊ － ｎ） ｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｖ１ａ － ｖ２ｂ ｉｓ ｔｈｅ ｊ ｔｈ ｏｎｅ． Ｌｊ ＝ Ｆ·ｊ （ｚ１ － ｚ２）＋ Ｂ·ｊ ［０ … ｋ１Δｚ ０ … ｋ２Δｚ ０ … ０］ Ｔ ＝ Ｆ·ｊ （ｚ１ － ｚ２ ） ＋ Ｂ·ｊ ［０…ｋ１…ｋ２…０］ ＴΔｚ ≤ ‖Ｆ（ｚ１ － ｚ２ ） ＋ ＢＫ（ｚ１ － ｚ２ ）‖¥ ≤ ‖Ｆ ＋ ＢＫ‖¥‖ｚ１ － ｚ２‖¥ ＝ ‖Ｆ ＋ ＢＫ‖¥ｄ（ｚ１ ，ｚ２ ） （１５） Ｗｈｅｒｅ Δｚ ＝ ｍａｘ １≤ｉ≤２ｎ ｚ１（ｉ） － ｚ２（ｉ） ， ｋ１ ＝ ｘ１ａ － ｘ２ｂ ／ Δｚ， ｋ２ ＝ ｖ１ａ － ｖ２ｂ ／ Δｚ，ｋ１ ，ｋ２ ∈ ［ － １，０） ∪ （０，１］， Ｋ ＝ ０ ０ ⋱ ｋ１ ︙ ｋ２ ０ ０ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ，ｋ１ ，ｋ２ ｌｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｊ ｔｈ ｃｏｌｕｍｎ， Ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈｏｌｄｓ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｘ１ａ － ｘ２ｂ ＝ ｖ１ａ － ｖ２ｂ ＝ Δｚ ． Ｔｈｅ Ｂａｎａｃｈ ｆｉｘｅｄ⁃ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ‖Ｆ ＋ ＢＫ‖¥ ∈ ［０，１） ⇔ｍａｘ｛ １ － φｒ ＋ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） ＋ ｒｋ１φ ＋ ｒｋ２（１ － φ） ， － φｒ ＋ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） ＋ ｒｋ１φ ＋ ｒｋ２（１ － φ） ｝ ＜ １ ⇔ － １ ＜ － φｒ ＋ ｅｘｐ（ － Ｒｔ） ＋ ｒｋ１φ ＋ ｒｋ２（１ － φ）＜０ － １ ≤ ｋ１ ，ｋ２ ≤ １，ｋ１ ｋ２ ≠ ０ { （１６） Ｅｑｕａｔｉｏｎ （ １６） ｉｓ ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ＳＤ⁃ＰＩＯ⁃Ｉ， ｏｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ， ｗｅ ｈａｖｅ ｄ（Ｔ（ｘ），Ｔ（ｙ））≤‖Ｆ ＋ ＢＫ‖¥ｄ（ｘ，ｙ），‖Ｆ ＋ ＢＫ‖¥ ∈ ［０，１）， ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｆｉｘｅｄ⁃ｐｏｉｎｔ ｚ ∗ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｚ ∗ ＝ Ｆｚ ∗ ＋Ｂｕ（ｚ ∗ ） ｘ ∗＝ ｖ ∗＋ ｘ ∗ ｘ ∗＝ ｘ ∗＋ ｅｘｐ（－ Ｒｔ）ｖ ∗＋ ｒ［φ（ｘ ∗ ｌｂｅｓｔ － ｘ ∗ ） ＋ （１ － φ）ｖ ∗ ｓｌｏｗ］ { （１７） Ｅｑｕａｔｉｏｎ （１７） ⇒ ｖ ∗ ＝ ０ ｘ ∗ ＝ ｘ ∗ ｌｂｅｓｔ { ， ｔｈｅ ｓｔａｔｅｓ ｏｆ ＳＤ⁃ＰＩＯ⁃Ｉ ·５７５· 第 ４ 期 ＺＨＡＮＧ Ｔｉａｎｊｉｅ， ｅｔ ａｌ．：Ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ＵＡＶ ｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｉｇｅｏｎ⁃ｉｎｓｐｉｒｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｓｌｏｗ ｄｉｖｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｙ