运筹学讲义 j=12…,n,有ag≤a1≤a1,则称(a,B,)为r的策略解(鞍点),称a,B,分别为局中 人1,2的最优策略( optimal strategy),称a..为r的值( value),记作:w(T)=a Th矩阵对策r=(S1,S2,A)彐策略解分mxmm{an}= min max fa} 证明:→令 max mn(ap}=mn{an, min max{a}=max{an},则 mm{a}≤ a, <max{a2},即 max min{an}≤mmx{an}.(1) 设3策略解(a,B),则=12…mj=12,…,n,有asa 于是,mx{a,}≤a,,≤min{a,} 进而,mnmx{an} <max(a}≤a,;≤mn{a,;}≤mxmn{an}(2) 由(1),(2)得 max min{an}= min max{an} ∈设mxmn{an}= min max{an},令 max min{an}=mn{an, min max{a}=max{ab}, 则mn{an}=mx{an}令mm{n}=mx{amn}=a,则yi=1,2,…,m,j=12,…,n,有 an≤an≤a故(an,B1)是r的策略解l 注:一个直观的解释:若两个局中人无侥幸心理,仅虑及对方会设法使自己的收益最小,则应当 选取最小收益中的最大者对应的策略为自己的最优策略(悲观主义原则).当两个局中人1,2分别利 用悲观主义原则找到自己的最优策略mxmn{an}, max mn{-an}= min max a}时,若 max min{an}=mmax{an}=a,,则(α,,β,)即为矩阵对策r=(S1,S2,A)的策略解 推论若矩阵对策r=(S,S2,A)中,mxmm{}=mmmx{n}=a;,则(ar,B,)是的 最优策略,C1,B,分别为局中人1,2的最优策略,且v() 证明:Th的充分性的证明+定义.l 例3求解矩阵对策r=(S1,S2,A),其中S1={a1,a2,a3},S2={B1,B2,B3},运 筹 学 讲 义 5 j = 1,2,  , n ，有 ij i j i j a   a    a  ，则称 (  ,  ) i j   为  的策略解（鞍点），称   i j  ,  分别为局中 人 1，2 的最优策略（optimal strategy），称   i j a 为  的值（value），记作：  =   i j v( ) a . Th 矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A  策略解 max min{ } min max{ }ij j i ij i j  a = a . 证明：  令 max min{ } min{ },min max{ } max{ } 0 0 ij i ij j i i j j ij i j a = a a = a ，则 min{ } max{ } 0 0 0 0 ij i i j i j j a  a  a ，即 max min{ } min max{ }ij j i ij i j a  a . （1） 设   策略解 (  ,  ) i j   ，则 i = 1,2,  ,m, j = 1,2,  ,n ，有 ij i j i j a   a    a  . 于是， max{ } min{ } i j j ij i j i a   a    a  . 进而， min max{ } max{ } min{ } max min{ }ij i j i j j ij i j i ij j i a  a   a    a   a . （2） 由（1），（2）得 max min{ } min max{ }ij j i ij i j a = a .  设 max min{ } min max{ }ij j i ij i j a = a ，令 max min{ } min{ },min max{ } max{ } 0 0 ij i ij j i i j j ij i j a = a a = a ， 则 min{ } max{ } 0 0 ij i i j j a = a .令 0 0 0 0 min { } max{ } ij i j i i j j a a a  = = ，则 i = 1,2,  ,m, j = 1,2,  ,n ，有 aij ai j ai j 0 0 0 0   .故 ( , ) 0 0  i  j 是  的策略解.▍ 注：一个直观的解释：若两个局中人无侥幸心理，仅虑及对方会设法使自己的收益最小，则应当 选取最小收益中的最大者对应的策略为自己的最优策略（悲观主义原则）.当两个局中人 1，2 分别利 用悲观主义原则找到自己的最优策略 max min{ }ij i j a ， max min{ } min max{ }ij j i ij i j −a = a 时，若 = =   i j ij j i ij i j max min{a } min max{a } a ，则 (  ,  ) i j   即为矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A 的策略解. 推论 若矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A 中， = =   i j ij j i ij i j max min{a } min max{a } a ，则 (  ,  ) i j   是  的 最优策略，   i j  ,  分别为局中人 1，2 的最优策略，且  =   i j v( ) a . 证明：Th 的充分性的证明 + 定义.▍ 例 3 求解矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A ，其中 { , , } S1 = 1  2 3 ， { , , } S2 = 1  2  3