6-9 =1 5+ 可得合=1.所以a=25,b=10。 例12求1im(sinn+i-sin历 分析当n→o时，sin√n+I与sin√厅的极限都不存在.尽管出现了根式，但无法直 接有理化。应先利用三角函数的和差化积，然后再求解。 解因为 nF-n万=2smh-五sh本+匠 2 又12sT+面k2,即2cos+为有界量.且 ▣m可6e不而而0， 即sm中-反为n→0时的无穷小量.根据有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性 2 质可知：lim((sin+i-sinV历)=0. 例13求下列极限： ①画 ()sin (3)m血 （4)limxsin-: ()sin 解由重要极限知吗严， (2)x→0时，sn-为有界量.故imx.sin-.=0。 3)→0时，上为无穷小量，snx为有界变量.故m0x=0。 )解法1→时，m故里 解法2令中则由→知10.故回n回兴1 (5)解法1x→0时，0，如为有界量.故ms加上0 2 lim (5 ) 1 x x ax bx c →+ − − + =  2 lim 5 25 x c b x b c x x →+ − + − + =1， 可得 1 10 b = ．所以 a = 25，b = 10 ． 例 12 求 lim(sin 1 sin ) n n n → + − ． 分析 当 n → 时， sin 1 n + 与 sin n 的极限都不存在．尽管出现了根式，但无法直 接有理化．应先利用三角函数的和差化积，然后再求解． 解 因为 sin 1 sin n n + − = 1 1 2sin cos 2 2 n n n n + − + + ， 又 1 | 2cos | 2 2 n n + +  ，即 1 2cos 2 n n + + 为有界量．且 1 limsin n 2 n n → + − = 1 limsin 2( 1 ) n n n → + + = 1 lim 2( 1 ) n n n → + + = 0 ， 即 1 sin 2 n n + − 为 n → 时的无穷小量．根据有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性 质可知： lim(sin 1 sin ) n n n → + − = 0 ． 例 13 求下列极限： （1） 0 sin lim x x → x ； （2） 0 1 lim sin x x → x  ； （3） sin lim x x → x ； （4） 1 lim sin x x → x  ； （5） 1 1 lim sin x→ x x  ； （6） 0 1 1 lim sin x→ x x  ． 解 （1）由重要极限知 0 sin lim 1 x x → x = ． （2） x → 0 时， 1 sin x 为有界量．故 0 1 lim sin x x → x  = 0 ． （3） x → 时， 1 x 为无穷小量， sin x 为有界变量．故 sin lim x x → x = 0 ． （4）解法 1 x → 时， 1 1 sin x x ．故 1 lim sin x x → x  =1． 解法 2 令 1 x t = ，则由 x → 知 t → 0 ．故 1 lim sin x x → x  = 0 sin lim 1 t t → t = ． （5）解法 1 x → 时， 1 0 x → ， 1 sin x 为有界量．故 1 1 lim sin x→ x x  = 0 ．