AB构成子群的条件 命题设A,BG,定义AB={b|a∈A,b∈B},则 (1)ABsG分AB=BA (2)ABG→AB=<4B> 证(1)略 (2)Ac4B,Bc4B→ABc4B→<4B>c4B Vamb,ab∈AB→a∈A,b∈B→a,b∈AUB →a,b∈<B>→mb∈<AB> 例Kein四元群G={e,a,b,c}, <>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c} <><b>={e,,bC} {aeU{b,e}>=<{a,b,e}>={e,a,b,c}8 AB 构成子群的条件 命题 设A,B≤G，定义 AB = { ab | a∈A,b∈B }, 则 (1) AB≤G ⇔ AB=BA. (2) AB≤G ⇒ AB=<A∪B> 证 (1) 略. (2) A⊆AB, B⊆AB ⇒ A∪B⊆AB ⇒ <A∪B>⊆AB ∀ab, ab∈AB ⇒ a∈A, b∈B ⇒ a,b∈A∪B ⇒ a,b∈<A∪B> ⇒ ab∈<A∪B> 例 Klein四元群 G ={ e, a, b, c }, <a>={ e, a }, <b>={ e, b }, <c>={ e, c } <a><b>={ e, a, b, c } <{ a, e }∪{ b, e}> = <{ a, b, e }>={ e, a, b, c }