第三章关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质 §1.关于实数的基本定理 1.设f(x)在D上定义,求证: (1)sup( f(x)=-inf f(x); x∈D (2)inf(-f(x)=-sup f(x) 2.试证收敛数列必有上确界和下确界,趋于+∞的数列必有下确界,趋于-∞的数列 必有上确界. 3.试分别举出满足下列条件的数列: (1)有上确界无下确界的数列 (2)含有上确界但不含有下确界的数列 (3)既含有上确界又含有下确界的数列 (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界都有限 4.求数列的上、下确界 (1)x=1 n xn=n{2+(-2)"] (3)x2k=k,x2k41=1+;(k=1,2,3,…); (4)x=[+(17 (5)xn +2m- (6)xn= n+/Os<nT 5.设β=supE,且βgE,试证自E中可选取数列{xn}且xn互不相同,使 inxn=B;又若B∈E,则情形如何? 6.利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4 7.试分析区间套定理的条件:若将闭区间列改为开区间列,结果怎样?若将条件 [a13b]→[a2,b]→…去掉或将条件bn-an→>0去掉,结果怎样?试举例说明. 第1页共3页第 1 页 共 3 页 第三章 关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质 §1. 关于实数的基本定理 1. 设 f x( ) 在 D 上定义，求证： (1) sup{ ( )} inf ( ); x D x D f x f x   − = − (2) inf{ ( )} sup ( ). x D x D f x f x   − = − 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于 + 的数列必有下确界，趋于 − 的数列 必有上确界． 3. 试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列； (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 4. 求数列的上、下确界： (1) 1 1 ; n x n = − (2) [2 ( 2) ]; n n x n = + − (3) 2 2 1 1 , 1 ( 1,2,3, ); k k x k x k k = = + = + (4) 1 [1 ( 1) ] ; n n n x n + = + − (5) ( 1) 1 2 ; n n n n x − = + (6) 1 2 cos . 1 3 n n n x n −  = + 5. 设  = sup E ，且   E ，试证自 E 中可选取数列 { }n x 且 n x 互不相同，使 lim n x x  → = ；又若   E ，则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理 9．2 证明紧致性定理 9．4． 7. 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件 1 1 2 2 [ , ] [ , ] a b a b   去掉或将条件 0 n n b a − → 去掉，结果怎样?试举例说明．