运筹学讲义 412 A=|-304 3-10 fiF:'max min ai)=max min a,ii, min(a2ii, max{mn{4,12},min{-30,4},min{3,-10}}=max{1,-3,-1}=1, min max a)=min( max(aa, max(), max (a,2)) =mn{max{4-3,3},max{10,-1},max(24,0}}=min{4,14}=1, max min a)=min maxa=l=aj2 r的策略解为(a1,B2),局中人1,2的最优策略分别为a1,B2,且v(D)=1.l 例4求解矩阵对策r=(S1,S2,A),其中S1={a12a2,a32a4},S2={B1,B2,B3,B4} 142 A 8575 0262 解:(略)(a1,B2)(ax1,B4)(a3,B2),(a3,4)都是r的策略解,且v(D)=5 注:矩阵对策的最优策略可能不唯一,但值是相等的. 例5求解矩阵对策r=(S1,S2,A),其中S1={a1,a2},S2={B1,B2},A At:'. max min a,=max minf 1, 0), min(-4, 3))=max 0-4=0 min max(,,=min(( 1, -4, max!, 3)=min( 1,3=l, max min a,)* min max, i 匚无策略解,当然也无最优策略.■ 注:并非所有矩阵对策都有最优策略. 例6(剪子,包袱,锤)两个小孩玩“剪子,包袱,锤”游戏.剪子可裁包袱,包袱可包锤,锤 可砸剪子.双方约定:胜者得1分,输者失1分,平局时各得0分.问:此对策问题有无最优策略? 解:易见,此对策问题为一个矩阵对策r=(S1,S2,A),其中S1={剪子,包袱,锤},S2={运 筹 学 讲 义 6           − = − 3 1 0 3 0 4 4 1 2 A . max{min{ 4,1,2},min{ 3,0,4},min{ 3, 1,0}} max{1, 3, 1} 1, max min { } max{min { },min { },min { }} 1 2 3 = − − = − − = = j j j j j j i j i j 解： a a a a min{max{ 4, 3,3},max{1,0, 1},max{2,4,0}} min{ 4,1,4} 1, min max{ } min{ max{ },max{ },max{ }} 1 2 2 = − − = = = i i i i i i i j j i a a a a max min{ } min max{ } 1 , a aij a12 j i ij i j = = =   的策略解为 ( , ) 1  2 ，局中人 1，2 的最优策略分别为 1 2  ,  ，且 v() = 1.▍ 例 4 求解矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A ，其中 { , , , } S1 = 1  2 3  4 ， { , , , } S2 = 1  2  3  4 ，               − = 0 2 6 2 8 5 7 5 1 4 2 1 6 5 6 5 A . 解：（略） ( , ),( , ),( , ),( , ) 1  2 1  4 3  2 3  4 都是  的策略解，且 v() = 5 .▍ 注：矩阵对策的最优策略可能不唯一，但值是相等的. 例 5 求解矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A ，其中 { , } S1 = 1  2 ， { , } S2 = 1  2 ，         − = 4 3 1 0 A . 解： max min{ ij} = max{min{ 1,0},min{ − 4,3}} = max{0,−4} = 0 i j  a ， min max{ ij} = min{max{ 1,−4},max{0,3}} = min{1,3} =1 j i a ，max min{ } min max{ }ij j i ij i j a  a ，   无策略解，当然也无最优策略.▍ 注：并非所有矩阵对策都有最优策略. 例 6（剪子，包袱，锤）两个小孩玩“剪子，包袱，锤”游戏.剪子可裁包袱，包袱可包锤，锤 可砸剪子.双方约定：胜者得 1 分，输者失 1 分，平局时各得 0 分.问：此对策问题有无最优策略？ 解：易见，此对策问题为一个矩阵对策 ( , , )  = S1 S2 A ，其中 { S1 = 剪子，包袱，锤 } ， { S2 =