第1期 吴良凯，等：多个含不同质量项的费米子矩阵求逆算法 31 月=1+86 snt1=r+1+b+1S。 (38) (27) an-1 有了a.、bn,根据表达式(31)可以计算：，再根据式 abn-1-B。 (29)、(30)得到a、bg则有 Y= (28) dn-1 xat1=x8-q9s (39) 利用式(13)、(14)、(15)，我们可以得到、 si+1=ξ+1ra+1+b+1sg (40) B%:的演化表达式.再由式(26)、(27)、(28)，经过 计算可以得到相应的演化表示式： 5结论 dmo. +1 利用移位多项式得到(A+w)x=的演化算法， (29) 该方法省掉大量的矩阵和矢量的乘积运算，能节约 8ag-, 大量的模拟时间，使得RHMC算法在实际上得到应 ba=b (30) Sa-1da-1 用.对于收敛更快，应用矩阵更广的BiCGstab算 8”1aa-1 法因，利用移位多项式也可以得到相应的算法。 041 (31) anbn(1-5)+5-1an-1（1-wan） 参考文献： 4应用移位多项式的共轭梯度法 ]刘川格点量子色动力学].北京：北京大学出版社， 2017:29. 应用式(29)、（30)、(31)，我们可以得到应用 2] 郑继明，朱伟，刘勇，等数值分析].北京：科学出版 移位多项式的共轭梯度法的算法如下：求解系统 社，2016：6097. Ax=v (32) 31 Clark MA,Kennedy A D.Accelerating Staggered Fer- 和 mion Dynamics with the Rational Hybrid Monte Carlo (A+@)x=v (33) (RHMC)Algorithm [J].Physical Review,2007, 先取初始值如下： D75:011502. x0=x6=0,T0=S0=s6=v, ④ Wong K Y,Woloshyn R M.Dynamical Simulations with a-1=1=8=1,b。=b6=0. Highly Improved Staggered Quarks [EB/OL].https:// arxiv.org/abs/0710.0737 有 [5]Jegerlehner B.Krylov Space Solvers for Shifted Linear Sys- (rnr） a.=-(s,As,) (34) tems [EB/OL].http://inspirehep.net/record/427442 [6]Van der Vorst H A.Bi-CGstab:A Fast and Smoothly Xa+1=Xa-dnSn (35) Converging Variant of Bi-CG for the Solution of Nonsym- ruti=rta As (36) metric Linear Systems []SIAM Journal on Scientific （r+1ra+i） and Statistical Computing,1992,13:631. bn+1= (37) (rnrn） Inversion algorithm for fermion matrix with multi-different mass terms WU Liang-kai,GU Xin,LIU Kun,FENG Long-hai (Department of Physics,Jiangsu University,Zhenjiang,Jiangsu 212013,China) Abstract:In the simulation of lattice gauge theory,RHMC algorithm is an accurate algorithm which can be used to any number of fermions.Its central idea is to expand the fermion determinant into rational functions,the im- plementation of this algorithm results in a lot of matrix inversion of fermion matrix,and brings about numerous time and resources consumption.Therefore,its use is limited.This paper uses the shifted polynomial to obtain an ap- proach to solve this problem for the conjugate gradient method.This approach can be applied into RHMC algorithm. Key words:fermions;inverse matrix;lattice gauge theory;shifted polynomial (C)1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net第 1 期 吴良凯，等: 多个含不同质量项的费米子矩阵求逆算法 31 βn = 1+ an bn an－1 ( 27) γn = － an bn an－1 = 1－βn ( 28) 利用式( 13) 、( 14) 、( 15) ，我们可以得到 ασ n 、 βσ n 、ξ σ n 的演化表达式．再由式( 26) 、( 27) 、( 28) ，经过 计算可以得到相应的演化表示式: aσ n = an ξ σ n+1 ξ σ n ( 29) bσ n = bn ξ σ n aσ n－1 ξ σ n－1 an－1 ( 30) ξ σ n+1 = ξ σ n ξ σ n－1 an－1 an bn( ξ σ n－1－ξ σ n ) +ξ σ n－1 an－1( 1－ωan ) ( 31) 4 应用移位多项式的共轭梯度法 应用式( 29) 、( 30) 、( 31) ，我们可以得到应用 移位多项式的共轭梯度法的算法如下: 求解系统 Ax = v ( 32) 和 ( A+ω) x = v ( 33) 先取初始值如下: x0 = xσ 0 = 0， r0 = s0 = s σ 0 = v， a－1 = ξ σ －1 = ξ σ 0 = 1， b0 = bσ 0 = 0． 有 an = － ( rn，rn ) ( sn，Asn ) ( 34) xn+1 = xn－an sn ( 35) rn+1 = rn+anAsn ( 36) bn+1 = ( rn+1，rn+1 ) ( rn，rn ) ( 37) sn+1 = rn+1+bn+1 sn ( 38) 有了 an、bn，根据表达式( 31) 可以计算 ξ σ n ，再根据式 ( 29) 、( 30) 得到 aσ n 、bσ n ．则有 xσ n+1 = xσ n －aσ n s σ n ( 39) s σ n+1 = ξ σ n+1 rn+1+bσ n+1 s σ n ( 40) 5 结论 利用移位多项式得到( A+ω) x = v 的演化算法， 该方法省掉大量的矩阵和矢量的乘积运算，能节约 大量的模拟时间，使得 ＲHMC 算法在实际上得到应 用．对 于 收 敛 更 快，应 用 矩 阵 更 广 的 BiCGstab 算 法［6］，利用移位多项式也可以得到相应的算法． 参考文献: ［1］ 刘川．格点量子色动力学［M］．北京: 北京大学出版社， 2017: 2-9． ［2］ 郑继明，朱伟，刘勇，等．数值分析［M］．北京: 科学出版 社，2016: 60-97． ［3］ Clark M A，Kennedy A D． Accelerating Staggered Fer￾mion Dynamics with the Ｒational Hybrid Monte Carlo ( ＲHMC ) Algorithm ［J］． Physical Ｒeview， 2007， D75: 011502． ［4］ Wong K Y，Woloshyn Ｒ M． Dynamical Simulations with Highly Improved Staggered Quarks ［EB/OL］． https: / / arxiv．org /abs/0710．0737 ［5］ Jegerlehner B． Krylov Space Solvers for Shifted Linear Sys￾tems ［EB/OL］． http: / /inspirehep．net /record / 427442 ［6］ Van der Vorst H A． Bi －CGstab: A Fast and Smoothly Converging Variant of Bi－CG for the Solution of Nonsym￾metric Linear Systems ［J］． SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing，1992，13: 631． Inversion algorithm for fermion matrix with multi－different mass terms WU Liang-kai，GU Xin，LIU Kun，FENG Long-hai ( Department of Physics，Jiangsu University，Zhenjiang，Jiangsu 212013，China) Abstract: In the simulation of lattice gauge theory，ＲHMC algorithm is an accurate algorithm which can be used to any number of fermions． Its central idea is to expand the fermion determinant into rational functions，the im￾plementation of this algorithm results in a lot of matrix inversion of fermion matrix，and brings about numerous time and resources consumption． Therefore，its use is limited． This paper uses the shifted polynomial to obtain an ap￾proach to solve this problem for the conjugate gradient method． This approach can be applied into ＲHMC algorithm． Key words: fermions; inverse matrix; lattice gauge theory; shifted polynomial