含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析

第36卷第3期 北京科技大学学报 Vol.36 No.3 2014年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2014 含有预期和时带的经济周期模型稳定性分析 刘祥东四，刘澄”，陆嘉骏 1)北京科技大学东凌经济管理学院，北京1000832)浙江大学经济学院，杭州310027 ☒通信作者，E-mail:xdiu@usth.edu.cn 摘要将预期的资本存量引入现阶段的投资决策函数，同时考虑资本积累过程中的投资时滞，构建一个含有预期和时滞的 经济周期模型.首先利用微分动力系统相关的理论研究系统的稳定性，然后把投资时滞或资本存量的预测时间作为分支参 数，讨论由此参数导致Hof分支的条件，并执行一些数值模拟以验证所得结论.研究结果表明：资本存量预期和投资时滞共 同构成经济周期的诱导因素：对资本存量进行短期合理的预测，据此制定投资决策，能够在一定程度上冲销由投资时滞所造 成的经济波动 关键词经济周期：资本存量：数学模型：稳定性：Hpf分支 分类号F019.2:0175.7 Stability analysis of a business cycle model including anticipation and delay LIU Xiang-dong,LIU Cheng,LU Jiajun?) 1)Dongling School of Economics and Management,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)College of Economics,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China Corresponding author,E-mail:xdliu@ustb.edu.cn ABSTRACT A business cycle model with anticipation and delay was constructed by introducing anticipated capital stock into the in- vestment decision function in the present period and considering investment delay in the capital accumulation process.This system's stability was investigated by using related theories of differential dynamical systems first.Then investment delay or the prediction time of capital stock was taken as a bifurcation parameter,and the conditions of Hopf bifurcation caused by the parameter were discussed. Last,some numerical simulations were carried out to confirm the obtained conclusions.It is shown that capital stock anticipation and investment delay together constitute the induced factors of business cycle.Economic fluctuations caused by investment delay can be dampened to some extend if the government makes investment decision based on short-erm reasonable forecast on capital stock. KEY WORDS business cycle;capital stock:mathematical models:stability:Hopf bifurcation 经济周期指总的经济活动中扩张和收缩的交 投资和储蓄函数导致经济周期产生.Chang和 替，这种周期变动通过国民生产总值、工业生产指数 Smyt山回总结Kaldor关于经济周期的思想，建立了 以及就业、收入等综合经济活动指标的波动而显示 一个描述国民生产总值和资本存量随时间变化的非 出来.近几十年来，经济学家逐渐认识到宏观经济 线性动态系统，给出系统存在极限环的充要条件，从 系统是一个具有非线性机制的复杂动态系统，相继 数学上严格证明了Kaldor在1940年提出的模型可 利用非线性动力学的相关理论研究经济周期，推动 以产生经济周期.在此基础上，Grasman和Went- 着经济周期研究的不断向前发展.在早期的非线性 zel间在Kaldor经济周期模型中考虑了资本损耗率， 经济周期研究中，Kaldor山假设投资依赖于生产总 并证明新建立的Kaldor经济周期模型可以出现极 值和资本存量，通过图示证明随时间变化的非线性 限环和均衡共存的情况，使得模型能够解释更多的 收稿日期：2012-12-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目(71173012)：中国博士后科学基金资助项目(2013M540855) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.03.019:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 3 期 2014 年 3 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 3 Mar． 2014 含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 刘祥东1) ，刘 澄1) ，陆嘉骏2) 1) 北京科技大学东凌经济管理学院，北京 100083 2) 浙江大学经济学院，杭州 310027  通信作者，E-mail: xdliu@ ustb． edu． cn 摘 要 将预期的资本存量引入现阶段的投资决策函数，同时考虑资本积累过程中的投资时滞，构建一个含有预期和时滞的 经济周期模型． 首先利用微分动力系统相关的理论研究系统的稳定性，然后把投资时滞或资本存量的预测时间作为分支参 数，讨论由此参数导致 Hopf 分支的条件，并执行一些数值模拟以验证所得结论． 研究结果表明: 资本存量预期和投资时滞共 同构成经济周期的诱导因素; 对资本存量进行短期合理的预测，据此制定投资决策，能够在一定程度上冲销由投资时滞所造 成的经济波动． 关键词 经济周期; 资本存量; 数学模型; 稳定性; Hopf 分支 分类号 F 019. 2; O175. 7 Stability analysis of a business cycle model including anticipation and delay LIU Xiang-dong1)  ，LIU Cheng1) ，LU Jia-jun2) 1) Dongling School of Economics and Management，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) College of Economics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China  Corresponding author，E-mail: xdliu@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A business cycle model with anticipation and delay was constructed by introducing anticipated capital stock into the in￾vestment decision function in the present period and considering investment delay in the capital accumulation process． This system's stability was investigated by using related theories of differential dynamical systems first． Then investment delay or the prediction time of capital stock was taken as a bifurcation parameter，and the conditions of Hopf bifurcation caused by the parameter were discussed． Last，some numerical simulations were carried out to confirm the obtained conclusions． It is shown that capital stock anticipation and investment delay together constitute the induced factors of business cycle． Economic fluctuations caused by investment delay can be dampened to some extend if the government makes investment decision based on short-term reasonable forecast on capital stock． KEY WOＲDS business cycle; capital stock; mathematical models; stability; Hopf bifurcation 收稿日期: 2012--12--15 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 71173012) ; 中国博士后科学基金资助项目( 2013M540855) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 03． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 经济周期指总的经济活动中扩张和收缩的交 替，这种周期变动通过国民生产总值、工业生产指数 以及就业、收入等综合经济活动指标的波动而显示 出来． 近几十年来，经济学家逐渐认识到宏观经济 系统是一个具有非线性机制的复杂动态系统，相继 利用非线性动力学的相关理论研究经济周期，推动 着经济周期研究的不断向前发展． 在早期的非线性 经济周期研究中，Kaldor［1］假设投资依赖于生产总 值和资本存量，通过图示证明随时间变化的非线性 投资和储蓄函数导致经济周期产生． Chang 和 Smyth［2］总结 Kaldor 关于经济周期的思想，建立了 一个描述国民生产总值和资本存量随时间变化的非 线性动态系统，给出系统存在极限环的充要条件，从 数学上严格证明了 Kaldor 在 1940 年提出的模型可 以产生经济周期． 在此基础上，Grasman 和 Went￾zel［3］在 Kaldor 经济周期模型中考虑了资本损耗率， 并证明新建立的 Kaldor 经济周期模型可以出现极 限环和均衡共存的情况，使得模型能够解释更多的

·400 北京科技大学学报 第36卷 经济运行状况.沿着另外一条思路，根据Hicks和 体过去的行为对系统现时状况的影响，又需要反映 Hansen提出的ISLM模型，Ackley建立了一个反 经济主体在经济活动中的预期.Dubois利用具有 映生产总值和利率随时间变化的完全Keynes系统 预期和延迟的差分微分方程，构造一种计算预期系 (也被称为标准的S-LM模型).Tore的利用分支 统的工具，并以Kaldor一Kalecki经济周期模型为例， 理论研究了完全Keynes系统极限环的存在性，发现 创建一种在现阶段计算预期资本存量的方法，旨在 即使没有投资和储蓄函数非线性的假设，系统仍然 说明预期对于投资决策和组织变革的重要性.因 能够产生经济周期现象.总体来看，早期这些形式 此，本文将在扩展的S-LM模型中考虑投资时滞以 简单的动态宏观经济模型为解释经济周期的成因在 及现阶段投资决策中对于资本存量预期，构建一个 理论上搭建了较为完美的框架，但是过于简化的经 含有预期和时滞的混合型S-LM经济周期模型，利 济运行状况和一些重要经济变量的忽略，使得模型 用微分动力系统相关理论研究新建立模型的稳定 对经济运行的解释力度受到限制. 性，以及投资时滞或资本存量的预测时间对于系统 随后，学者尝试从以下两个方面改进经济周期 稳定性的影响 模型：一是考虑投资过程中的时滞，二是增加经济运 1 模型的构建与分析 行中的重要经济变量.虽然Kalecki向于1935年曾 在经济周期模型中提出投资时滞的观点一资本设 1.1模型构建 备从安装到生产需要一个孕育周期或时滞，但受限 根据上文分析，在资本积累方程中考虑投资时 于相关数学理论的匮乏，在相当长的时间内没有学 滞，在生产总值积累方程中考虑预期资本存量对于 者探讨投资时滞与经济周期的关系.随着20世纪 现阶段投资决策的影响，从而可以结合扩展的S一 90年代时滞泛函微分方程理论的逐渐成熟，Krawiec LM模型构建如下一个含有预期和时滞的混合型 和Szydlowski)首次定性分析了投资时滞对经济周 IS-LM经济周期模型： 期的影响.通过研究含有投资时滞的Kaldor-一Kalec- ,Y(t)=a(Y(t),K(t+r),R(t)-S(Y(t),R(t)], k经济周期模型，作者发现对于投资函数中的小时 R(t)=B(Y(t),R(d)-M], 滞参数，系统具有Lienard方程形式；随着时滞的增 (K(t)=I(Y(t-7),K(t-7),R(t-7))-dK(t) 大，系统表现为极限环行为、多周期行为、非周期循 (1) 环行为甚至混沌行为.文献8一10]对于模型均衡 式中，1时刻的生产总值、资本存量和利率分别用 点的稳定性、分支、周期解的存在性及稳定性等动力 Y(t)、K(t)和R(t)表示，a>0为商品市场的调节系 学性质进行了研究，从理论上验证了该观点.此外， 数，B>0为货币市场的调节系数，d∈(0,1)为资本 存量的损耗率，I(Y(t),K(t),R(t))和S(Y(t), 在汲取Kaldor经济周期模型及标准的IS一LM模型 的思想精髓后，Gabisch和Lorenz建立并研究一 R(t))分别是t时刻的投资函数和储蓄函数， 个同时含有生产总值、利率和资本存量的扩展的 L(Y(t),R(t))是t时刻的流动性偏好函数，M是货 IS-LM经济周期模型.Caia根据Kalecki的投资 币的常数供应量，？>0为投资时滞或者对于资本存 量的预测时间，K(t+)表示t时刻的预期的资本 时滞的思想，在资本积累方程中引入投资时滞，构建 存量 并研究了含有一个时滞的扩展的IS-LM经济周期 作代换Z(t)=K(t+r),则系统(1)可变换为 模型.考虑到资本存量的变化是由过去的投资决策 Y(t)=a(Y(t),Z(t),R(t))-S(Y(t),R(t))], 造成的)，Kaddar和Alaoui认为在更合理的经 R(t)=B(Y(t),R(t))-M], 济周期模型中，应该在资本积累方程中对生产总值、 Z(t)=I(Y(t),Z(t-7),R(t))-dZ(t) 资本存量和利率中都引入时滞，进而构建并研究具 (2) 有三个相同时滞的扩展的SHM经济周期模型.随 假设系统(2)存在唯一的正均衡点E=(Y,R, 着更多的经济变量以及投资时滞的引入，扩展的 Z),则在均衡点处满足Y(t)=R(t)=Z(t)=0, IS-LM模型能够更贴切地反映经济的运行状况，因 从而下列关系式成立： 而对于经济周期成因的解释更具力度 I(Y,Z',R")=S(Y,R"),L(Y R')=M, 事实上，具有时滞的系统是一种记忆系统.其 Z=I(Y,Z',R)/d. 中，过去的事件对于系统现在行为产生重要影响. 1.2局部渐近稳定性分析 然而经济系统是一个复杂系统，它即要体现经济主 经济系统的稳定意味着经济整体运行平稳，系

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 经济运行状况． 沿着另外一条思路，根据 Hicks 和 Hansen 提出的 IS--LM 模型，Ackley［4］建立了一个反 映生产总值和利率随时间变化的完全 Keynes 系统 ( 也被称为标准的 IS--LM 模型) ． Torre［5］利用分支 理论研究了完全 Keynes 系统极限环的存在性，发现 即使没有投资和储蓄函数非线性的假设，系统仍然 能够产生经济周期现象． 总体来看，早期这些形式 简单的动态宏观经济模型为解释经济周期的成因在 理论上搭建了较为完美的框架，但是过于简化的经 济运行状况和一些重要经济变量的忽略，使得模型 对经济运行的解释力度受到限制． 随后，学者尝试从以下两个方面改进经济周期 模型: 一是考虑投资过程中的时滞，二是增加经济运 行中的重要经济变量． 虽然 Kalecki［6］于 1935 年曾 在经济周期模型中提出投资时滞的观点———资本设 备从安装到生产需要一个孕育周期或时滞，但受限 于相关数学理论的匮乏，在相当长的时间内没有学 者探讨投资时滞与经济周期的关系． 随着 20 世纪 90 年代时滞泛函微分方程理论的逐渐成熟，Krawiec 和 Szydlowski［7］首次定性分析了投资时滞对经济周 期的影响． 通过研究含有投资时滞的 Kaldor--Kalec￾ki 经济周期模型，作者发现对于投资函数中的小时 滞参数，系统具有 Liénard 方程形式; 随着时滞的增 大，系统表现为极限环行为、多周期行为、非周期循 环行为甚至混沌行为． 文献［8--10］对于模型均衡 点的稳定性、分支、周期解的存在性及稳定性等动力 学性质进行了研究，从理论上验证了该观点． 此外， 在汲取 Kaldor 经济周期模型及标准的 IS--LM 模型 的思想精髓后，Gabisch 和 Lorenz［11］建立并研究一 个同时含有生产总值、利率和资本存量的扩展的 IS--LM 经济周期模型． Cai［12］根据 Kalecki［6］的投资 时滞的思想，在资本积累方程中引入投资时滞，构建 并研究了含有一个时滞的扩展的 IS--LM 经济周期 模型． 考虑到资本存量的变化是由过去的投资决策 造成的［13］，Kaddar 和 Alaoui［14］认为在更合理的经 济周期模型中，应该在资本积累方程中对生产总值、 资本存量和利率中都引入时滞，进而构建并研究具 有三个相同时滞的扩展的 IS--LM 经济周期模型． 随 着更多的经济变量以及投资时滞的引入，扩展的 IS--LM 模型能够更贴切地反映经济的运行状况，因 而对于经济周期成因的解释更具力度． 事实上，具有时滞的系统是一种记忆系统． 其 中，过去的事件对于系统现在行为产生重要影响． 然而经济系统是一个复杂系统，它即要体现经济主 体过去的行为对系统现时状况的影响，又需要反映 经济主体在经济活动中的预期． Dubois［15］利用具有 预期和延迟的差分微分方程，构造一种计算预期系 统的工具，并以 Kaldor--Kalecki 经济周期模型为例， 创建一种在现阶段计算预期资本存量的方法，旨在 说明预期对于投资决策和组织变革的重要性． 因 此，本文将在扩展的 IS--LM 模型中考虑投资时滞以 及现阶段投资决策中对于资本存量预期，构建一个 含有预期和时滞的混合型 IS--LM 经济周期模型，利 用微分动力系统相关理论研究新建立模型的稳定 性，以及投资时滞或资本存量的预测时间对于系统 稳定性的影响． 1 模型的构建与分析 1. 1 模型构建 根据上文分析，在资本积累方程中考虑投资时 滞，在生产总值积累方程中考虑预期资本存量对于 现阶段投资决策的影响，从而可以结合扩展的 IS-- LM 模型构建如下一个含有预期和时滞的混合型 IS--LM 经济周期模型: Y'( t) = α［I( Y( t) ，K( t + τ) ，Ｒ( t) ) － S( Y( t) ，Ｒ( t) ) ］， Ｒ'( t) = β［L( Y( t) ，Ｒ( t) ) － M］， K'( t) = I( Y( t － τ) ，K( t － τ) ，Ｒ( t － τ) ) － dK( t) { ． ( 1) 式中，t 时刻的生产总值、资本存量和利率分别用 Y( t) 、K( t) 和 Ｒ( t) 表示，α ＞ 0 为商品市场的调节系 数，β ＞ 0 为货币市场的调节系数，d∈( 0，1) 为资本 存量的损耗率，I( Y( t) ，K( t) ，Ｒ( t) ) 和 S ( Y( t) ， Ｒ( t) ) 分 别 是 t 时刻的投资函数和储蓄函数， L( Y( t) ，Ｒ( t) ) 是 t 时刻的流动性偏好函数，M 是货 币的常数供应量，τ ＞ 0 为投资时滞或者对于资本存 量的预测时间，K( t + τ) 表示 t 时刻的预期的资本 存量． 作代换 Z( t) = K( t + τ) ，则系统( 1) 可变换为 Y'( t) = α［I( Y( t) ，Z( t) ，Ｒ( t) ) － S( Y( t) ，Ｒ( t) ) ］， Ｒ'( t) = β［L( Y( t) ，Ｒ( t) ) － M］， Z'( t) = I( Y( t) ，Z( t － τ) ，Ｒ( t) ) － dZ( t) { ． ( 2) 假设系统( 2) 存在唯一的正均衡点 E* = ( Y* ，Ｒ* ， Z* ) ，则在均衡点处满足 Y'( t) = Ｒ'( t) = Z'( t) = 0， 从而下列关系式成立: I( Y* ，Z* ，Ｒ* ) = S( Y* ，Ｒ* ) ， L( Y* ，Ｒ* ) = M， Z* = I( Y* ，Z* ，Ｒ* ) / d． 1. 2 局部渐近稳定性分析 经济系统的稳定意味着经济整体运行平稳，系 · 004 ·

第3期 刘祥东等：含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 ·401· 统中的经济变量不会出现持续性的周期振荡，而是 u3-3um2+A2-A2+Bu+D=-e [cos(r）· 经历短暂的波动之后回归至均衡.本节将讨论当参 (C2-C2+Eu+F)+sin(r）(E+2Cm）], 数r=0时系统(2)均衡点的稳定性.记1(Y,Z, 3u2m-r3+2Auw+Bu=-e-rcos(r）(E+2Cw）- R')/aY=Iy,al(Y,Z'R')/aR =Ig,al(Y,Z', sin (vT)(Cu2-Cv+Eu+F)] R')/az=Iz,aL(Y,R")/ar=Ly,aL (Y,R')/ (5) aR=Lg,as(Y R")/aY=Sy,as(Y",R")/aR= 根据Beretta和Kuang可的结论，当特征根的实 Sg:本文沿用文献16]中的一般性假设，1，>0，IR0,LR0,SR0时，方程(8)存在一个 aB (Ig -Sg)Ly -alzly, 实数根和两个共轭复数根；当△=0时，方程(8)有 C=-1,, 一个二重或三重根. D=aBd [Lg (Iy -Sy)-Ly (Ig -Sp)] 为了方便判断方程根的情况，首先给出以下假 aBIz LLgly -LyIg], 定条件 E=alz (Iy -Sy)+BlzLg, (H,)下列条件之一：(a)G≥0，M0,M0;(a4)G0,M>0, A3+(A-C)A2+(B+E)A+D+F=0. △0,M=0,G>4H 若以下三条件成立：(H)A+C>0,(H2)D+F>0, (H6)G0,M0;则均衡点E= (H,)下列条件之一：(c)G≥0，H≥0，M≥0： (Y,R,Z)局部渐近稳定 (c2)M>0,4>0. l.3Hopf分支分析 根据笛卡尔准则的思想，结合以上假定条件可 分支是经济系统由稳定过渡到不稳定的一个通 以得到如下引理. 道.经济系统一旦出现分支，整体的稳定性将发生 引理1对于方程(8)，有如下结论： 突变，经济变量由稳健地运行转变为持续性的周期 （i)若(H,)成立，则方程(8)有唯一正实根 振荡.本节将讨论当参数r>0时系统(2)均衡点的 w1; 稳定性.利用投资时滞或资本存量的预测时间作为 (ⅱ)若(H)成立，则方程(8)有两个不同的正 分支参数，研究其对于系统稳定性的影响，以及由其 实根w2和w3（假设w2<w3）; 导致Hopf分支的条件. ()若(H。)成立，则方程(8)有三个不同的正 为此，首先需要探讨特征方程(4)根的分布情 实根w4w5和w6（假设w4<w5<w6）; 况.令方程(4)任意特征根为 (V)若(H,)成立，则方程(8)没有正实根. 入(r)=u(r)+iw(r)(i为虚数单位，i2=-1), 令4=√0，k=1,2,…,6,利用方程组(6)求 并将此特征根代入(4)，然后分离实部和虚部可得 sin(tr),cos(r)可得

第 3 期 刘祥东等: 含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 统中的经济变量不会出现持续性的周期振荡，而是 经历短暂的波动之后回归至均衡． 本节将讨论当参 数 τ = 0 时系统( 2) 均衡点的稳定性． 记I( Y* ，Z* ， Ｒ* ) / Y = IY，I( Y* ，Z* ，Ｒ* ) / Ｒ = IＲ，I( Y* ，Z* ， Ｒ* ) / Z = IZ，L( Y* ，Ｒ* ) / Y = LY，L( Y* ，Ｒ* ) / Ｒ = LＲ，S( Y* ，Ｒ* ) / Y = SY，S( Y* ，Ｒ* ) / Ｒ = SＲ ． 本文沿用文献［16］中的一般性假设，IY ＞ 0，IＲ ＜ 0，LY ＞ 0，LＲ ＜ 0，SY ＞ 0，SＲ ＜ 0． 令 y( t) = Y( t) － Y* ， r = Ｒ( t) － Ｒ* ，z( t) = Z( t) － Z* ，线性化系统( 2) 可得 y'( t) = α［( IY － SY) y( t) + ( IＲ － SＲ) r( t) + IZz( t) ］， r'( t) = β［LYy( t) + LＲr( t) ］， z'( t) = IYy( t) + IＲr( t) + IZz( t － τ) － dz( t) { ． ( 3) 进而可以求出系统( 3) 特征方程为 ［λ3 + Aλ2 + Bλ + D］+［Cλ2 + Eλ + F］e － λτ  P( λ) + Q( λ) e － λτ = 0． ( 4) 其中， A = d － βLＲ － α( IY － SY ) ， B = α( IY － SY ) ( βLＲ － d) － βdLＲ － αβ( IＲ － SＲ ) LY － αIZ IY， C = － IZ， D = αβd［LＲ ( IY － SY ) － LY ( IＲ － SＲ) ］+ αβIZ［LＲ IY － LY IＲ］， E = αIZ ( IY － SY ) + βIZ LＲ， F = αβIZ［LY ( IＲ － SＲ ) － LＲ ( IY － SY) ］． 因此，由 Ｒouth--Hurwitz 准则可得到如下定理． 定理 1 当 τ = 0 时，系统( 2) 的特征方程为 λ3 + ( A － C) λ2 + ( B + E) λ + D + F = 0． 若以下三条件成立: ( H1 ) A + C ＞ 0，( H2 ) D + F ＞ 0， ( H3 ) ( A + C) ( B + E) － ( D + F) ＞ 0; 则均衡点E* = ( Y* ，Ｒ* ，Z* ) 局部渐近稳定． 1. 3 Hopf 分支分析 分支是经济系统由稳定过渡到不稳定的一个通 道． 经济系统一旦出现分支，整体的稳定性将发生 突变，经济变量由稳健地运行转变为持续性的周期 振荡． 本节将讨论当参数 τ ＞ 0 时系统( 2) 均衡点的 稳定性． 利用投资时滞或资本存量的预测时间作为 分支参数，研究其对于系统稳定性的影响，以及由其 导致 Hopf 分支的条件． 为此，首先需要探讨特征方程( 4) 根的分布情 况． 令方程( 4) 任意特征根为 λ( τ) = u( τ) + iv( τ) ( i 为虚数单位，i 2 = － 1) ， 并将此特征根代入( 4) ，然后分离实部和虚部可得 u3 － 3uv2 + Au2 － Av2 + Bu +D = － e － uτ ［cos ( vτ)· ( Cu2 － Cv2 + Eu + F) + sin ( vτ) ( Ev + 2Cuv) ］， 3u2 v － v 3 + 2Auv + Bv = － e － uτ ［cos ( vτ) ( Ev + 2Cuv) － sin ( vτ) ( Cu2 － Cv2 + Eu + F) ］      ． ( 5) 根据 Beretta 和 Kuang［17］的结论，当特征根的实 部穿越零点时，系统的稳定性发生改变． 因此，考虑 临界情况，当系统( 2) 特征根 λ 的实部 u = 0 时，由 ( 5) 式可得 Av2 － D = ( F － Cv2 ) cos ( vτ) + Evsin ( vτ) ， v 3 － Bv = Evcos ( vτ) － ( F － Cv2 { ) sin ( vτ) ． ( 6) 将( 6) 式两边同时平方并相加，可得临界点的特征 方程为 v 6 + Gv4 + Hv2 + M = 0． ( 7) 其中 G = A2 － 2B － C2 ，H = B2 － 2AD + 2CF － E2 ， M = D2 － F2 ． 令 ω = v 2 ，则方程( 7) 可以化为 f( ω) : = ω3 + Gω2 + Hω + M = 0． ( 8) 令 g = － G /3，方程 ( 8 ) 根 的 判 别 式 为 Δ = ［f( g) ］2 /4 +［f'( g) ］3 /9，则当 Δ ＜ 0 时，方程( 8) 有 三个不同的实数根; 当 Δ ＞ 0 时，方程( 8) 存在一个 实数根和两个共轭复数根; 当 Δ = 0 时，方程( 8) 有 一个二重或三重根． 为了方便判断方程根的情况，首先给出以下假 定条件． ( H4 ) 下列条件之一: ( a1 ) G≥0，M ＜ 0; ( a2 ) H≤ 0，M ＜ 0; ( a3 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M ＜ 0，Δ ＞ 0; ( a4 ) G ＜ 0， H = 0，M = 0; ( a5 ) H ＜ 0，M = 0． ( H5 ) 下列条件之一: ( b1 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M ＞ 0， Δ ＜ 0; ( b2 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M = 0，G2 ＞ 4H． ( H6 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M ＜ 0，Δ ＜ 0． ( H7 ) 下列条件之一: ( c1 ) G≥0，H≥0，M≥0; ( c2 ) M ＞ 0，Δ ＞ 0． 根据笛卡尔准则的思想，结合以上假定条件可 以得到如下引理． 引理 1 对于方程( 8) ，有如下结论: ( ⅰ) 若( H4 ) 成立，则方程( 8) 有唯一正实根 ω1 ; ( ⅱ) 若( H5 ) 成立，则方程( 8) 有两个不同的正 实根 ω2 和 ω3 ( 假设 ω2 ＜ ω3 ) ; ( ⅲ) 若( H6 ) 成立，则方程( 8) 有三个不同的正 实根 ω4、ω5 和 ω6 ( 假设 ω4 ＜ ω5 ＜ ω6 ) ; ( ⅳ) 若( H7 ) 成立，则方程( 8) 没有正实根． 令 vk = 槡ωk，k = 1，2，…，6，利用方程组( 6) 求 sin ( vτ) ，cos ( vτ) 可得 · 104 ·

·402· 北京科技大学学报 第36卷 sin ((AE-Be-F)+(BF-DE) vif(@) c2m+(E2-2Fc)2+F2 a+6k=1,2,,6. cos ()=(E-Ac)+(cD+AF-BE)-DF 由引理2知，f八(w)在w1o3w4和w6的邻域内 c2+(E2-2Fc)2+F2 单调递增，在w2和o5的邻域内单调递减，而f(w) 西 在递增点处的值大于零，在递减处的值小于零.因 l4-E+（4E-Be-PD正+(BF-DE)u 此，式(10)中的不等式成立. c2+(E2-2Fc)+F2 结合引理1以及引理2，根据Ruan和Wei图的 1=E-A+(cD+AF-BE)-DF 结论可以得到如下定理. c2t+(E2-2Fc)+F2 定理3T,的定义见引理2. k=1,2,…,6, (i)若(H)~(H)成立，则当T∈[0，T1.o) 则可以得到如下引理： 时，特征方程(7)的根的实部为负；当T=T1时，特 引理2（i)若(H)成立，则存在正数序列 征方程(6)有一对纯虚根±，其余的根的实部为 {T}二使得T1.0T1.。时，特征方程(7)至少有一个实部为正 r=T1,时，方程(7)有一对纯虚根±i: 的根. （i)若(H)成立，则存在正数序列{T}使 （iⅱ)若(H)、(H2)、(H)和(H)成立，则存在 得Tk00; 或T>T.m时，特征方程(7)至少有一个实部为正 (9) :2T arccos l2.+2jT,l.0,u'(r2）0,u(T4）>0, 由不稳定到稳定的切换.当T∈（T3T2+1）（T,-1= u(T5）0,j=0,1,2,….(10) 0j=-1,0,…,m-2)或r>T3.m-1时，特征方程（7) 证明由于u(T)=0,对方程组(6)关于T求 至少有一个实部为正的根；当T=T2或x=T3G= 0,1,2,…）时，特征方程(7)有两对纯虚根±i2和 导，并令T=T(k=1,2,…,6;j=1,2,…）,可得如 ±i,其余根的实部为负；当T∈（T2T)G=-1, 下等式 0,…,m-1)时，特征方程(7)的根实部为负. [a:du/dr +b:dv/dr =c, (11) (iV)若(H)、(H2)、(H)和(H)成立，由于 -b du/dr a dv/dr c2. f(w)在wa和o6的邻域内单调递增，在w5的邻域 其中 内单调递减，从而随着T的增大，特征根在w4和w6 a1 =-3v+B+E-Tkj (F-Cup ]cos (vLT.)+ 处从左至右穿越虚轴，在ω5处从右至左穿越虚轴. (2CE-T,EuE)sin(Tk）, 因此，系统(2)至少存在一个稳定性切换 b1 =-2Avk (Evk -2CvL)cos (vKTk.j)+ 定理4T的定义见引理2. E-T,(F-C]sin(ur）, (i)若(H,)~(H)成立，则当T∈0，T1.o) c1=Ue（F-C)sin(T）-Evgcos(vrk）, 时，均衡点局部渐近稳定；当T>T1.o时，均衡点不稳 c2 Evisin (vT.)+v(F-Cv)cos (vLTk.). 定；当r=T1.o时，系统(2)在均衡点处产生Hopf 由方程组(11)可以解得 分支 d(2_a9,-b:g_2(3i+Gd+:+m= (iⅱ)若(H)、(H2)、(H)和(H)成立，则当 dr a+b a+b好 T∈{0}U(T2T3j+1）（T2,-1=0,j=-1,0,…,m-

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 sin ( vτ) = cv5 + ( AE － Bc － F) v 3 + ( BF － DE) v c 2 v 4 + ( E2 － 2Fc) v 2 + F2 ， cos ( vτ) = ( E － Ac) v 4 + ( cD + AF － BE) v 2 － DF c 2 v 4 + ( E2 － 2Fc) v 2 + F2 ． 令 l1，k = cv5 k + ( AE － Bc － F) v 3 k + ( BF － DE) vk c 2 v 4 k + ( E2 － 2Fc) v 2 k + F2 ， l2，k = ( E － Ac) v 4 k + ( cD + AF － BE) v 2 k － DF c 2 v 4 k + ( E2 － 2Fc) v 2 k + F2 ， k = 1，2，…，6， 则可以得到如下引理: 引理 2 ( ⅰ) 若( H4 ) 成立，则存在正数序列 { τ1，j } ∞ j = 0使得 τ1，0 ＜ τ1，1 ＜ τ1，2 ＜ … ＜ τ1，j ＜ …，且当 τ = τ1，j时，方程( 7) 有一对纯虚根 ± iv1 ; ( ⅱ) 若( H5 ) 成立，则存在正数序列{ τk，j } ∞ j = 0使 得 τk，0 ＜ τk，1 ＜ τk，2 ＜ … ＜ τk，j ＜ …，且当 τ = τk，j时，方 程( 7) 有两对相对应的纯虚根 ± ivk，k = 2，3; ( ⅲ) 若( H6 ) 成立，则存在正数序列{ τk，j } ∞ j = 0使 得 τk，0 ＜ τk，1 ＜ τk，2 ＜ … ＜ τk，j ＜ …，且当 τ = τk，j时，方 程( 7) 有三对相对应的纯虚根 ± ivk，k = 4，5，6． 这里 τk，j ( k = 1，2，…，6; j = 0，1，2，…) 的定义 如下: τk，j = 1 vi arccos l2，k + 2jπ， l1，k ＞ 0; 2π － arccos l2，k + 2jπ， l { 1，k ＜ 0． ( 9) 定理 2 若 λ( τ) = u( τ) + iv( τ) 为方程( 7) 的 根，满足 u( τk，j) = 0 且 v( τk，j) = vk ( k = 1，2，…，6; j = 1，2，…) ，则 u'( τ1，j ) ＞ 0，u'( τ2，j ) ＜ 0，u'( τ3，j ) ＞ 0，u'( τ4，j ) ＞ 0， u'( τ5，j ) ＜ 0，u'( τ6，j ) ＞ 0，j = 0，1，2，…． ( 10) 证明 由于 u( τk，j ) = 0，对方程组( 6) 关于 τ 求 导，并令 τ = τk，j ( k = 1，2，…，6; j = 1，2，…) ，可得如 下等式 a1 du /dτ + b1 dv /dτ = c1， － b1 du /dτ + a1 dv /dτ = c2 { ． ( 11) 其中 a1 = － 3v 2 k + B +［E － τk，j ( F － Cv2 k) ］cos ( vkτk，j ) + ( 2Cvk － τk，j Evk ) sin ( vkτk，j ) ， b1 = － 2Avk + ( Evk － 2Cvk ) cos ( vkτk，j ) + ［E － τk，j ( F － Cv2 k) ］sin ( vkτk，j ) ， c1 = vk ( F － Cv2 k ) sin ( vkτk，j ) － Ev2 k cos ( vkτk，j ) ， c2 = Ev2 k sin ( vkτk，j ) + vk ( F － Cv2 k ) cos ( vkτk，j ) ． 由方程组( 11) 可以解得 du( τk，j ) dτ = a1 c1 － b1 c2 a2 1 + b 2 1 = v 2 k ( 3v 4 k + Gv2 k + Hvk + M) a2 1 + b 2 1 = v 2 k f'( ωk ) a2 1 + b 2 1 ，k = 1，2，…，6． 由引理 2 知，f( ω) 在 ω1、ω3、ω4 和 ω6 的邻域内 单调递增，在 ω2 和 ω5 的邻域内单调递减，而 f'( ω) 在递增点处的值大于零，在递减处的值小于零． 因 此，式( 10) 中的不等式成立． 结合引理 1 以及引理 2，根据 Ｒuan 和 Wei［18］的 结论可以得到如下定理． 定理 3 τk，j的定义见引理 2． ( ⅰ) 若( H1 ) ～ ( H4 ) 成立，则当 τ∈［0，τ1，0 ) 时，特征方程( 7) 的根的实部为负; 当 τ = τ1，0时，特 征方程( 6) 有一对纯虚根 ± iv1，其余的根的实部为 负; 当 τ ＞ τ1，0时，特征方程( 7) 至少有一个实部为正 的根． ( ⅱ) 若( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H5 ) 成立，则存在 正整数 m 满足 τ3，0 ＜ τ2，0 ＜ τ3，1 ＜ τ2，1 ＜ … ＜ τ3，m － 2 ＜ τ2，m － 2 ＜ τ3，m － 1 ＜ τ3，m ＜ τ2，m － 1，使得系统( 2) 存在 m 个由稳 定 到 不 稳 定 的 切 换． 当 τ ∈ ( τ2，j ，τ3，j + 1 ) ( τ2，－ 1 = 0，j = － 1，0，…，m － 1) 时，特征方程( 7) 的 根实部为负; 当 τ = τ2，j或 τ = τ3，j ( j = 0，1，2，…) 时， 特征方程( 7) 有两对纯虚根 ± iv2 和 ± iv3，其余根的 实部为负; 当 τ∈( τ3，j ，τ2，j) ( j = － 1，0，…，m － 1) 或 τ ＞ τ3，m 时，特征方程( 7) 至少有一个实部为正 的根; ( ⅲ) 若( H1 ) 、( H2 ) 和( H3 ) 不成立而( H5 ) 成 立，则存在正整数 m 满足 τ2，0 ＜ τ2，0 ＜ τ2，1 ＜ τ3，1 ＜ … ＜ τ2，m － 1 ＜ τ3，m － 1 ＜ τ3，m ＜ τ2，m，使得系统( 2) 存在 m 个 由不稳定到稳定的切换． 当 τ∈( τ3，j ，τ2，j + 1 ) ( τ3，－ 1 = 0，j = － 1，0，…，m － 2) 或 τ ＞ τ3，m － 1时，特征方程( 7) 至少有一个实部为正的根; 当 τ = τ2，j或 τ = τ3，j ( j = 0，1，2，…) 时，特征方程( 7) 有两对纯虚根 ± iv2 和 ± iv3，其余根的实部为负; 当 τ∈( τ2，j ，τ3，j) ( j = － 1， 0，…，m － 1) 时，特征方程( 7) 的根实部为负． ( ⅳ) 若( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H6 ) 成立，由于 f( ω) 在 ω4 和 ω6 的邻域内单调递增，在 ω5 的邻域 内单调递减，从而随着 τ 的增大，特征根在 ω4 和 ω6 处从左至右穿越虚轴，在 ω5 处从右至左穿越虚轴． 因此，系统( 2) 至少存在一个稳定性切换． 定理 4 τk，j的定义见引理 2． ( ⅰ) 若( H1 ) ～ ( H4 ) 成立，则当 τ∈［0，τ1，0 ) 时，均衡点局部渐近稳定; 当 τ ＞ τ1，0时，均衡点不稳 定; 当 τ = τ1，0 时，系统( 2 ) 在均衡点处产生 Hopf 分支． ( ⅱ) 若( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H5 ) 成立，则当 τ∈{ 0} ∪( τ2，j ，τ3，j + 1 ) ( τ2，－ 1 = 0，j = － 1，0，…，m － · 204 ·

第3期 刘祥东等：含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 ·403· 2)时，均衡点局部渐近稳定；当T∈(T3'T2,）(= 换，在均衡点处产生Hopf分支现象；当分支参数x∈ -1,0,…,m-1)或r>T3m时，均衡点不稳定；当 (6.6589,12.2402)U（23.9387,34.6872)U r∈T2UT3UT3m-1(=-1,0,…,m-2)时，系统 (41.2879,57.1342)U(58.6371,+∞)时，经济系 (2)在均衡点处产生Hopf分支. 统不稳定，经济变量产生周期性振荡，呈现出明显的 (i)若(H)、(H2)和(H)不成立而(H)成 经济周期特征 立，则当T∈(T2T3)（=-1,0,,m-1)时，均 为了进一步展示分支参数τ对于经济系统稳定 衡点局部渐近稳定；当T∈{0}U(T3T2+1)(= 性的影响，固定以上参数值，选取不同？值进行对 -1,0,…,m-1)或T>T3.m时，均衡点不稳定；当 比.下文数值模拟中，选取的系统初始值为(Y(O), T∈T2UT3(=-1,0,…,m-1)时，系统(2)在均 R(0),K(0+))=(1,0.02,3).首先分别选取分 衡点处产生Hopf分支. 支参数T=5和T=14,根据前文的理论分析可知， (iv)假定(H)、(H2)、(H)和(H)成立，若 此时经济系统稳定，能够达到一般均衡状态。由系 x是一个稳定性切换，其中T满足ω(r)∈{w, 统(2)的时间图（图1和图2）可见，随时间t的增 5w6},则当T=T时，系统（2)在均衡点处产生 大，生产总值、利率和预期资本存量的波动幅度逐渐 Hopf分支. 变小，在经历一段时间的经济运行之后，最终趋向于 经济均衡状态，经济运行平稳.这表明在较短的投 2数值模拟 资时滞和合理的资本存量预期下，投资活动与整体 本部分将用Matlab软件执行一些数值模拟以 经济状况搭配基本合理，没有出现投资不足或过度 验证本文所得结论，同时展示参数r(投资时滞或资 投资问题，总产出、利率和资本存量运行平稳、最终 本存量的预测时间)对于经济周期产生的重要意 趋向一般均衡状态 义.在数值模拟中，根据文献4]，选取如下Kaldor 然后再分别选取分支参数T=6.59和T=24, 型投资函数 由前文的理论分析可知，此时经济系统不稳定，将发 I(Y(t),K(t),R(t))=I(Y(t),R(t))-ck(t)= 生周期性波动.系统(2)的时间图（图3和图4）显 exp (Y(t))/1+exp(Y())]-R(t)-cK(t), 示，随时间t的变化，生产总值、利率和预期资本存 其中刀为大于0的常数.储蓄函数为线性的，即 量产生周期性振荡，经济变量呈现显著的周期特性 S(Y(t),R(t))=aY(t)+bR(t), 造成这一现象的原因在于，在较长的投资时滞和资 其中和为大于0的常数.根据文献9]，选取流动 本存量预期下制定投资决策，现阶段出现投资不足 性偏好函数为 现象，投资活动与整体经济运行错位，导致经济出现 L(Y(t),R(t))=L,(Y(t))+L2(R(t)= 周期性的波动.本文的数值模拟还发现，随着？值 8Y(t)+[B/(R(t)-]. 的不断增大，经济系统(2)在经历多个稳定性切换 其中8>0,0>0，且R>0是一个非常小的确定利 后，最终变得不稳定.限于篇幅，不再展示后续的数 率，当利率R()下降到R时，产生流动性陷阱，即 值模拟.需要说明的是，过长的投资时滞或预测时 L2(R(t))→+o,R(t)→R 间与现实情况不符，这里仅是出于全面的理论分析 除r以外的参数取值如下：a=2,B=1.2,6= 考虑 0.04,7=0.1,0=0.0005,a=0.2,b=0.1,c= 3.0 +T) 0.2,d=0.1,M=0.05.根据这些参数值，容易得 出系统的均衡点E=（1.1685,0.1544,2.4915). 2.0 进一步计算可得，当T=0时，特征方程为入3+ 1.5 0 0.36372+0.1116入+0.005977=0，易知(H,）、 (H,)和(H)成立，从而系统均衡点局部渐近稳定. 05 由于G=-0.2110,H=0.01060,M=-1.2508× 0 50100150200250300 10-5,△=-3.1086×10-，利用引理(1)中的判别 方法可知，特征方程有三个不同的正实根.根据定 图1当？=5时系统(2)局部渐近稳定 理3、定理4和式(9)，经过计算可得：当分支参数r Fig.1 Locally asymptotically stability of System (2)at T=5 分别为6.6589、12.2402、23.9387、41.2879、57.1342 图1~图4所展示的经济系统稳定性的转变表 和58.6371时，系统(2)相应地发生七次稳定性切 明，分支参数T能够对宏观经济的稳定运行起决定

第 3 期 刘祥东等: 含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 2) 时，均衡点局部渐近稳定; 当 τ∈( τ3，j ，τ2，j) ( j = － 1，0，…，m － 1) 或 τ ＞ τ3，m 时，均衡点不稳定; 当 τ∈τ2，j∪τ3，j∪τ3，m － 1 ( j = － 1，0，…，m － 2) 时，系统 ( 2) 在均衡点处产生 Hopf 分支． ( ⅲ) 若( H1 ) 、( H2 ) 和( H3 ) 不成立而( H5 ) 成 立，则当 τ∈( τ2，j ，τ3，j ) ( j = － 1，0，…，m － 1) 时，均 衡点局部渐近稳定; 当 τ∈{ 0} ∪( τ3，j ，τ2，j + 1 ) ( j = － 1，0，…，m － 1) 或 τ ＞ τ3，m 时，均衡点不稳定; 当 τ∈τ2，j∪τ3，j( j = － 1，0，…，m － 1) 时，系统( 2) 在均 衡点处产生 Hopf 分支． ( ⅳ) 假定( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H6 ) 成立，若 τ* 是一个稳定性切换，其中 τ* 满足 ω( τ* ) ∈{ ω4， ω5，ω6 } ，则当 τ = τ* 时，系统( 2) 在均衡点处产生 Hopf 分支． 2 数值模拟 本部分将用 Matlab 软件执行一些数值模拟以 验证本文所得结论，同时展示参数 τ( 投资时滞或资 本存量的预测时间) 对于经济周期产生的重要意 义． 在数值模拟中，根据文献［14］，选取如下 Kaldor 型投资函数 I( Y( t) ，K( t) ，Ｒ( t) ) = I1 ( Y( t) ，Ｒ( t) ) － cK( t) = exp ( Y( t) ) /［1 + exp( Y( t) ) ］－ ηＲ( t) － cK( t) ， 其中 η 为大于 0 的常数． 储蓄函数为线性的，即 S( Y( t) ，Ｒ( t) ) = aY( t) + bＲ( t) ， 其中和为大于 0 的常数． 根据文献［19］，选取流动 性偏好函数为 L( Y( t) ，Ｒ( t) ) = L1 ( Y( t) ) + L2 ( Ｒ( t) ) = δY( t) +［θ /( Ｒ( t) － ^ Ｒ) ］． 其中 δ ＞ 0，θ ＞ 0，且 ^ Ｒ ＞ 0 是一个非常小的确定利 率，当利率 Ｒ( t) 下降到 ^ Ｒ 时，产生流动性陷阱，即 L2 ( Ｒ( t) ) → + ∞ ， Ｒ( t) → ^ Ｒ． 除 τ 以外的参数取值如下: α = 2，β = 1. 2，δ = 0. 04，η = 0. 1，θ = 0. 0005，a = 0. 2，b = 0. 1，c = 0. 2，d = 0. 1，M = 0. 05． 根据这些参数值，容易得 出系统的均衡点 E* = ( 1. 1685，0. 1544，2. 4915) ． 进一步 计 算 可 得，当 τ = 0 时，特 征 方 程 为 λ3 + 0. 3637λ2 + 0. 1116λ + 0. 005977 = 0，易 知 ( H1 ) 、 ( H2 ) 和( H3 ) 成立，从而系统均衡点局部渐近稳定． 由于 G = － 0. 2110，H = 0. 01060，M = － 1. 2508 × 10 － 5，Δ = － 3. 1086 × 10 － 7，利用引理( 1) 中的判别 方法可知，特征方程有三个不同的正实根． 根据定 理 3、定理 4 和式( 9) ，经过计算可得: 当分支参数 τ 分别为 6. 6589、12. 2402、23. 9387、41. 2879、57. 1342 和 58. 6371 时，系统( 2) 相应地发生七次稳定性切 换，在均衡点处产生 Hopf 分支现象; 当分支参数τ∈ ( 6. 6589， 12. 2402 ) ∪ ( 23. 9387， 34. 6872 ) ∪ ( 41. 2879，57. 1342) ∪( 58. 6371，+ ∞ ) 时，经济系 统不稳定，经济变量产生周期性振荡，呈现出明显的 经济周期特征． 为了进一步展示分支参数 τ 对于经济系统稳定 性的影响，固定以上参数值，选取不同 τ 值进行对 比． 下文数值模拟中，选取的系统初始值为( Y( 0) ， Ｒ( 0) ，K( 0 + τ) ) = ( 1，0. 02，3) ． 首先分别选取分 支参数 τ = 5 和 τ = 14，根据前文的理论分析可知， 此时经济系统稳定，能够达到一般均衡状态． 由系 统( 2) 的时间图( 图 1 和图 2) 可见，随时间 t 的增 大，生产总值、利率和预期资本存量的波动幅度逐渐 变小，在经历一段时间的经济运行之后，最终趋向于 经济均衡状态，经济运行平稳． 这表明在较短的投 资时滞和合理的资本存量预期下，投资活动与整体 经济状况搭配基本合理，没有出现投资不足或过度 投资问题，总产出、利率和资本存量运行平稳、最终 趋向一般均衡状态． 然后再分别选取分支参数 τ = 6. 59 和 τ = 24， 由前文的理论分析可知，此时经济系统不稳定，将发 生周期性波动． 系统( 2) 的时间图( 图 3 和图 4) 显 示，随时间 t 的变化，生产总值、利率和预期资本存 量产生周期性振荡，经济变量呈现显著的周期特性． 造成这一现象的原因在于，在较长的投资时滞和资 本存量预期下制定投资决策，现阶段出现投资不足 现象，投资活动与整体经济运行错位，导致经济出现 周期性的波动． 本文的数值模拟还发现，随着 τ 值 的不断增大，经济系统( 2) 在经历多个稳定性切换 后，最终变得不稳定． 限于篇幅，不再展示后续的数 值模拟． 需要说明的是，过长的投资时滞或预测时 间与现实情况不符，这里仅是出于全面的理论分析 考虑． 图 1 当 τ = 5 时系统( 2) 局部渐近稳定 Fig． 1 Locally asymptotically stability of System ( 2) at τ = 5 图 1 ～ 图 4 所展示的经济系统稳定性的转变表 明，分支参数 τ 能够对宏观经济的稳定运行起决定 · 304 ·

·404 北京科技大学学报 第36卷 3.0 于下行趋势.随着这一趋势的蔓延，经济将经历衰 U+9 2.5 退和萧条阶段，运行至谷底.而在衰退和萧条阶段， 2.0 投资活动的减弱和资本存量的损耗，使得资本存量 Y() 15 的增速放缓：同时投资活动减少，市场对资金的需求 量降低，又在一定程度上导致利率下降。当经济运 行至谷底时，较低的资本存量增量和市场利率共同 0.5 Ri) o.w 促进了投资活动的开展.投资活动的增加，使得总 200 400 600 800 产出随之增加，经济开始复苏，并逐渐运行至繁荣阶 图2当？=14时系统(2)再次局部渐近稳定 段.这样一来，在对资本存量的预测时间过长的影 Fig.2 Locally asymptotically stability of System(2)at 7=14 again 响下，伴随着投资活动减弱和增强的交替，经济运行 经历衰退、萧条、复苏和繁荣四个阶段，形成经济 K(+T) 周期. 从投资时滞角度来看，如果时滞过长，意味着从 投入到产出的时间被无形地延长，导致生产效率降 低，总产出减少，经济处于下行趋势，在经历衰退和 萧条阶段后，运行至谷底.在经济下行的过程中，投 R() 4Y) 资活动的减弱和资本存量的损耗，在大大减缓资本 100200300 400500 存量增速的同时，还刺激了市场利率水平的下降 图3当？=6.59时系统(2)不稳定，经济变量发生周期性振荡 这两个结果，又反过来刺激投资活动的增加，使得总 Fig.3 When =6.59,System (2)is unstable,and the economic 产出逐渐增加，经济由谷底开始发生反转，逐步迈入 variables is periodically oscillatory 复苏，然后进入繁荣阶段.同样，在过长投资时滞的 3.0 影响下，经济运行会经历衰退、萧条、复苏和繁荣四 2.5 个阶段，形成经济周期. 兰y2.0 ▲K+0 值得注意的是，由图1~图4的对比可以发现， Y) 15 虽然经济系统随着分支参数值的增大，经历稳定和 1.0 不稳定的转换，但是在每幅图的前几个周期内，国民 0.5 R() 生产总值、利率和预期资本存量的波动幅度随分支 wwwwwwwwwwwwwww 参数的增大而增大.这表明投资时滞和资本存量的 100 200300 400 500 预测时间的增加，能够在一定程度上加剧经济的波 图4当：=24时系统(2)再次不稳定，经济变量发生周期性振 动.因此，减小投资时滞和资本存量的预测时间对 荡 于稳定经济，减弱经济的波动幅度具有重要意义. Fig.4 When r =24,System (2)is unstable again,and the eco- 此外，在文献4]中经济周期模型仅考虑了投资时 nomic variables is periodically oscillatory 滞，而没有考虑对资本存量预期.为了展示资本存 性作用，即资本存量的预测时间和投资时滞共同构 量的预测时间对经济系统稳定性的影响，本文进一 成经济周期产生的诱导因素.本文得出这一结论的 步做了一个对比性的数值模拟.在数值模拟中，除？ 经济意义十分明确。由于国民经济的总体发展趋势 外，选用的其他参数值都与本文的完全相同.数值 向上，未来远期的国民生产总值和资本存量都必然 模拟显示，在投资时滞为3.5时，文献4]中的经 会增加。因此，从资本存量的预测时间角度来看，对 济系统不再稳定，呈现周期性振荡状态，并且国民生 资本存量的预测时间过长，预期的资本存量势必会 产总值的振荡幅度远大于本文中的情况（如图5所 大增.根据文献⑦]对投资函数与资本存量负相关 示).这表明在相同参数取值下，保持文献几4]中 的假设，在总产出和利率既定的条件下，资本存量越 的经济系统稳定的临界时滞必然小于3.5，而此分 大，所需要的投资就越小：反之，资本存量越小，所需 支参数值又远远小于本文中的首个临界分支参数值 投资越大.因而在现阶段的投资决策中，若对资本 6.59.由此可见，政府对资本存量进行短期的合理 存量的预测时间加长，则预期的资本存量增大，现阶 预测，并根据预测结果制定投资方案，能够在一定程 段的投资活动减弱，从而造成总产出的萎缩，经济处 度上减弱由投资时滞所造成的经济波动

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 图 2 当 τ = 14 时系统( 2) 再次局部渐近稳定 Fig． 2 Locally asymptotically stability of System ( 2) at τ = 14 again 图 3 当 τ = 6. 59 时系统( 2) 不稳定，经济变量发生周期性振荡 Fig． 3 When τ = 6. 59，System ( 2) is unstable，and the economic variables is periodically oscillatory 图 4 当 τ = 24 时系统( 2) 再次不稳定，经济变量发生周期性振 荡 Fig． 4 When τ = 24，System ( 2) is unstable again，and the eco￾nomic variables is periodically oscillatory 性作用，即资本存量的预测时间和投资时滞共同构 成经济周期产生的诱导因素． 本文得出这一结论的 经济意义十分明确． 由于国民经济的总体发展趋势 向上，未来远期的国民生产总值和资本存量都必然 会增加． 因此，从资本存量的预测时间角度来看，对 资本存量的预测时间过长，预期的资本存量势必会 大增． 根据文献［7］对投资函数与资本存量负相关 的假设，在总产出和利率既定的条件下，资本存量越 大，所需要的投资就越小; 反之，资本存量越小，所需 投资越大． 因而在现阶段的投资决策中，若对资本 存量的预测时间加长，则预期的资本存量增大，现阶 段的投资活动减弱，从而造成总产出的萎缩，经济处 于下行趋势． 随着这一趋势的蔓延，经济将经历衰 退和萧条阶段，运行至谷底． 而在衰退和萧条阶段， 投资活动的减弱和资本存量的损耗，使得资本存量 的增速放缓; 同时投资活动减少，市场对资金的需求 量降低，又在一定程度上导致利率下降． 当经济运 行至谷底时，较低的资本存量增量和市场利率共同 促进了投资活动的开展． 投资活动的增加，使得总 产出随之增加，经济开始复苏，并逐渐运行至繁荣阶 段． 这样一来，在对资本存量的预测时间过长的影 响下，伴随着投资活动减弱和增强的交替，经济运行 经历衰退、萧条、复苏和繁荣四个阶段，形成经济 周期． 从投资时滞角度来看，如果时滞过长，意味着从 投入到产出的时间被无形地延长，导致生产效率降 低，总产出减少，经济处于下行趋势，在经历衰退和 萧条阶段后，运行至谷底． 在经济下行的过程中，投 资活动的减弱和资本存量的损耗，在大大减缓资本 存量增速的同时，还刺激了市场利率水平的下降． 这两个结果，又反过来刺激投资活动的增加，使得总 产出逐渐增加，经济由谷底开始发生反转，逐步迈入 复苏，然后进入繁荣阶段． 同样，在过长投资时滞的 影响下，经济运行会经历衰退、萧条、复苏和繁荣四 个阶段，形成经济周期． 值得注意的是，由图 1 ～ 图 4 的对比可以发现， 虽然经济系统随着分支参数值的增大，经历稳定和 不稳定的转换，但是在每幅图的前几个周期内，国民 生产总值、利率和预期资本存量的波动幅度随分支 参数的增大而增大． 这表明投资时滞和资本存量的 预测时间的增加，能够在一定程度上加剧经济的波 动． 因此，减小投资时滞和资本存量的预测时间对 于稳定经济，减弱经济的波动幅度具有重要意义． 此外，在文献［14］中经济周期模型仅考虑了投资时 滞，而没有考虑对资本存量预期． 为了展示资本存 量的预测时间对经济系统稳定性的影响，本文进一 步做了一个对比性的数值模拟． 在数值模拟中，除 τ 外，选用的其他参数值都与本文的完全相同． 数值 模拟显示，在投资时滞为 3. 5 时，文献［14］中的经 济系统不再稳定，呈现周期性振荡状态，并且国民生 产总值的振荡幅度远大于本文中的情况( 如图 5 所 示) ． 这表明在相同参数取值下，保持文献［14］中 的经济系统稳定的临界时滞必然小于 3. 5，而此分 支参数值又远远小于本文中的首个临界分支参数值 6. 59． 由此可见，政府对资本存量进行短期的合理 预测，并根据预测结果制定投资方案，能够在一定程 度上减弱由投资时滞所造成的经济波动． · 404 ·

第3期 刘祥东等：含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 ·405· 8 + 2]Chang WW,Smyth D J.The existence and persistence of cycles in a non-inear model:Kaldor's 1940 model re-examined.Reo Econ Stud,1971,38(1):37 B]Grasman J,Wentzel JJ.Co-existence of a limit cycle and an equi- librium in Kaldor's business cycle model and its consequences. Econ Behav Organ,1994,24(3):369 R(t) )4 4]Ackley G.Macroeconomic Theory.New York:The MacMillan 100 200300400500 Company,1961 图5当？=3.5时文献D4中的经济系统产生周期性振荡 [5]Torre V.Existence of limit cycles and control in complete Keynesi- Fig.5 When 7=3.5,the economie system in Ref.[14]is periodi- an system by theory of bifurcations.Econometrica,1977,45(6): 1457 cally oscillatory [6]Kalecki M.A macrodynamie theory of business cyeles.Economet- ca,1935,3(3):327 3 结论与建议 [7]Krawiec A,Szydlowski M.The Kaldor-Kalecki business cycle model.Ann Oper Res,1999,89:89 由于预期资本存量与资本存量的未来价值直接 [8]Szydlowski M.Krawiec A.The stability problem in the Kaldor-Ka- 相关，政府会在现阶段的投资决策中考虑预期资本 lecki business cycle model.Chaos Solitons Fractals,2005,25 存量；同时过去的投资决策从制定到实际生产产出 (2):299 需要一段运作时间，从而造成产出的延迟.基于这 9 Zhang C R,Wei JJ.Stability and bifurcation analysis in a kind of 两点考虑，本文在扩展的IS-LM模型中引入资本存 business cycle model with delay.Chaos Solitons Fractals,2004, 22(4):883 量的预测时间和投资时滞，构建一个含有预期和时 [10]Wu X P,Wang L C.Multi-parameter bifurcations of the Kaldor- 滞的混合型经济周期模型、把资本存量的预测时间 Kalecki model of business eycles with delay.Nonlinear Anal Real 和投资时滞作为分支参数，本文利用微分动力系统 World Appl,2010,11(2):869 相关理论首先研究分支参数为零时均衡点的稳定 [11]Gabisch G,Lorenz H W.Business Cycle Theory:a Surrey of 性，然后分析随着分支参数不断增大，经济系统发生 Methods and Concepts.Berlin:Springer-Verlag,1989 [12]Cai J P.Hopf bifureation in the IS-M business cycle model with 稳定性切换，产生Hopf分支的条件，并利用Matlab time delay.Electron J Differential Equations,2005,2005(15): 软件执行数值模拟以验证所得结论 1 本文在一个新的框架下，从投资的角度阐述经 [13]Krawiec A,Szydlowski M.On nonlinear mechanics of business 济周期产生的原因.根据本文结论，政府可以从以 cycle model.Regul Chaotic Dyn,2001,6(1)101 下两个方面调节投资活动，减少经济发展中的不稳 [14]Kaddar A,Alaoui T H.On the dynamic behavior of a delayed IS- 定因素，熨平由不合适的投资活动造成的经济动荡， LM business cycle model.Appl Math Sci,2008,2(31):1529 [15]Dubois D M.Extension of the Kaldor-Kalecki model of business 促进宏观经济的平稳发展：第一，虽然现实经济环境 cycle with a computational anticipated capital stock.J Organ 中的投资时滞客观存在，但是仍然能够通过改良生 Transform Soc Change,2004,1(1):63 产设备，提高人员工作效率等方式，缩短由投入到产 [16]Zhou L J,Li Y Q.A dynamic IS-M business cyele model with 出的时间差，增加产出的效率，进而降低投资时滞， two time delays in capital accumulation equation.I Comput Appl 减弱由此而造成的经济波动：第二，综合考虑现行宏 Math,2009,228(1):182 7] Beretta E,Kuang Y.Geometric stability switch criteria in delay 观经济环境中各行业的产出效率，计算其中的平均 differential systems with delay dependent parameters.SIAM 投资时滞，根据时滞的大小对资本存量进行短期的 Math Anal,2002,33(5):1144 合理预测，并结合预测结果制定投资决策，进一步冲 [18]Ruan S G,Wei JJ.On the zeros of transcendental functions with 销由投资时滞所造成的经济波动 applications to stability of delay differential equations with two de- lays.Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst Ser A,2003,10 (6):863 参考文献 [19]De Cesare L,Sportelli M.A dynamic IS-M model with delayed [1]Kaldor N.A model of the trade cycle.Econ J.1940,50(197): taxation revenues.Chaos Solitons Fractals,2005,25(1):233

第 3 期 刘祥东等: 含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 图 5 当 τ = 3. 5 时文献［14］中的经济系统产生周期性振荡 Fig． 5 When τ = 3. 5，the economic system in Ｒef． ［14］is periodi￾cally oscillatory 3 结论与建议 由于预期资本存量与资本存量的未来价值直接 相关，政府会在现阶段的投资决策中考虑预期资本 存量; 同时过去的投资决策从制定到实际生产产出 需要一段运作时间，从而造成产出的延迟． 基于这 两点考虑，本文在扩展的 IS--LM 模型中引入资本存 量的预测时间和投资时滞，构建一个含有预期和时 滞的混合型经济周期模型． 把资本存量的预测时间 和投资时滞作为分支参数，本文利用微分动力系统 相关理论首先研究分支参数为零时均衡点的稳定 性，然后分析随着分支参数不断增大，经济系统发生 稳定性切换，产生 Hopf 分支的条件，并利用 Matlab 软件执行数值模拟以验证所得结论． 本文在一个新的框架下，从投资的角度阐述经 济周期产生的原因． 根据本文结论，政府可以从以 下两个方面调节投资活动，减少经济发展中的不稳 定因素，熨平由不合适的投资活动造成的经济动荡， 促进宏观经济的平稳发展: 第一，虽然现实经济环境 中的投资时滞客观存在，但是仍然能够通过改良生 产设备，提高人员工作效率等方式，缩短由投入到产 出的时间差，增加产出的效率，进而降低投资时滞， 减弱由此而造成的经济波动; 第二，综合考虑现行宏 观经济环境中各行业的产出效率，计算其中的平均 投资时滞，根据时滞的大小对资本存量进行短期的 合理预测，并结合预测结果制定投资决策，进一步冲 销由投资时滞所造成的经济波动． 参 考 文 献 ［1］ Kaldor N． A model of the trade cycle． Econ J，1940，50( 197) : 78 ［2］ Chang W W，Smyth D J． The existence and persistence of cycles in a non-linear model: Kaldor's 1940 model re-examined． Ｒev Econ Stud，1971，38( 1) : 37 ［3］ Grasman J，Wentzel J J． Co-existence of a limit cycle and an equi￾librium in Kaldor's business cycle model and its consequences． J Econ Behav Organ，1994，24( 3) : 369 ［4］ Ackley G． Macroeconomic Theory． New York: The MacMillan Company，1961 ［5］ Torre V． Existence of limit cycles and control in complete Keynesi￾an system by theory of bifurcations． Econometrica，1977，45( 6) : 1457 ［6］ Kalecki M． A macrodynamic theory of business cycles． Economet￾rica，1935，3( 3) : 327 ［7］ Krawiec A，Szydlowski M． The Kaldor-Kalecki business cycle model． Ann Oper Ｒes，1999，89: 89 ［8］ Szydlowski M，Krawiec A． The stability problem in the Kaldor-Ka￾lecki business cycle model． Chaos Solitons Fractals，2005，25 ( 2) : 299 ［9］ Zhang C Ｒ，Wei J J． Stability and bifurcation analysis in a kind of business cycle model with delay． Chaos Solitons Fractals，2004， 22( 4) : 883 ［10］ Wu X P，Wang L C． Multi-parameter bifurcations of the Kaldor￾Kalecki model of business cycles with delay． Nonlinear Anal Ｒeal World Appl，2010，11( 2) : 869 ［11］ Gabisch G，Lorenz H W． Business Cycle Theory: a Survey of Methods and Concepts． Berlin: Springer-Verlag，1989 ［12］ Cai J P． Hopf bifurcation in the IS-LM business cycle model with time delay． Electron J Differential Equations，2005，2005( 15) : 1 ［13］ Krawiec A，Szydlowski M． On nonlinear mechanics of business cycle model． Ｒegul Chaotic Dyn，2001，6( 1) : 101 ［14］ Kaddar A，Alaoui T H． On the dynamic behavior of a delayed IS￾LM business cycle model． Appl Math Sci，2008，2( 31) : 1529 ［15］ Dubois D M． Extension of the Kaldor-Kalecki model of business cycle with a computational anticipated capital stock． J Organ Transform Soc Change，2004，1( 1) : 63 ［16］ Zhou L J，Li Y Q． A dynamic IS-LM business cycle model with two time delays in capital accumulation equation． J Comput Appl Math，2009，228( 1) : 182 ［17］ Beretta E，Kuang Y． Geometric stability switch criteria in delay differential systems with delay dependent parameters． SIAM J Math Anal，2002，33( 5) : 1144 ［18］ Ｒuan S G，Wei J J． On the zeros of transcendental functions with applications to stability of delay differential equations with two de￾lays． Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst Ser A，2003，10 ( 6) : 863 ［19］ De Cesare L，Sportelli M． A dynamic IS-LM model with delayed taxation revenues． Chaos Solitons Fractals，2005，25( 1) : 233 · 504 ·