2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 于是我们有f(x0)≥0并且∫(x0)≤0.由此断定 f(o)=0 这便是费马定理的结论 由费马定理可以直接导出导数零点定理,并且可以导出其余几个微分学基本定理 4.2微分中值定理 定理4.1费马定理〔 Fermat定理,可导函数取得极值的必要条件) 设J(x)满足:1°在某邻域N(x0,6)内有定义,并且 Vx∈N(x,δ)有f(x)≤f(x0)(或≥f(x0);2 在x0处可导,则∫(x0)=0. 例4.1证明导数零点定理 导数零点定理设函数y=f(x)在[a,b]上可导,并且 ∫(a)∫(b)<0.则必彐x∈(a,b),使得 f(x0)=0(在x处有水平切线) 路:f(x)在a,b两点异号,若∫(a)<0,由局部增减性, 则f(x)在X=a处减少,所以X=不是f(x)的最小值点:而 ∫(b)>0,f(x)在x=b处增加则x=b亦不是最小值点 因此可导函数f(x)必有最小值点x0∈(a,b),再由费马定理,即有 f(x0)=0 证:设∫(a)<0且(b)>0(另—情况请读者完成证明,即有 f(x-f(a <0, x→)a d-a 按极限定义,VE1>0,彐61>0,使当0<x-a<1时 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 于 是 我们有 并 且 。 由此断定 ，这便是费马定理的结论。 ( ) 0 0 f ′ x ≥ ( ) 0 0 f ′ x ≤ ( ) 0 0 f ′ x = 由费马定理可以直接导出导数零点定理，并且可以导出其余几个微分学基本定理。 4.2 微分中值定理 定理 4.1 费马定理(Fermat 定理，可导函数取得极值的必要条件) 设 f (x) 满足：1° 在 某邻域 ( , ) N x0 δ 内有定义，并且 ( , ) ∀x ∈ N x0 δ 有 ( ) ( ) 0 f x ≤ f x (或 ( )) 0 ≥ f x ；2° 在 处可导，则 。 0x ( ) 0 0 f ′ x = 例 4.1 证明导数零点定理 导数零点定理 设 函 数 y = f (x) 在 [a,b] 上可导，并且 f+ ′(a) f− ′(b) < 0 。则必 ( , ) ∃x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0(在 处有水平切线)。 0 f ′ x = 0 x 思路： f ′(x) 在a,b 两点异号，若 f+ ′(a) < 0 ，由局部增减性， 则 f (x) 在 x = a 处减少，所以 x = a 不是 f (x) 的最小值点：而 f ′(b) > 0, f (x) − 在 x = b 处增加，则 x = b 亦不是最小值点。 因此可导函数 f (x) 必有最小值点 ( , ) x0 ∈ a b ，再由费马定理，即有 f ′(x0 ) = 0。 证：设 f+ ′(a) < 0 且 f− ′(b) > 0(另一情况请读者完成证明)，即有 0 ( ) ( ) ( ) lim < − − ′ = → + + x a f x f a f a x a ， 按极限定义，∀ε 1 > 0，∃δ 1 > 0，使当0 < − a < δ 1 x 时 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785