30 大学物理 第38卷 S,=<ol(MM0）-m41p> (3) 为了定出系数，以及相应的αB%Y.考察 S为费米子作用量，n为味道数，M为费米子矩阵 等式： 在上式中，矩阵的分数次幂不好处理，我们把 （aAr+Barn+yr-i）= (MM)“展开成有理函数的形式，得到如下的表 ag(A+w）r.+βrnty-' (12) 达式： 对应项的系数相等，即可以确定α、%、y以 S,=<e1a+习M+B (4) 及：的演化公式.为了方便应用于下面要考察的共 轭梯度法，假定Bn+y。=1,B%+y=1,则可以确定 但随之而来的问题是在模拟中会出现很多矩阵 移位多项式的参数为 求逆的计算（例如，在式(4）的求和中有很多项，分 母是两个费米子矩阵的乘积和一个常对角矩阵的 a=a (13) 和.在求S的过程中就涉及到这样的一系列矩阵的 求逆)，带来时间和计算资源的大量消耗，限制 B=(R.-0,) (14) RHMC算法的应用. 如何利用其中一次矩阵求逆的结果而较好较快 ”1积 (15) 的得到其他的类似的，仅仅相差一个常数矩阵的矩 (1-Bn）+-1(Bn-wan） 阵的逆矩阵，是值得研究的问题.本文针对共轭梯 2 共轭梯度法 度法方法，参考了文献5]，利用移位多项式得到 一种解决方案. 对于线性系统： Ax=v (16) 1移位多项式 共轭梯度法是：先任取xo,计算r。=v-Axo,让S。= 我们的目的是在己经知道如何求解线性系统 r。然后按照以下方式进行迭代，考察rn如果r。满 Ax=v (5) 足收敛条件，则终止迭代过程，此时所得到的x。为 的条件下，求解线性系统： 所求的解. (A+@)x=v (6) (rnrn） a=- (17) A为矩阵，w为常对角矩阵w=wI(常对角矩阵可 (s,As) 以写成常数和单位矩阵的乘积，在以下的叙述中，用 Xntl=Xa-dnSn (18) 非黑体的ω来表示和单位矩阵相乘的常数)，v为列 Intl=rn+anAs (19) 矢量，x为待求列矢量.相应于Ax=v的系统，假定某 (ra+1,ra+i） bi=(rnra） (20) 个量的迭代演化过程己知，其迭代过程可以写成如 下多项式形式： Sntl=Fmt1+bntiSn (21) r=P (A)ro (7) 3 互相有耦合的两量的迭代 相应于(A+w)x=v的系统，定义移位多项式 (在以下的叙述中，我们利用σ来标记和ω相应的 在共轭梯度法中，有 系数，多项式等量)： rt1=rta As (22) Pg(A+w）=P.(A) (8) Sa=r+baS-1 (23) 求出了系数：，就能了解相应于(A+w)x=v的系统 两个量的迭代耦合在一起，我们希望得到一个量 的相应量的迭代演化，则可以求解系统(A+w)x=. 的迭代演化表达式通过变化，As.-1=(rn-r-）/a。-1 相应于Ax=v的系统，考察如下的迭代过程： 得到 rntl=anArn+Barn+yara-1 (9) 相应地，相应于(A+ω)x=v的系统，相应量的 Tm+1=(1+ anb da-1 r-1 (24) 演化迭代过程为 和式(9) r=(A+o)r+Baro+yr (10) Ent1=Brn+anArn+ynrn-1 (25) 其相应的移位多项式为 对比可知 Pa(A+0)=g0P (A) (11) n=a。 (26) (C)1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net30 大 学 物 理 第 38 卷 Sf = ＜φ| ( M+ M) －nf/4 | φ＞ ( 3) Sf 为费米子作用量，nf 为味道数，M 为费米子矩阵． 在上 式 中，矩阵的分数次幂不好处理，我 们 把 ( M+ M) －nf/4 展开成有理函数的形式，得到如下的表 达式: Sf = ＜ φ | α0 + Σn αn M+ M + βn | φ ＞ ( 4) 但随之而来的问题是在模拟中会出现很多矩阵 求逆的计算( 例如，在式( 4) 的求和中有很多项，分 母是两个费米子矩阵的乘积和一个常对角矩阵的 和． 在求 Sf 的过程中就涉及到这样的一系列矩阵的 求逆) ，带来时间和计算资源的大量消耗，限 制 ＲHMC 算法的应用． 如何利用其中一次矩阵求逆的结果而较好较快 的得到其他的类似的，仅仅相差一个常数矩阵的矩 阵的逆矩阵，是值得研究的问题．本文针对 共轭梯 度法 方法，参考了文献［5］，利用移位多项式得到 一种解决方案． 1 移位多项式 我们的目的是在已经知道如何求解线性系统 Ax = v ( 5) 的条件下，求解线性系统: ( A+ω) x = v ( 6) A 为矩阵，ω 为常对角矩阵 ω = ωI ( 常对角矩阵可 以写成常数和单位矩阵的乘积，在以下的叙述中，用 非黑体的 ω 来表示和单位矩阵相乘的常数) ，ν 为列 矢量，x 为待求列矢量．相应于 Ax = v 的系统，假定某 个量的迭代演化过程已知，其迭代过程可以写成如 下多项式形式: rn =Pn( A) r0 ( 7) 相应于( A+ω) x = v 的系统，定义移位多项式 ( 在以下的叙述中，我们利用 σ 来标记和 ω 相应的 系数，多项式等量) : Pσ n ( A+ω) = ξ σ n Pn( A) ( 8) 求出了系数 ξ σ n ，就能了解相应于( A+ω) x = v 的系统 的相应量的迭代演化，则可以求解系统( A+ω) x = v． 相应于 Ax = v 的系统，考察如下的迭代过程: rn+1 =αnArn+βn rn+γn rn－1 ( 9) 相应地，相应于( A+ω) x = v 的系统，相应量的 演化迭代过程为 r σ n+1 =ασ n ( A+ω) r σ n +βσ n r σ n +γσ n r σ n－1 ( 10) 其相应的移位多项式为 Pσ n ( A+ω) = ξ σ n Pn( A) ( 11) 为了定出系数 ξ σ n ，以及相应的 ασ n 、βσ n 、γσ n ．考察 等式: ξ σ n+1( αnArn+βn rn+γn rn－1 ) = ασ n ( A+ω) ξ σ n rn+βσ n ξ σ n rn+γσ n ξ σ n－1 rn－1 ( 12) 对应项的系数相等，即可以确定 ασ n 、βσ n 、γσ n 以 及 ξ σ n 的演化公式．为了方便应用于下面要考察的共 轭梯度法，假定 βn +γn = 1，βσ n +γσ n = 1，则可以确定 移位多项式的参数为 ασ n =αn ξ σ n+1 ξ σ n ( 13) βσ n = ( βn－ωαn ) ξ σ n+1 ξ σ n ( 14) ξ σ n+1 = ξ σ n－1 ξ σ n ξ σ n ( 1－βn ) +ξ σ n－1( βn－ωαn ) ( 15) 2 共轭梯度法 对于线性系统: Ax = v ( 16) 共轭梯度法是: 先任取 x0，计算 r0 = v－Ax0，让 s0 = r0 ． 然后按照以下方式进行迭代，考察 rn ．如果 rn 满 足收敛条件，则终止迭代过程，此时所得到的 xn 为 所求的解． an = － ( rn，rn ) ( sn，Asn ) ( 17) xn+1 = xn－an sn ( 18) rn+1 = rn+anAsn ( 19) bn+1 = ( rn+1，rn+1 ) ( rn，rn ) ( 20) sn+1 = rn+1+bn+1 sn ( 21) 3 互相有耦合的两量的迭代 在共轭梯度法中，有 rn+1 = rn+anAsn ( 22) sn = rn+bn sn－1 ( 23) 两个量的迭代耦合在一起，我们希望得到一个量 的迭代演化表达式．通过变化，Asn－1 = ( rn －rn－1 ) /an－1， 得到 rn+1 = ( 1+ an bn an－1 ) rn+anArn－ an bn an－1 rn－1 ( 24) 和式( 9) rn+1 = βn rn+αnArn+γn rn－1 ( 25) 对比可知 αn = an ( 26)