8.若{xn}无界,且非无穷大量,则必存在两个子列xn→∞,xm→a(a为有限数 9.设∫(x)在[ab]无界,求证:存在c∈[a,b],对任给δ>0,函数f(x)在 (c-δ,c+δ)∩[a,b上无界 10.设f(x)在{a,b上只有第一类间断点,定义 O(x)=f(x+0)-f(x-0) 求证:任意E>0,O(x)≥E的点x只有有限多个 11.设f(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求证:imf(x),limf(x)存在 12.利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限 13.用区间套定理证明单调有界数列必有极限 14.设f(x)在[0,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞),f(x)=a在[0,+∞)上只 有有限个根或无根,求证:limf(x)存在 15.设f(x)在[a,b上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证:f(x)在[a,b]上 有界. 16.求证:数列{an}有界的充要条件是,{an}的任何子数列{an}都有收敛的子数列 §2.闭区间上连续函数性质的证明 设∫(x)在[a,b]上连续,可微,又设 (1)min f(x)<p< max f(x); (2)如果f(x)=P,则有f(x)≠0, 求证:f(x)=P的根只有有限多个 2.设f(x)是[a,b]上的连续函数,其最大值和最小值分别为M和m(m<M),求证 必存在区间[a,B],满足条件: (1)f(a)=M,f(B)=maf(a)=m, f(B)=M: 第2页共3页第 2 页 共 3 页 8. 若 { }n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 , k k n m x x a →  → ( a 为有限数)． 9. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 无界，求证：存在 c a b [ , ] ，对任给   0 ，函数 f x( ) 在 ( , ) [ , ] c c a b − +    上无界． 10. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上只有第一类间断点，定义 ( ) | ( 0) ( 0) |. x f x f x = + − − 求证：任意      0, ( ) x 的点 x 只有有限多个． 11. 设 f x( ) 是 ( , ) a b 上的凸函数，且有上界，求证： lim ( ), lim ( ) x a x b f x f x → → + − 存在． 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 14. 设 f x( ) 在 [0, ) + 上连续且有界，对任意 a  − + ( , ) ，f x a ( ) = 在 [0, ) + 上只 有有限个根或无根，求证： lim ( ) x f x →+ 存在． 15. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证： f x( ) 在 [ , ] a b 上 有界． 16. 求证：数列 { }n a 有界的充要条件是， { }n a 的任何子数列 { } k n a 都有收敛的子数列． §2. 闭区间上连续函数性质的证明 1. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，可微，又设 (1) min ( ) max ( ); a x b a x b f x p f x       (2) 如果 f x p ( ) = ，则有 f x'( ) 0  ， 求证： f x p ( ) = 的根只有有限多个． 2. 设 f x( ) 是 [ , ] a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为 M 和 m m M ( )  ，求证： 必存在区间 [ , ]   ，满足条件： (1) f M f m ( ) , ( )   = = 或 f m f M ( ) , ( )   = = ；