运筹学讲义 显然,上述寻找局中人的最优策略的“角逐”式方法未免过于繁琐,那么有无其它方法呢? 回忆决策论之求解不确定性决策问题的悲观主义原则:选取最小收益中的最大者对应的策略为 自己的最优策略 不妨分别利用悲观主义原则来求局中人1,2的最优策略. 先利用悲观主义原则来求局中人1的最优策略: 由max{min{-13,=2},mn{4,3,2},mn{61,-8}=max{-2,2-8}=2=a23知,局中人1的 最优策略为a2,最优收益为H1(a2,B3)=a23=2. 再利用悲观主义原则来求局中人2的最优策略: 由局中人1的收益矩阵A知,局中人2的收益矩阵为-A=-4-3-2 由max{mn{1-4.=6},min{=3,-3-1},mn(2,-28}=mx{-6-3,=2}=-2知,局中人2 的最优策略为B3,最优收益为H2(a2,B3)=-a2 事实上,亦可直接由局中人1的收益矩阵A来求局中人2的最优策略: 由mn{max{-14,6},max{3,3,1},mx{-2,2,-8}=mn{6,3,2}=2=a23知,局中人2的最优 策略为β3,最优收益为H2(2,B3)=-a23=-2 如此,在局势(a2,B3)下,局中人1获得最优收益2,局中人2获得最优收益-2,局中人1的最 优策略为a2,局中人2的最优策略为B3,且 max min{an}= min maxa}=a23 巧得很啊!当分别利用悲观主义原则求得的局中人1,2的最优收益在某一个局势下达到一致时, 即得局中人1,2的最优策略,而此最优策略竟然与利用“角逐”式方法达到的最优策略是相同的. 这里,道理在于:当两个局中人的最优收益在悲观主义原则下的同一个局势下达到一致时,即分别得 到最优策略 显然,a23作为局中人1的最优收益,满足a3≤a23≤a2y,i=1,2,3,j=1,2,3,且 mmax main=mn max(ai i=a23 Def设矩阵对策r=(S1,S2,A),若彐局势(a,B,)∈S1xS2,使得i=1,2,…,m,运 筹 学 讲 义 4 显然，上述寻找局中人的最优策略的“角逐”式方法未免过于繁琐，那么有无其它方法呢？ 回忆 决策论之求解不确定性决策问题的悲观主义原则：选取最小收益中的最大者对应的策略为 自己的最优策略. 不妨分别利用悲观主义原则来求局中人 1，2 的最优策略. 先利用悲观主义原则来求局中人 1 的最优策略： 由 2 23 max{min{ −1,3,− 2},min{ 4,3,2},min{ 6,1,−8}} = max{−2,2,−8} = = a 知，局中人 1 的 最优策略为  2 ，最优收益为 H1 ( 2 ,  3 ) = a23 = 2 . 再利用悲观主义原则来求局中人 2 的最优策略： 由局中人 1 的收益矩阵 A 知，局中人 2 的收益矩阵为           − − − − − − − = 6 1 8 4 3 2 1 3 2 A . 由 max{min{ 1,−4,−6},min{ −3,−3,−1},min{ 2,− 2,8}}= max{−6,−3,− 2} = −2 知，局中人 2 的最优策略为  3 ，最优收益为 H2 ( 2 ,  3 ) = −a23 = −2 . 事实上，亦可直接由局中人 1 的收益矩阵 A 来求局中人 2 的最优策略： 由 2 23 min{max{ −1,4,6},max{3,3,1},max{−2,2,−8}} = min{ 6,3,2} = = a 知，局中人 2 的最优 策略为  3 ，最优收益为 H2 ( 2 ,  3 ) = −a23 = −2 . 如此，在局势 ( , )  2  3 下，局中人 1 获得最优收益 2，局中人 2 获得最优收益-2，局中人 1 的最 优策略为  2 ，局中人 2 的最优策略为  3 ，且 23 max min{a } min max{aij} a j i ij i j = = . 巧得很啊！当分别利用悲观主义原则求得的局中人 1，2 的最优收益在某一个局势下达到一致时， 即得局中人 1，2 的最优策略，而此最优策略竟然与利用“角逐”式方法达到的最优策略是相同的. 这里，道理在于：当两个局中人的最优收益在悲观主义原则下的同一个局势下达到一致时，即分别得 到最优策略. 显然， 23 a 作为局中人 1 的 最 优 收 益 ， 满 足 ai3  a23  a2 j ,i = 1,2,3; j = 1,2,3 ， 且 23 max min{a } min max{aij} a j i ij i j = = . Def 设矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A ， 若  局 势 1 2 ( , ) S S i j       ，使得 i = 1,2,  ,m