第36卷第3期 北京科技大学学报 Vol.36 No.3 2014年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2014 含有预期和时带的经济周期模型稳定性分析 刘祥东四，刘澄”，陆嘉骏 1)北京科技大学东凌经济管理学院，北京1000832)浙江大学经济学院，杭州310027 ☒通信作者，E-mail:xdiu@usth.edu.cn 摘要将预期的资本存量引入现阶段的投资决策函数，同时考虑资本积累过程中的投资时滞，构建一个含有预期和时滞的 经济周期模型.首先利用微分动力系统相关的理论研究系统的稳定性，然后把投资时滞或资本存量的预测时间作为分支参 数，讨论由此参数导致Hof分支的条件，并执行一些数值模拟以验证所得结论.研究结果表明：资本存量预期和投资时滞共 同构成经济周期的诱导因素：对资本存量进行短期合理的预测，据此制定投资决策，能够在一定程度上冲销由投资时滞所造 成的经济波动 关键词经济周期：资本存量：数学模型：稳定性：Hpf分支 分类号F019.2:0175.7 Stability analysis of a business cycle model including anticipation and delay LIU Xiang-dong,LIU Cheng,LU Jiajun?) 1)Dongling School of Economics and Management,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)College of Economics,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China Corresponding author,E-mail:xdliu@ustb.edu.cn ABSTRACT A business cycle model with anticipation and delay was constructed by introducing anticipated capital stock into the in- vestment decision function in the present period and considering investment delay in the capital accumulation process.This system's stability was investigated by using related theories of differential dynamical systems first.Then investment delay or the prediction time of capital stock was taken as a bifurcation parameter,and the conditions of Hopf bifurcation caused by the parameter were discussed. Last,some numerical simulations were carried out to confirm the obtained conclusions.It is shown that capital stock anticipation and investment delay together constitute the induced factors of business cycle.Economic fluctuations caused by investment delay can be dampened to some extend if the government makes investment decision based on short-erm reasonable forecast on capital stock. KEY WORDS business cycle;capital stock:mathematical models:stability:Hopf bifurcation 经济周期指总的经济活动中扩张和收缩的交 投资和储蓄函数导致经济周期产生.Chang和 替，这种周期变动通过国民生产总值、工业生产指数 Smyt山回总结Kaldor关于经济周期的思想，建立了 以及就业、收入等综合经济活动指标的波动而显示 一个描述国民生产总值和资本存量随时间变化的非 出来.近几十年来，经济学家逐渐认识到宏观经济 线性动态系统，给出系统存在极限环的充要条件，从 系统是一个具有非线性机制的复杂动态系统，相继 数学上严格证明了Kaldor在1940年提出的模型可 利用非线性动力学的相关理论研究经济周期，推动 以产生经济周期.在此基础上，Grasman和Went- 着经济周期研究的不断向前发展.在早期的非线性 zel间在Kaldor经济周期模型中考虑了资本损耗率， 经济周期研究中，Kaldor山假设投资依赖于生产总 并证明新建立的Kaldor经济周期模型可以出现极 值和资本存量，通过图示证明随时间变化的非线性 限环和均衡共存的情况，使得模型能够解释更多的 收稿日期：2012-12-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目(71173012)：中国博士后科学基金资助项目(2013M540855) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.03.019:http://journals.ustb.edu.cn第 36 卷 第 3 期 2014 年 3 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 3 Mar． 2014 含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 刘祥东1) ，刘 澄1) ，陆嘉骏2) 1) 北京科技大学东凌经济管理学院，北京 100083 2) 浙江大学经济学院，杭州 310027  通信作者，E-mail: xdliu@ ustb． edu． cn 摘 要 将预期的资本存量引入现阶段的投资决策函数，同时考虑资本积累过程中的投资时滞，构建一个含有预期和时滞的 经济周期模型． 首先利用微分动力系统相关的理论研究系统的稳定性，然后把投资时滞或资本存量的预测时间作为分支参 数，讨论由此参数导致 Hopf 分支的条件，并执行一些数值模拟以验证所得结论． 研究结果表明: 资本存量预期和投资时滞共 同构成经济周期的诱导因素; 对资本存量进行短期合理的预测，据此制定投资决策，能够在一定程度上冲销由投资时滞所造 成的经济波动． 关键词 经济周期; 资本存量; 数学模型; 稳定性; Hopf 分支 分类号 F 019. 2; O175. 7 Stability analysis of a business cycle model including anticipation and delay LIU Xiang-dong1)  ，LIU Cheng1) ，LU Jia-jun2) 1) Dongling School of Economics and Management，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) College of Economics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China  Corresponding author，E-mail: xdliu@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A business cycle model with anticipation and delay was constructed by introducing anticipated capital stock into the in￾vestment decision function in the present period and considering investment delay in the capital accumulation process． This system's stability was investigated by using related theories of differential dynamical systems first． Then investment delay or the prediction time of capital stock was taken as a bifurcation parameter，and the conditions of Hopf bifurcation caused by the parameter were discussed． Last，some numerical simulations were carried out to confirm the obtained conclusions． It is shown that capital stock anticipation and investment delay together constitute the induced factors of business cycle． Economic fluctuations caused by investment delay can be dampened to some extend if the government makes investment decision based on short-term reasonable forecast on capital stock． KEY WOＲDS business cycle; capital stock; mathematical models; stability; Hopf bifurcation 收稿日期: 2012--12--15 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 71173012) ; 中国博士后科学基金资助项目( 2013M540855) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 03． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 经济周期指总的经济活动中扩张和收缩的交 替，这种周期变动通过国民生产总值、工业生产指数 以及就业、收入等综合经济活动指标的波动而显示 出来． 近几十年来，经济学家逐渐认识到宏观经济 系统是一个具有非线性机制的复杂动态系统，相继 利用非线性动力学的相关理论研究经济周期，推动 着经济周期研究的不断向前发展． 在早期的非线性 经济周期研究中，Kaldor［1］假设投资依赖于生产总 值和资本存量，通过图示证明随时间变化的非线性 投资和储蓄函数导致经济周期产生． Chang 和 Smyth［2］总结 Kaldor 关于经济周期的思想，建立了 一个描述国民生产总值和资本存量随时间变化的非 线性动态系统，给出系统存在极限环的充要条件，从 数学上严格证明了 Kaldor 在 1940 年提出的模型可 以产生经济周期． 在此基础上，Grasman 和 Went￾zel［3］在 Kaldor 经济周期模型中考虑了资本损耗率， 并证明新建立的 Kaldor 经济周期模型可以出现极 限环和均衡共存的情况，使得模型能够解释更多的