2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 基础部分 第一课微积分 第4章微分学基本定理及应用 4.1引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数y=f(x)在莱点x处取 得极值的问题.函数y=f(x)在x=x0处取得极值(应该说是局部极 值 微观性态)的基本事实是在x=x0处的函数增量 4f(x0)=f(xo+△x)-f(x0)在x0附近(或着说两侧) 为定号,即恒为正或恒为负。 以在x0处取得极大值情况来分析y=f(x)在x0附近(莱 N(x0,O)邻域)的微观性态如下 设∫(x)在x0处可导,在x0处取得极大值,即在N(x0,O)内的 任意x处应有f(x)≤∫(x),由此可知 Af=f(x)-f(x0)≤0.即在N(x,6)内偏离x0时 函数f(x)取值会变小,于是可知 f f(xo+ax)-f(o) 若x> 由极限的保序性便得到 ≤0,f(x0)≤ x→)0+△y Af f(x)-f(x( 当x<X 则 X-x △f 0.f(x)≥0 0△x 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 基础部分 第一课 微积分 第 4 章 微分学基本定理及应用 4.1 引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数 y = f (x) 在某点 处取 得极值的问题。函数 0 x y = f (x) 在 0 x = x 处取得极值(应该说是局部极 值—— 微观性 态)的基 本事实 是 在 0 x = x 处 的函数 增 量 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆f x = f x + ∆x − f x 在 附近(或者说两侧) 为定号，即恒为正或恒为负。 0x 以 在 处 取 得极大值 情况来分 析 0x y = f (x) 在 附近(某 0x ( , ) N x0 δ 邻域)的微观性态如下： 设 f (x)在 处可导，在 处取得极大值，即在 0x 0x ( , ) N x0 δ 内的 任 意 x 处 应 有 ( ) ( ) 0 f x ≤ f x ， 由 此可知 ∆f = f (x) − f (x0 ) ≤ 0，即在 ( , ) N x0 δ 内偏离 时， 函数 0x f (x)取值会变小，于是可知： 若 ，0 x > x 0 ( ) ( ) 0 0 0 ≤ − + ∆ − = ∆ ∆ x x f x x f x x f 。 由极限的保序性便得到 lim 0 0 ≤ ∆ ∆ → + ∆ x f x ， ( ) 0 。 0 f+ ′ x ≤ 当 ， 则 0 x < x 0 ( ) ( ) 0 0 ≥ − − = ∆ ∆ x x f x f x x f 。 lim 0 0 ≥ ∆ ∆ → − ∆ x f x ， ( ) 0， 0 f− ′ x ≥ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 1 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785