第38卷第1期 大学物理 Vol.38 No.1 2019年1月 COLLEGE PHYSICS Jan.2019 多个含不同质量项的费米子矩阵求逆算法 吴良凯，顾鑫，刘坤，冯龙海 (江苏大学物理系，江苏镇江212013) 摘要：在格点量子色动力学的模拟中，Rational Hybrid Monte Carlo(RHMC)算法是一种精确的，能应用到任意多个味道数 的费米子的方法.它的思想是把费米子行列式展开为有理函数的形式.但该方法会带来很多彼此相差一个常对角矩阵的矩阵 的求逆的计算，消耗大量的时间和计算资源，限制了RHMC算法的应用.本文利用移位多项式，针对共轭梯度法得到多个含有 不同质量项的矩阵求逆的一种方法，该方法可以应用到RHMC算法中. 关键词：费米子：逆矩阵；格点量子色动力学：移位多项式 中图分类号：0413.3文献标识码：A 文章编号：1000-0712(2019)01-0029-03 【D0I】10.16854/j.cmki.1000-0712.180181 量子场论是在大学物理课程中的一门重要的课 U代表规范场，S.是规范场作用量 程.它是研究基本粒子之间相互作用的理论，其方法 格点量子色动力学进行的研究涉及到组态的演 在理论物理和凝聚态物理中得到了广泛的应用.量 化和物理量的计算，这些工作都要求进行费米子矩 子色动力学是其一个分支，是研究夸克，胶子之间作 阵的求逆，因此费米子矩阵的求逆在格点量子色动 用的有力武器.由于色相互作用在低能下的强相互 力学的模拟中居于中心的地位.矩阵求逆有很多的 作用性质，微扰论不能得到应用.诺贝尔奖得主Ken- 算法.事实上，所有的求解线性方程组的算法都可以 neth G.Wilson创立了格点量子色动力学.格点量子 用来求矩阵的逆矩阵.这些方法包括消元法，矩阵 色动力学把连续的4维时空离散化，把费米场定义 分解法，追赶法以及迭代法.消元法中还包括选主 在格点上，把规范场定义在连接格点的链上，其实质 元的消元法；矩阵分解法中包括LU分解法，QR分 是截断对动量的积分以得到有限的结果.通过Wik 解法，Cholesky分解法；迭代法包括Jacob迭代法， 转动从闵氏空间转到欧式空间，使得Monte Carlo模 Gauss--Siedel迭代法，共轭梯度法以及BiCGstab迭 拟能顺利进行格点量子色动力学在强子谱，强子矩 代法回.由于费米子矩阵是维数很大的稀疏矩阵， 阵元和相变的研究中取得了巨大成就0.由于在欧 共轭梯度法以及BiCGstab迭代法在费米子矩阵的 式空间中讨论场论，统计物理的很多概念（包括配 求逆中应用较广 分函数)可以推广到格点量子色动力学中。 组态的演化有多种算法，有R算法，中算法， 在量子场论中，系统的拉氏量可以表达为费米 Hybrid Monte Carlo算法，以及RHMC算法（其全称 场的双线性形式和规范场部分之和： 为Rational Hybrid Monte Carlo算法).RHMC算法是 L=-y.(0.-ig4,)w-rF 一种精确的，能应用到任意个味道费米子的算法.它 (1) 4 的思想是把费米行列式展开为有理函数的形式同 在格点量子色动力学中，在每一个格点上都有一个 由于费米场满足grassman代数，无法用普通的 费米场，费米场的双线性形式可以用矩阵表示为 复数场来表示，在模拟中不能直接处理费米场因此 -中，M中，其中M是费米子矩阵，ij标记不同的格 我们先积分掉费米场，得到费米子行列式，由于行列 点.因此系统的配分函数可写成如下的路径积分的 式的计算量惊人，我们用另外的普通的复数场的积 形式： 分来代替费米子行列式这个普通的复数场，我们用 P来表示（在格点上，P成为一个列矩阵），所以费米 Z=Dr Du DUexp[-中，M-Sg] (2〉 子作用量可以用P表示为回 收稿日期：2018-03-26：修回日期：2018-09-14 基金项目：国家自然科学基金(11347029)和江苏大学大学生科研项目资助 作者简介：吴良凯(1970一)，湖北武汉人，江苏大学物理系教师，博士，主要从事大学物理教学与研究工作 (C)1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net书 第 38 卷第 1 期 大 学 物 理 Vol．38 No．1 2019 年 1 月 COLLEGE PHYSICS Jan． 2019 收稿日期: 2018－03－26; 修回日期: 2018－09－14 基金项目: 国家自然科学基金( 11347029) 和江苏大学大学生科研项目资助 作者简介: 吴良凯( 1970—) ，湖北武汉人，江苏大学物理系教师，博士，主要从事大学物理教学与研究工作． 多个含不同质量项的费米子矩阵求逆算法 吴良凯，顾 鑫，刘 坤，冯龙海 ( 江苏大学 物理系，江苏 镇江 212013) 摘要: 在格点量子色动力学的模拟中，Ｒational Hybrid Monte Carlo ( ＲHMC) 算法是一种精确的，能应用到任意多个味道数 的费米子的方法．它的思想是把费米子行列式展开为有理函数的形式．但该方法会带来很多彼此相差一个常对角矩阵的矩阵 的求逆的计算，消耗大量的时间和计算资源，限制了 ＲHMC 算法的应用．本文利用移位多项式，针对共轭梯度法得到多个含有 不同质量项的矩阵求逆的一种方法，该方法可以应用到 ＲHMC 算法中． 关键词: 费米子; 逆矩阵; 格点量子色动力学; 移位多项式 中图分类号: O 413．3 文献标识码: A 文章编号: 1000-0712( 2019) 01-0029-03 【DOI】10．16854 /j．cnki．1000-0712．180181 量子场论是在大学物理课程中的一门重要的课 程．它是研究基本粒子之间相互作用的理论，其方法 在理论物理和凝聚态物理中得到了广泛的应用．量 子色动力学是其一个分支，是研究夸克，胶子之间作 用的有力武器．由于色相互作用在低能下的强相互 作用性质，微扰论不能得到应用．诺贝尔奖得主 Ken￾neth G． Wilson 创立了格点量子色动力学．格点量子 色动力学把连续的 4 维时空离散化，把费米场定义 在格点上，把规范场定义在连接格点的链上，其实质 是截断对动量的积分以得到有限的结果．通过 Wick 转动从闵氏空间转到欧式空间，使得 Monte Carlo 模 拟能顺利进行．格点量子色动力学在强子谱，强子矩 阵元和相变的研究中取得了巨大成就［1］．由于在欧 式空间中讨论场论，统计物理的很多概念( 包括配 分函数) 可以推广到格点量子色动力学中． 在量子场论中，系统的拉氏量可以表达为费米 场的双线性形式和规范场部分之和: L = －ψγμ( μ－igAμ ) ψ－ 1 4 FμνFμν ( 1) 在格点量子色动力学中，在每一个格点上都有一个 费米场，费米场的双线性形式可以用矩阵表示为 －ψiMijψj ，其中 Mij是费米子矩阵，i、j 标记不同的格 点． 因此系统的配分函数可写成如下的路径积分的 形式: Z = ∫DψDψDUexp［－ ψiMijψj － Sg］ ( 2) U 代表规范场，Sg 是规范场作用量． 格点量子色动力学进行的研究涉及到组态的演 化和物理量的计算，这些工作都要求进行费米子矩 阵的求逆，因此费米子矩阵的求逆在格点量子色动 力学的模拟中居于中心的地位．矩阵求逆有很多的 算法．事实上，所有的求解线性方程组的算法都可以 用来求矩阵的逆矩阵．这些方法包括消元法，矩阵 分解法，追赶法以及迭代法．消元法中还包括选主 元的消元法; 矩阵分解法中包括 LU 分解法，QＲ 分 解法，Cholesky 分解法; 迭代法包括 Jacob 迭代法， Gauss－Siedel 迭代法，共轭梯度法以及 BiCGstab 迭 代法［2］． 由于费米子矩阵是维数很大的稀疏矩阵， 共轭梯度法以及 BiCGstab 迭代法在费米子矩阵的 求逆中应用较广． 组态的演化有多种算法，有 Ｒ 算法， 算法， Hybrid Monte Carlo 算法，以及 ＲHMC 算法( 其全称 为 Ｒational Hybrid Monte Carlo 算法) ．ＲHMC 算法是 一种精确的，能应用到任意个味道费米子的算法．它 的思想是把费米行列式展开为有理函数的形式［3］． 由于费米场满足 grassman 代数，无法用普通的 复数场来表示，在模拟中不能直接处理费米场．因此 我们先积分掉费米场，得到费米子行列式，由于行列 式的计算量惊人，我们用另外的普通的复数场的积 分来代替费米子行列式．这个普通的复数场，我们用 φ 来表示( 在格点上，φ 成为一个列矩阵) ，所以费米 子作用量可以用 φ 表示为［4］