·312· 工程科学学报，第39卷，第2期 服务基站为第i层位于x:的基站，除去服务基站外，其 他层的基站以及第i层其他基站均视为干扰基站.这 )((s-ri(x)k()d.(o) 里的服务层依然根据基于瞬时SNR大于阈值的选择 因此，由(5)式与(6)式可以看出，(4)式中第五个 机制选出，可以是宏基站、微微基站、家庭基站当中的 等式的第一部分可以用Neyman-Scot簇过程的条件 任意一类.所以用户的聚集干扰可以表示为 概率生成泛函来表示，第二部分可以用Neyman-Scot 簇过程的概率生成泛函来表示，即为下式： l(z）= Pl--13 (3) 罗e(s)=[罗(sP:lz-x‖a)]× 式中h~exp(1),由(3)式可以得到聚集干扰的拉普拉 Π%(sP,Iz-xI)]. (7) 斯变换表达式为 U-1.2,3/* (s)=Eo[exp(-slai()] 可以看出，聚集干扰的拉普拉斯变换就是两个非 m(-三phI-I)门= 服务基站所在层概率生成泛函与服务基站所在层条件 概率生成泛函的乘积，由于h服从均值为1的瑞利衰 [,几(--)小 落，通过计算，可得 E[即(-PhI-I)]小x 可=E[()]=ep{-l- f.(x) [Πe(-1-)]小= (+-)P] (8) [夏%(，-x)]× [=g[Π()]= 几E[Π%(，-号1)小 f(x) (4) f(y)dy. 其中，(sP‖z-,‖“)是接收功率的拉普拉斯变 (9) 换，s为复变量，E。[·]定义为关于Palm分布简化的 结合式(7)、(8)与(9)，可以得到基于Neyman-- Palm测度下的期望2o,即去除服务基站所在点后的期 Scot簇过程的三层异构蜂窝网络干扰的拉普拉斯泛 望，当点过程在存在一个点x:∈R的条件下考虑Palm 函为 分布，Plm分布与点过程的条件分布相对应，并且在 计算蜂窝网络中断概率需要考虑接收机或发射机位置 时，也需要使用Palm分布.E表示数学期望.由(4)式 f(x) 可以看出，三层异构蜂窝网络的聚集干扰可以分为两 部分，式(4)的第五个等式的第一部分表示服务基站 所在层除服务基站以外的其他基站对用户产生的干 (-) f(x) f (y)dy= 扰，而第二部分为其他两层所有基站对用户产生的 干扰 op [1- 为了进一步推导，除了Plm分布的使用，这里给 f(x) 出两个化简表达式，根据文献[26]，定义连续双映射 ():R一[0，小，且（1-(x)d<,则Neyman-- f(x) （1+-,-y小) f(y)dy. Scott簇过程的概率生成泛函(probability generating (10) functional,PGFL)可以表示为 到这里得出了三层异构蜂窝网络聚集干扰的拉普 =E☐()]= 拉斯变换表达式.但是(10)式的表达式十分复杂，其 中的积分十分困难，为了简化模型，利用Jensen不等 ep(-【l-M((x+()山 式p(E(x)≤E(p(x),这里p(x)为任意函数，则有 (5) E(z)≤E(z),以及Matern簇过程的概率密度函数表 其中，M(x)=exp(-c(1-x))为Matern簇过程的矩 达式(1)可以得到聚集干扰拉普拉斯泛函的上界. 生成函数.根据概率生成泛函可以得到Neyman-Scot 假设Matern簇过程点数c>2,再经过极坐标变 簇过程的条件概率生成泛函表达式为 换，则其拉普拉斯泛函的上界可以表示为 [=[Π(x)]=工程科学学报,第 39 卷,第 2 期 服务基站为第 i 层位于 xi 的基站,除去服务基站外,其 他层的基站以及第 i 层其他基站均视为干扰基站. 这 里的服务层依然根据基于瞬时 SINR 大于阈值的选择 机制选出,可以是宏基站、微微基站、家庭基站当中的 任意一类. 所以用户的聚集干扰可以表示为 I准\{xi} (z) = 移 3 j = 1 x 移j沂准j \{xi} Pjh椰z - xj椰 - 琢j . (3) 式中 h ~ exp(1),由(3)式可以得到聚集干扰的拉普拉 斯变换表达式为 L准\{xi}(z) (s) = E ! 0 [exp( - sI准\{xi} (z))] = E ! 0 [ exp ( - s 移 3 j = 1 x 移j沂准j \{xi} Pjh椰z - xj椰 - 琢 ) ] j = E ! 0 [ 仪 3 j = 1 EI准 x 仪j沂准j \{xi} exp( - sPjh椰z - xj椰 - 琢j) ] = E ! 0 [ 仪xi沂准i exp( - sPih椰z - xi椰 - 琢i) ] 伊 {j = 1仪,2,3;j屹i} E [ 仪xj沂准j exp( - sPjh椰z - xj椰 - 琢j) ] = E ! 0 [ 仪xi沂准i Lh (sPi椰z - xi椰 - 琢i) ] 伊 {j = 1仪,2,3;j屹i} E [ 仪xj沂准j Lh (sPj椰z - xj椰 - 琢j) ]. (4) 其中,Lh (sPi椰z - xj椰 - 琢i ) 是接收功率的拉普拉斯变 换,s 为复变量,E ! 0 [·]定义为关于 Palm 分布简化的 Palm 测度下的期望[26] ,即去除服务基站所在点后的期 望,当点过程在存在一个点 xi沂R 2 的条件下考虑 Palm 分布,Palm 分布与点过程的条件分布相对应,并且在 计算蜂窝网络中断概率需要考虑接收机或发射机位置 时,也需要使用 Palm 分布. E 表示数学期望. 由(4)式 可以看出,三层异构蜂窝网络的聚集干扰可以分为两 部分,式(4) 的第五个等式的第一部分表示服务基站 所在层除服务基站以外的其他基站对用户产生的干 扰,而第二部分为其他两层所有基站对用户产生的 干扰. 为了进一步推导,除了 Palm 分布的使用,这里给 出两个化简表达式,根据文献[26],定义连续双映射 v(x):R 2寅[0,1],且 乙 R 2 (1 - v(x)) dx < 肄 ,则 Neyman鄄鄄 Scott 簇过 程 的 概 率 生 成 泛 函 ( probability generating functional, PGFL)可以表示为 G寛[v] = E [ 仪x沂准 v(x) ] = exp ( - 姿p,i蓦R [ 2 1 - M ( 蓦R 2 v(x + y)f c(y)dy ) ] dx ). (5) 其中,M(x) = exp( - c(1 - x)) 为 Matern 簇过程的矩 生成函数. 根据概率生成泛函可以得到 Neyman鄄鄄 Scott 簇过程的条件概率生成泛函表达式为 灼[v] = E ! 0 [ 仪x沂准 v(x) ] = G寛(v) 蓦R 2 M ( 蓦R 2 v(x - y)f c(x)dx )f c(y)dy. (6) 因此,由(5)式与(6)式可以看出,(4)式中第五个 等式的第一部分可以用 Neyman鄄鄄 Scott 簇过程的条件 概率生成泛函来表示,第二部分可以用 Neyman鄄鄄 Scott 簇过程的概率生成泛函来表示,即为下式: LI准 \{xi}(z) (s) = 灼[Lh (sPi椰z - xi椰 - 琢i)] 伊 {j = 1仪,2,3;j屹i} G寛[Lh (sPj椰z - xj椰 - 琢j)]. (7) 可以看出,聚集干扰的拉普拉斯变换就是两个非 服务基站所在层概率生成泛函与服务基站所在层条件 概率生成泛函的乘积,由于 h 服从均值为 1 的瑞利衰 落,通过计算,可得 G寛[v] = E [ 仪xj沂准 v(x) ] = exp { - 姿p,i蓦R [ 2 1 ( - 蓦R 2 f c(x) 1 + sPj椰z - xj - y椰 - 琢j dx ) c - ] j dy} . (8) 灼[v] = E ! 0 [ 仪xi沂准 v(x)] = G寛(v) 蓦R ( 2 蓦R 2 f c(x) 1 + sPi椰z - xi - y椰 - 琢i dx ) c - i - 1 f c(y)dy. (9) 结合式(7)、(8) 与(9),可以得到基于 Neyman鄄鄄 Scott 簇过程的三层异构蜂窝网络干扰的拉普拉斯泛 函为 LI准 \{xi}(z) (s) = {j = 1仪,2,3;j屹i} exp { - 姿p,i蓦R [ 2 1 ( - 蓦R 2 f c(x) 1 + sPj椰z - xj - y椰 - 琢j dx ) c - ] j dy} 伊 G寛(v) 蓦R ( 2 蓦R 2 f c(x) 1 + sPi椰z - xi - y椰 - 琢i ) c - i - 1 f c(y)dy = 仪 3 j = 1 exp { - 姿p,i蓦R [ 2 1 ( - 蓦R 2 f c(x) 1 + sPj椰z - xj - y椰 - 琢j dx ) c - ] j dy} 伊 蓦R ( 2 蓦R 2 f c(x) 1 + sPi椰z - xi - y椰 - 琢i ) c - i - 1 f c(y)dy. (10) 到这里得出了三层异构蜂窝网络聚集干扰的拉普 拉斯变换表达式. 但是(10)式的表达式十分复杂,其 中的积分十分困难,为了简化模型,利用 Jensen 不等 式 渍(E(x))臆E(渍(x)),这里 渍( x)为任意函数,则有 E(z) c - 臆E(z c - ),以及 Matern 簇过程的概率密度函数表 达式(1)可以得到聚集干扰拉普拉斯泛函的上界. 假设 Matern 簇过程点数 ci > 2,再经过极坐标变 换,则其拉普拉斯泛函的上界可以表示为 L I准 \{xi}(z) (s)臆exp ( - 仔 移 3 j = 1 姿j(sPj) 2 琢 ) j · ·312·