基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化

工程科学学报，第39卷，第9期：1386-1395,2017年9月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.9:1386-1395,September 2017 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2017.09.012;htp:/journals..usth.edu.cn 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 臧 勇，王远，秦勤区，管奔 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:qinqin@me.usth.cdu.cn 摘要对蛋盒型结构的等效刚度特性进行了分析并实现了蛋盒型结构参数的优化设计.首先以蛋盒型结构的单胞为研究 对象，基于渐进变分法，得到了蛋盒型结构等效刚度特性的数值计算方法.随后用该方法计算蛋盒型结构不同参数情况下的 等效刚度特性，并以结构参数为自变量，等效刚度特性为因变量进行拟合.最后应用拟合公式在限定泊松比或等效刚度的情 况下，分别以最大化结构的屈曲载荷和最大化单位质量吸能能力的优化为例，对蛋盒型结构参数进行了量纲为一的优化设 计.计算结果表明：蛋盒型结构拉伸刚度降低，弯曲刚度升高：蛋盒型结构的刚度特性与结构参数之间呈现非线性的特点，结 构表现出负泊松比的特性：在给定优化目标和限定条件时应用拟合公式可以快速实现蛋盒型结构参数的主动优化设计. 关键词蛋盒型结构：渐进变分法：等效刚度：结构优化 分类号TB383 Equivalent stiffness and optimized design of egg-box structure based on variational as- ymptotic method ZANG Yong,WANG Yuan,QIN Qin,GUAN Ben School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:gingin@me.ustb.edu.cn ABSTRACT The equivalent stiffness of the egg-box structure was investigated to achieve structural optimization of the structure pa- rameters.A unit cell of the egg-box structure was studied using the variational asymptotic method to obtain a numerical calculation method for equivalent stiffness of the whole egg-box structure.This numerical calculation method was then used to analyze the equiva- lent stiffness of the egg-box structure with different structural parameters.A formula for equivalent stiffness characteristics was then fit- ted,and the structural parameters were treated as independent variables.Finally,the fitted formula was used to optimize the dimen- sionless structural parameters to obtain maximum buckling load and maximum energy absorbed per unit weight when Poisson's ratio or equivalent stiffness was restricted.Results show that the tensile stiffness of the egg-box structure is reduced,but the bending stiffness is increased.In addition,there is a nonlinear relationship between stiffness and structural parameters,and the structure exhibits a negative Poisson's ratio.Furthermore,active parameters optimization design of the egg-box structure can be easily achieved with the fitted formula. KEY WORDS egg-box structure;variational asymptotic method;equivalent stiffness;structural optimization 蛋盒型结构是一种具有较高的吸能质量比，较好 是金属薄板、聚合物板或复合材料板等，其结构经过简 的抗弯曲扭转性能，较好的高温稳定性等特点的轻质 单的冷冲压或热冲压即可得到，已经在汽车、船舶行业 结构).同时该种结构易制造易回收，其原材料可以 得到应用 收稿日期：2017-02-22 基金项目：中央高校基本科研业务费资助项目(FF-TP-16-010A3):工信部2016年智能制造综合标准化与新模式应用项目

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期:1386鄄鄄1395,2017 年 9 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 39, No. 9: 1386鄄鄄1395, September 2017 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2017. 09. 012; http: / / journals. ustb. edu. cn 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 臧 勇, 王 远, 秦 勤苣 , 管 奔 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 苣通信作者, E鄄mail: qinqin@ me. ustb. edu. cn 摘 要 对蛋盒型结构的等效刚度特性进行了分析并实现了蛋盒型结构参数的优化设计. 首先以蛋盒型结构的单胞为研究 对象,基于渐进变分法,得到了蛋盒型结构等效刚度特性的数值计算方法. 随后用该方法计算蛋盒型结构不同参数情况下的 等效刚度特性,并以结构参数为自变量,等效刚度特性为因变量进行拟合. 最后应用拟合公式在限定泊松比或等效刚度的情 况下,分别以最大化结构的屈曲载荷和最大化单位质量吸能能力的优化为例,对蛋盒型结构参数进行了量纲为一的优化设 计. 计算结果表明:蛋盒型结构拉伸刚度降低,弯曲刚度升高;蛋盒型结构的刚度特性与结构参数之间呈现非线性的特点,结 构表现出负泊松比的特性;在给定优化目标和限定条件时应用拟合公式可以快速实现蛋盒型结构参数的主动优化设计. 关键词 蛋盒型结构; 渐进变分法; 等效刚度; 结构优化 分类号 TB383 Equivalent stiffness and optimized design of egg鄄box structure based on variational as鄄 ymptotic method ZANG Yong, WANG Yuan, QIN Qin 苣 , GUAN Ben School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣Corresponding author, E鄄mail: qinqin@ me. ustb. edu. cn ABSTRACT The equivalent stiffness of the egg鄄box structure was investigated to achieve structural optimization of the structure pa鄄 rameters. A unit cell of the egg鄄box structure was studied using the variational asymptotic method to obtain a numerical calculation method for equivalent stiffness of the whole egg鄄box structure. This numerical calculation method was then used to analyze the equiva鄄 lent stiffness of the egg鄄box structure with different structural parameters. A formula for equivalent stiffness characteristics was then fit鄄 ted, and the structural parameters were treated as independent variables. Finally, the fitted formula was used to optimize the dimen鄄 sionless structural parameters to obtain maximum buckling load and maximum energy absorbed per unit weight when Poisson爷s ratio or equivalent stiffness was restricted. Results show that the tensile stiffness of the egg鄄box structure is reduced, but the bending stiffness is increased. In addition, there is a nonlinear relationship between stiffness and structural parameters, and the structure exhibits a negative Poisson爷s ratio. Furthermore, active parameters optimization design of the egg鄄box structure can be easily achieved with the fitted formula. KEY WORDS egg鄄box structure; variational asymptotic method; equivalent stiffness; structural optimization 收稿日期: 2017鄄鄄02鄄鄄22 基金项目: 中央高校基本科研业务费资助项目(FRF鄄鄄TP鄄鄄16鄄鄄010A3);工信部 2016 年智能制造综合标准化与新模式应用项目 蛋盒型结构是一种具有较高的吸能质量比,较好 的抗弯曲扭转性能,较好的高温稳定性等特点的轻质 结构[1] . 同时该种结构易制造易回收,其原材料可以 是金属薄板、聚合物板或复合材料板等,其结构经过简 单的冷冲压或热冲压即可得到,已经在汽车、船舶行业 得到应用

臧勇等：基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 ·1387· 目前对蛋盒型结构进行应用的主要方面为碰撞吸 单胞结构上具有形貌复杂的特点，并且宏观结构尺寸 能装置的使用，因此对其的研究主要在失效原理和吸 远大于单胞尺寸，如图1所示. 能能力两个方面.Deshpande与Fleck[]运用塑性铰理 论得到了蛋盒型结构的失效机制图，描述了在不同载 荷情况下的失效形式.Zpan等)研究了蛋盒型结构 在落锤试验过程中的失效形式，并对比了蛋盒型结构 与金属泡沫的吸能能力.Akisanya与Fleck4研究了蛋 盒型结构中单个结构在压缩与剪切载荷共同作用时的 失效形式.Chang等s-)研究了纤维材料制造的蛋盒 10 mm 型结构的准静态压缩过程的变形过程和吸能能力，以 图1蛋盒型结构的形貌[3) 及泡沫填充的蛋盒型结构在准静态压缩过程的吸能能 Fig.I Photograph of aluminum egg-box structure 力.Nowpada等s-)对不同结构参数的铝制蛋盒型结 根据图1，图2所示，蛋盒型结构形貌可近似为正 构在不同边界条件下进行了准静态压缩试验，得到了 弦形状，其公式为z=Hsin(2mx/p)sin(2ry/p)/2,结 结构在压缩过程中的最大载荷能力及结构失效情况 构参数主要包括正弦函数的高度H,周期间距P,假设 等.Sashikumar等[o运用有限元的方法研究了蛋盒型 蛋盒型结构各位置厚度均为：，为便于后续计算需对其 结构在不同边界条件时的吸能能力.已有的研究均表 单胞结构的函数进行量纲为一化 明蛋盒型结构在破坏过程中具有较强的吸能能力，在 1.1蛋盒型结构的应变能 某些情况下可替代泡沫结构或蜂窝结构 蛋盒型结构的单胞尺寸远小于蛋盒型结构的宏观 目前的研究对蛋盒型结构的宏观刚度特性问题研 尺寸，单胞在x方向和y方向周期排布并且在两个方 究较少，实际上，相对于蜂窝、瓦楞、泡沫铝等结构，蛋 向具有相同的间距，可将其假设为一种符合Kirchhoff 盒型结构在保证吸能能力的前提下还具有更高的比刚 假设的各向异性薄板，并且不会产生拉伸弯曲耦合刚 度，更强的侧向载荷承载能力等良好的力学特性，同时 度，根据各向异性薄板结构能量的表达方式，应变能可 有研究发现蛋盒型结构还具有负泊松比等特异性的属 表达为下式， 性]，因此蛋盒型结构适合于替代其他轻质结构作为 Ja 承载构件进行使用.等效刚度特性是一种用来表征轻 [Au 0 A 0 0 01e. 质结构承载能力的参数，可以高效计算得到宏观结构 0 An 0 0 0 0 在不同载荷情况下的位移响应[2-]，为结构的应用奠 An 0 A 0 0 0 定基础.蛋盒型结构由于其单胞形貌复杂，用于瓦楞 2 dS. 结构等效刚度特性的解析方法[4-]对蛋盒型结构并 0 0 D Da Kg 不直接适用，利用传统有限元仿真方法对其宏观结构 2K 0 0 0 0 D2 0 2K到 进行分析时需要大量的网格来表征单胞结构，效率低 0 0 0 De 0 , 精度差.渐进变分法是一种计算周期性材料等效刚度 (1) 特性的通用方法[)，其具有严格的数学公式推导，计 式中：E,∈，E,代表拉伸应变；K,K,K,代表弯曲应 算精度高，可用于蛋盒型结构等效刚度特性的计算. 变：A代表拉伸刚度，A和A,代表拉（压）力与中面拉 因此本文拟利用渐进变分法研究蛋盒型结构等效刚度 伸（压缩）应变之间的刚度系数，A,代表结构在单向受 特性与结构参数之间的关系，并实现结构参数的正向 拉或受压时，产生的纵向力与横向正应变之间的刚度 主动优化设计. 系数，A2代表剪切力与中面剪应变之间的刚度系数；D 基于以上分析，本文首先以蛋盒型结构的单胞结构 代表弯曲刚度，D,和D:代表弯矩与曲率之间的刚度 为研究对象，运用渐进变分法和有限单元法[侧建立了蛋 系数，D定义与A类似，D,代表扭转与扭曲率之间的 盒型结构等效刚度特性的数值计算模型，并使用传统有 刚度系数四，因为两个方向周期相同，所以A=A, 限元方法对计算模型进行了对比验证：然后基于该方法 D1=D3,S为薄板的面积范围. 研究了不同结构参数时的等效刚度特性，以等效刚度特 蛋盒型结构的中面位置矢量可以表达为： 性为因变量，结构参数为自变量进行拟合：最后研究了蛋 r(x,y)=xe +ye2 +zes (2) 盒型结构基于数值计算模型结果的最优参数设计方法. 式中：z为x和y的函数，e,e2,C3分别代表笛卡尔坐标 1蛋盒型结构等效刚度特性的计算 系下x,y,2方向的基矢。令x1=x,x2=y,x=z,任意形 状壳体的拉伸应变中。和弯曲应变p。可以写成山：有 蛋盒型结构在宏观上呈现出各向异性的特点，在 关的公式[]

臧 勇等: 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 目前对蛋盒型结构进行应用的主要方面为碰撞吸 能装置的使用,因此对其的研究主要在失效原理和吸 能能力两个方面. Deshpande 与 Fleck [2] 运用塑性铰理 论得到了蛋盒型结构的失效机制图,描述了在不同载 荷情况下的失效形式. Zupan 等[3] 研究了蛋盒型结构 在落锤试验过程中的失效形式,并对比了蛋盒型结构 与金属泡沫的吸能能力. Akisanya 与 Fleck [4]研究了蛋 盒型结构中单个结构在压缩与剪切载荷共同作用时的 失效形式. Chang 等[5鄄鄄7] 研究了纤维材料制造的蛋盒 型结构的准静态压缩过程的变形过程和吸能能力,以 及泡沫填充的蛋盒型结构在准静态压缩过程的吸能能 力. Nowpada 等[8鄄鄄9]对不同结构参数的铝制蛋盒型结 构在不同边界条件下进行了准静态压缩试验,得到了 结构在压缩过程中的最大载荷能力及结构失效情况 等. Sashikumar 等[10]运用有限元的方法研究了蛋盒型 结构在不同边界条件时的吸能能力. 已有的研究均表 明蛋盒型结构在破坏过程中具有较强的吸能能力,在 某些情况下可替代泡沫结构或蜂窝结构. 目前的研究对蛋盒型结构的宏观刚度特性问题研 究较少,实际上,相对于蜂窝、瓦楞、泡沫铝等结构,蛋 盒型结构在保证吸能能力的前提下还具有更高的比刚 度,更强的侧向载荷承载能力等良好的力学特性,同时 有研究发现蛋盒型结构还具有负泊松比等特异性的属 性[11] ,因此蛋盒型结构适合于替代其他轻质结构作为 承载构件进行使用. 等效刚度特性是一种用来表征轻 质结构承载能力的参数,可以高效计算得到宏观结构 在不同载荷情况下的位移响应[12鄄鄄13] ,为结构的应用奠 定基础. 蛋盒型结构由于其单胞形貌复杂,用于瓦楞 结构等效刚度特性的解析方法[14鄄鄄16] 对蛋盒型结构并 不直接适用,利用传统有限元仿真方法对其宏观结构 进行分析时需要大量的网格来表征单胞结构,效率低 精度差. 渐进变分法是一种计算周期性材料等效刚度 特性的通用方法[17] ,其具有严格的数学公式推导,计 算精度高,可用于蛋盒型结构等效刚度特性的计算. 因此本文拟利用渐进变分法研究蛋盒型结构等效刚度 特性与结构参数之间的关系,并实现结构参数的正向 主动优化设计. 基于以上分析,本文首先以蛋盒型结构的单胞结构 为研究对象,运用渐进变分法和有限单元法[18]建立了蛋 盒型结构等效刚度特性的数值计算模型,并使用传统有 限元方法对计算模型进行了对比验证;然后基于该方法 研究了不同结构参数时的等效刚度特性,以等效刚度特 性为因变量,结构参数为自变量进行拟合;最后研究了蛋 盒型结构基于数值计算模型结果的最优参数设计方法. 1 蛋盒型结构等效刚度特性的计算 蛋盒型结构在宏观上呈现出各向异性的特点,在 单胞结构上具有形貌复杂的特点,并且宏观结构尺寸 远大于单胞尺寸,如图 1 所示. 图 1 蛋盒型结构的形貌[3] Fig. 1 Photograph of aluminum egg鄄box structure 根据图 1,图 2 所示,蛋盒型结构形貌可近似为正 弦形状,其公式为 z = Hsin (2仔x / p) sin (2仔y / p) / 2,结 构参数主要包括正弦函数的高度 H,周期间距 p,假设 蛋盒型结构各位置厚度均为 t,为便于后续计算需对其 单胞结构的函数进行量纲为一化. 1郾 1 蛋盒型结构的应变能 蛋盒型结构的单胞尺寸远小于蛋盒型结构的宏观 尺寸,单胞在 x 方向和 y 方向周期排布并且在两个方 向具有相同的间距,可将其假设为一种符合 Kirchhoff 假设的各向异性薄板,并且不会产生拉伸弯曲耦合刚 度,根据各向异性薄板结构能量的表达方式,应变能可 表达为下式, J = 1 2 蓦s 缀x 2缀xy 缀y 资x 2资xy 资 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ï ï ï ï ï y T A11 0 A13 0 0 0 0 A22 0 0 0 0 A13 0 A33 0 0 0 0 0 0 D11 0 D13 0 0 0 0 D22 0 0 0 0 D13 0 D é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 33 缀x 2缀xy 缀y 资x 2资xy 资 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ï ï ï ï ï y dS. (1) 式中:缀x,缀xy,缀y 代表拉伸应变;资x,资xy,资y 代表弯曲应 变;A 代表拉伸刚度,A11和 A13代表拉(压)力与中面拉 伸(压缩)应变之间的刚度系数,A13代表结构在单向受 拉或受压时,产生的纵向力与横向正应变之间的刚度 系数,A22代表剪切力与中面剪应变之间的刚度系数;D 代表弯曲刚度,D11和 D13代表弯矩与曲率之间的刚度 系数,D13定义与 A13类似,D22代表扭转与扭曲率之间的 刚度系数[22] ,因为两个方向周期相同,所以 A11 = A33 , D11 = D33 ,S 为薄板的面积范围. 蛋盒型结构的中面位置矢量可以表达为: r(x,y) = x^e1 + y^e2 + z ^e3 . (2) 式中:z 为 x 和 y 的函数,^e1 ,^e2 ,^e3 分别代表笛卡尔坐标 系下 x,y,z 方向的基矢. 令 x1 = x,x2 = y,x3 = z,任意形 状壳体的拉伸应变 准琢茁和弯曲应变 籽琢茁可以写成 ui 有 关的公式[17] . ·1387·

·1388· 工程科学学报，第39卷，第9期 图2蛋盒型的形貌及其单胞坐标量纲为一化.(a)结构形貌：(b)A-A截面：(c)B-B截面 Fig.2 Geometry of egg-box structure:(a)entire geometry;(b)section A-A (c):section B-B Ni dui, 2中p=。axg ((a4eP+a0s)小+ Ea（(ape)2+ata"p.Pw)）ds. 24(1+u)T1-u nu+9(en%+e0b2). 2 ax (5) (3) 1.2基于渐进变分法的蛋盒型单胞结构能量表达 式中：4：表示结构在全局坐标系下的位移分量，「代 以单胞为研究对象，建立一个量纲为一的局部坐 表克里斯托弗尔符号，「。代表曲面的切向量分量，n:代 标系X。,X。的范围为-1/2到1/2，根据一般周期结构 表曲面的法向量分量，e.代表Levi-Civita张量，0代表 材料的渐进变分法的表述16)，可以将双方向周期排 浆法向矢景的底转角9=26（之-2)，以= 布板壳结构的位移表述为以下方式： 2（ 山1(X1,X2,x1,x2,x)=(x1,x2,x3)+ abm,a吧为曲面的度量张量，bn为曲面形貌的二次形 p吨，(X1,X2,x,x2x3)-x(X1,X2)D.1 式，a为‖a‖的行列式.上述公式及后续公式中a, 山2（X,X2,x1,x2,x3）=2(x1,x2,x3）+ B,y取值为1,2，i取值为1,2,3. p2(X1,X2,x,x2,)-（X,X)2 则蛋盒型结构的应变能密度为[6： 山3（X,X2,x1,2,x3）=3（x1,x2,x3）+ b=2+a*a*0ns）+ Et p3(X1,X2,x1,2,x3）. (6) 其中的：代表全局坐标系下蛋盒型结构中面的位移， ain(ap产+agp） (4) 山：代表局部坐标系下单胞结构的位移，.。代表对 X。求导.则结合式(1)、式(5)和式(6)，单胞的应变 式中，E为基础材料的杨氏模量，4为材料的泊松比 能可写为公式(7)所示的形式 蛋盒型结构单胞上的应变能可以表达为： 1=R)a, (7) 式中：K为材料的刚度，由式(5)展开可得：R=

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 图 2 蛋盒型的形貌及其单胞坐标量纲为一化. (a)结构形貌;(b)A鄄鄄A 截面;(c)B鄄鄄B 截面 Fig. 2 Geometry of egg鄄box structure: (a) entire geometry; (b) section A鄄鄄A (c); section B鄄鄄B 2准琢茁 = r i 琢 鄣ui 鄣x茁 + r i 茁 鄣ui 鄣x琢 , 2籽琢茁 = 鄣 鄣x ( 茁 ni 鄣ui 鄣x ) 琢 + 鄣 鄣x ( 琢 ni 鄣ui 鄣x ) 茁 - 2祝 酌 琢茁 ni 鄣ui 鄣x酌 + 兹(e酌琢 b 酌 茁 + e酌茁 b 酌 琢 ). (3) 式中:ui 表示结构在全局坐标系下的位移分量,祝 酌 琢茁代 表克里斯托弗尔符号,r i 琢 代表曲面的切向量分量,ni 代 表曲面的法向量分量,e酌琢代表 Levi鄄鄄Civita 张量,兹 代表 绕法向矢量的旋转角 兹 = 1 2 ( a r i 1 鄣ui 鄣x2 - r i 2 鄣ui 鄣x ) 1 ,b 酌 琢 = a 琢茁 b茁酌 ,a 琢茁为曲面的度量张量,b茁酌为曲面形貌的二次形 式,a 为椰a 琢茁椰的行列式. 上述公式及后续公式中 琢, 茁,酌 取值为 1,2,i 取值为 1,2,3. 则蛋盒型结构的应变能密度为[16] : 椎 = Et 2(1 + 滋 ( ) u 1 - 滋 (a 琢茁准琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄准琢酌准茁啄 ) + Et 3 24(1 + 滋 ( ) 滋 1 - 滋 (a 琢茁 籽琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄 籽琢酌 籽茁啄 ). (4) 式中,E 为基础材料的杨氏模量,滋 为材料的泊松比. 蛋盒型结构单胞上的应变能可以表达为: J = 蓦S 椎 adS = 蓦 ( S Et a 2(1 + 滋 ( ) 滋 1 - 滋 (a 琢茁准琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄准琢酌准茁啄 ) + Et 3 a 24(1 + 滋 ( ) 滋 1 - 滋 (a 琢茁 籽琢茁 ) 2 + a 琢茁 a 酌啄 籽琢酌 籽茁啄 ) ) dS. (5) 1郾 2 基于渐进变分法的蛋盒型单胞结构能量表达 以单胞为研究对象,建立一个量纲为一的局部坐 标系 X琢 ,X琢 的范围为 - 1 / 2 到 1 / 2,根据一般周期结构 材料的渐进变分法的表述[16鄄鄄17] ,可以将双方向周期排 布板壳结构的位移表述为以下方式: u1 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) = v1 (x1 ,x2 ,x3 ) + p鬃1 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) - x3 (X1 ,X2 )v3,1 , u2 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) = v2 (x1 ,x2 ,x3 ) + p鬃2 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) - x3 (X1 ,X2 )v3,2 , u3 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ) = v3 (x1 ,x2 ,x3 ) + p鬃3 (X1 ,X2 ,x1 ,x2 ,x3 ). (6) 其中的 vi 代表全局坐标系下蛋盒型结构中面的位移, 鬃i 代表局部坐标系下单胞结构的位移,v3,琢代表 v3 对 X琢 求导. 则结合式(1)、式(5)和式(6),单胞的应变 能可写为公式(7)所示的形式. J = 1 2 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 (R TKR)dX1 dX2 . (7) 式中:K 为 材 料 的 刚 度, 由 式 ( 5 ) 展 开 可 得; R = ·1388·

臧勇等：基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 ·1389· [2p2pp2]';将R展开为e和 构中面的等效应变，各个值分别为： 亚有关的函数，其中∈代表蛋盒型结构中面的应变，与 ∈，=112ew=1.2+%21,∈，=2.2， 式(1)中相同，亚代表单胞结构的位移，计算∈和亚之 K.=-.1,2K=-3,2,K,=-. (11) 间的关系，即可得到等效刚度特性 100x3 0 07 R=Te+TwΨ (8) 0 10 0 0 其中： 00 1 0 0 3 业=[少中中] (9) r.= (12) I12I3 L I 代表蛋盒型结构任意位置在局部坐标系下的位移 MM,M, M. Ms o e=[∈：2e,∈，K,2KwK,].(10) N N2 Na N Ns 应变e与公式(1)中的应变意义相同，代表蛋盒型结 ax 0 910X1 d a aX, ax aX2 +92aX1 a 0 3X2 920X2 a2 a2 (13) h成+l成+l h品+品+l%品 、02 成+成+ MnaX +MaX 82 +MpaX aX: Ma aX, +MeaX 2 +MsaX,aX: 2 M沉+M元 +MoaX,aX: a2 a2 Nn+元+Nnx 武+Ne成+ a2 式(12)和式(13)中的I,M,N代表与∈和亚相乘的 将式(7)写为式(1)的形式： 项，详细表达式由公式(6)和(3)整理展开后得到，带 人公式(7)和(8)可得到蛋盒型结构应变能的详细表 达式 1.3蛋盒型结构等效刚度特性有限元列式求解 2e(太+k.)ead（a8) 式(8)极其复杂，即使结合周期性边界条件，通过 因此可以得到刚度特性： 解析的方法很难得到∈和亚之间的关系，因此运用最 「A01 =石Km+K (19) 小能量原理和有限单元法得到∈和亚关系的数值解. LO DI 对亚进行离散可得： 其中的5。=-KwKe 亚=Cξ. (14) 蛋盒型结构等效刚度特性的求解过程如图3 式中，C为形函数，专代表离散后各点的亚值.为保证 所示 业连续，选用Hermite插值方法建立9节点Cl型单 1.4方法验证 元，将式(8)，式(14)带入式(7)可得： 选用中面形貌函数为x?=0.005sin(2πx,/0.03) J=2传'Kn5+25Ke+eKe. (15) sin(2mx2/0.03),t=0.0005m,E=71GPa,u=0.33的 铝制蛋盒型结构研究对象.根据图3所示蛋盒型结构 其中： 等效刚度特性的求解过程，首先对其形貌函数进行量 =arokrc)a 纲为一化，根据式(5)可得到其单胞结构应变能的表 e)raxds.. 达式，结合式(6)可将单胞结构的应变能运用渐进变 (16) 分法表述.单胞结构等效刚度特性的计算过程运用了 -ra 有限单元法，将单胞结构离散为400个单元，形函数的 表达形式利用Hermite矩形单元插值函数o],分别计 结合周期性结构的边界条件及最小能量原理[]， 算每个单元的刚度矩阵并得到总刚矩阵表达的应变 对式(15)进行求导可得到： 能，即式(15).该矩阵并不能直接求解，运用最小能量 Kws =-Kv.E. (17) 原理对矩阵进行约束，可以求得矩阵关系的等式，此时

臧 勇等: 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 [准 0 11 2准 0 12 准 0 22 籽 0 11 2籽 0 12 籽 0 22 ] T ;将 R 展开为 缀 和 追 有关的函数,其中 缀代表蛋盒型结构中面的应变,与 式(1)中相同,追 代表单胞结构的位移,计算 缀和 追 之 间的关系,即可得到等效刚度特性. R = 祝缀缀 + 祝追追. (8) 其中: 追 = [鬃1 鬃2 鬃3 ] T . (9) 代表蛋盒型结构任意位置在局部坐标系下的位移. 缀 = [缀x 2缀xy 缀y 资x 2资xy 资y] T . (10) 应变 缀 与公式(1) 中的应变意义相同,代表蛋盒型结 构中面的等效应变,各个值分别为: 缀x = 淄1,1 ,2缀xy = 淄1,2 + 淄2,1 ,缀y = 淄2,2 , 资x = - 淄3,11 ,2资xy = - 淄3,12 ,资y = - 淄3,22 . (11) 祝缀 = 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 0 x3 0 0 0 1 0 0 x3 I1 I2 I3 I4 I5 I6 M1 M2 M3 M4 M5 M6 N1 N2 N3 N4 N5 N é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 6 . (12) 祝追 = 鄣 鄣X1 0 渍1 鄣 鄣X1 鄣 鄣X2 鄣 鄣X1 渍1 鄣 鄣X2 + 渍2 鄣 鄣X1 0 鄣 鄣X2 渍2 鄣 鄣X2 I71 鄣 鄣X1 + I72 鄣 鄣X2 + I73 鄣 2 鄣X 2 1 I81 鄣 鄣X1 + I82 鄣 鄣X2 + I83 鄣 2 鄣X 2 1 I91 鄣 鄣X1 + I92 鄣 鄣X2 + I93 鄣 2 鄣X 2 1 M71 鄣 鄣X1 + M72 鄣 鄣X2 + M73 鄣 2 鄣X1 鄣X2 M81 鄣 鄣X1 + M82 鄣 鄣X2 + M83 鄣 2 鄣X1 鄣X2 M91 鄣 鄣X1 + M92 鄣 鄣X2 + M93 鄣 2 鄣X1 鄣X2 N71 鄣 鄣X1 + N72 鄣 鄣X2 + N73 鄣 2 鄣X 2 2 N81 鄣 鄣X1 + N82 鄣 鄣X2 + N83 鄣 2 鄣X 2 2 N91 鄣 鄣X1 + N92 鄣 鄣X2 + N93 鄣 2 鄣X é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú 2 ú 2 . (13) 式(12)和式(13) 中的 I,M,N 代表与 缀 和 追 相乘的 项,详细表达式由公式(6)和(3)整理展开后得到,带 入公式(7)和(8)可得到蛋盒型结构应变能的详细表 达式. 1郾 3 蛋盒型结构等效刚度特性有限元列式求解 式(8)极其复杂,即使结合周期性边界条件,通过 解析的方法很难得到 缀和 追 之间的关系,因此运用最 小能量原理和有限单元法得到 缀 和 追 关系的数值解. 对 追 进行离散可得: 追 = C孜. (14) 式中,C 为形函数,孜 代表离散后各点的 追 值. 为保证 追 连续,选用 Hermite 插值方法建立 9 节点 C1 型单 元,将式(8),式(14)带入式(7)可得: J = 1 2 (孜 TK追追 孜 + 2孜 TK追着 缀 + 缀 TK着着 缀). (15) 其中: K追追 = 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 ((祝追 C) TK(祝追 C))dX1 dX2 , K追着 = 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 ((祝追 C) TK祝缀)dX1 dX2 , K着着 = 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 (祝 T 缀 K祝缀)dX1 dX2 . (16) 结合周期性结构的边界条件及最小能量原理[19] , 对式(15)进行求导可得到: K追追孜 = - K追着 缀. (17) 将式(7)写为式(1)的形式: J = 1 2 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 缀 T A 0 0 [ ] D æ è ç ö ø 缀÷dX1 dX2 = 1 2 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / 2 (缀 T (孜 T 0K追着 + K着着 )缀)dX1 dX2 . (18) 因此可以得到刚度特性: A 0 0 [ ] D = 孜 T 0K追着 + K着着 . (19) 其中的孜0 = - K - 1 追追K追着 . 蛋盒型结构等效刚度特性的求解过程如图 3 所示. 1郾 4 方法验证 选用中面形貌函数为 x3 = 0郾 005sin (2仔x1 / 0郾 03) sin (2仔x2 / 0郾 03),t = 0郾 0005 m,E = 71 GPa,滋 = 0郾 33 的 铝制蛋盒型结构研究对象. 根据图 3 所示蛋盒型结构 等效刚度特性的求解过程,首先对其形貌函数进行量 纲为一化,根据式(5) 可得到其单胞结构应变能的表 达式,结合式(6) 可将单胞结构的应变能运用渐进变 分法表述. 单胞结构等效刚度特性的计算过程运用了 有限单元法,将单胞结构离散为 400 个单元,形函数的 表达形式利用 Hermite 矩形单元插值函数[20] ,分别计 算每个单元的刚度矩阵并得到总刚矩阵表达的应变 能,即式(15). 该矩阵并不能直接求解,运用最小能量 原理对矩阵进行约束,可以求得矩阵关系的等式,此时 ·1389·

·1390· 工程科学学报，第39卷，第9期 蛋盒结构基本参数 应变能的计算 等效刚度特性有限元求解 周期边 蛋盒 蛋盒 单胞 界条件 型 计算 结构 离散 等 单胞 应变 刚度 结构 能渐 量纲 应变 进变 分法 胞结构离散化 总刚矩阵的计算 求 属性 一化 表述 最小能 量原理 图3 蛋盒型结构等效刚度特性的求解过程 Fig.3 Process used to solve egg-box equivalent stiffness 该等式的解不唯一，即式(17)，结合周期性边界条件 特性的影响规律，也可对计算结果进行拟合以实现蛋 对总刚矩阵进行处理】，即可求得唯一解，即公式 盒型结构参数的优化设计 (19). 2.1不同结构参数情况下的刚度特性 假设蛋盒型结构在x方向和y方向均具有10个 假设基础材料为杨氏模量E=71GPa,泊松比μ= 周期，三维模型建立详细的蛋盒型结构细节有限元模 0.33,厚度为t的铝薄板，改变H和p,得到不同参数时 型，等效模型直接将得到的等效刚度特性赋予壳单元， 的等效刚度特性，并除以对厚度1平板的刚度特性，得 结构四面固定支撑，受到P=0.01MPa的压强，建立1/ 到蛋盒型结构刚度特性量纲为一的变化规律，定义量 4模型并对比等效模型与三维模型对称边上的位移如 纲为一的等效拉伸刚度为A,量纲为一的等效弯曲刚 图4所示. 度为D.常见的蛋盒型结构均由冲压得到，所以H≤P, 假定H/1在0~50范围内变化，p/L在50~150范围内 一三维模型 一等效模型 变化，当H/t=0时即为初始材料平板，选取其中的不 同的结构参数进行计算，得到其等效刚度特性的变化 1/4模型 规律. -2 载荷P=0.0IMPa 图5~7为蛋盒型结构等效拉伸刚度特性与结构 参数之间的关系，蛋盒型结构任意截面均为正弦曲线， 平面内应变的过程需先将曲线拉直，这就使得蛋盒结 构面内拉伸刚度A较普通平板降低，当结构横向受拉 时纵向产生负的应变，因此A:产生负值，并且该值是 与蛋盒结构的结构参数有关的.当H/≤5时，A基本 50 100 150200 250 300 不受p/L变化的影响.当H/1≥5时，A,随H/L的增大 x方向坐标/mm 而降低，并且随p/1的增大而增大；A,均为负值且与 图4等效模型与三维模型同等载荷下位移响应 H/L和p/L呈现非线性的特点：A,随H/L的增大而降低 Fig.4 Displacement of equivalent model and 3D model under same 但基本不受p/1变化的影响. load 图8~10为蛋盒型结构等效弯曲刚度特性与结构 计算过程蛋盒型结构三维模型需要250000个壳 参数之间的关系，蛋盒型结构各个截面均为正弦曲线， 单元，而等效模型仅需要900个壳单元，等效模型计算 蛋盒型结构的相对高度较普通平板有很大的提升，同 效率大大提高，两种模型的位移趋势相同，且计算误差 时结构符合Kirchhoff假设，因此蛋盒型结构的弯曲刚 在0.5%以内.对比三维模型与等效模型的响应可知 度有所提升.蛋盒型结构板的弯曲刚度与H呈现出高 该计算方法适用于蛋盒型结构等效刚度特性的计算. 度非线性的关系，D,随H/L的增大而增大，随p/L的增 同时三维模型最大位移仅为同等厚度基础材料板材模 大而减小；D.与H/1和p/L呈现出非线性的关系；D 型响应的1/2，有效提升了板材的刚度 随H/1的增大而增大，随p/1的增大而增大，相较于 D,和D变化较大 2蛋盒型结构等效刚度特性分析与优化 根据计算得到的蛋盒型结构在不同参数情况下的 蛋盒型结构板参数主要包括H,P和1，计算不同 等效刚度特性比值，以结构参数为自变量进行拟合，假 结构参数时的等效刚度特性可得到结构参数等效刚度 设x,=pL,xn=H/h.刚度特性的比值A和D的拟合公

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 图 3 蛋盒型结构等效刚度特性的求解过程 Fig. 3 Process used to solve egg鄄box equivalent stiffness 该等式的解不唯一,即式(17),结合周期性边界条件 对总刚矩阵进行处理[21] ,即可求得唯一解,即公式 (19). 假设蛋盒型结构在 x 方向和 y 方向均具有 10 个 周期,三维模型建立详细的蛋盒型结构细节有限元模 型,等效模型直接将得到的等效刚度特性赋予壳单元, 结构四面固定支撑,受到 P = 0郾 01 MPa 的压强,建立1 / 4 模型并对比等效模型与三维模型对称边上的位移如 图 4 所示. 图 4 等效模型与三维模型同等载荷下位移响应 Fig. 4 Displacement of equivalent model and 3D model under same load 计算过程蛋盒型结构三维模型需要 250000 个壳 单元,而等效模型仅需要 900 个壳单元,等效模型计算 效率大大提高,两种模型的位移趋势相同,且计算误差 在 0郾 5% 以内. 对比三维模型与等效模型的响应可知 该计算方法适用于蛋盒型结构等效刚度特性的计算. 同时三维模型最大位移仅为同等厚度基础材料板材模 型响应的 1 / 2,有效提升了板材的刚度. 2 蛋盒型结构等效刚度特性分析与优化 蛋盒型结构板参数主要包括 H,p 和 t,计算不同 结构参数时的等效刚度特性可得到结构参数等效刚度 特性的影响规律,也可对计算结果进行拟合以实现蛋 盒型结构参数的优化设计. 2郾 1 不同结构参数情况下的刚度特性 假设基础材料为杨氏模量 E = 71 GPa,泊松比 滋 = 0郾 33,厚度为 t 的铝薄板,改变 H 和 p,得到不同参数时 的等效刚度特性,并除以对厚度 t 平板的刚度特性,得 到蛋盒型结构刚度特性量纲为一的变化规律,定义量 纲为一的等效拉伸刚度为 A,量纲为一的等效弯曲刚 度为 D. 常见的蛋盒型结构均由冲压得到,所以 H臆p, 假定 H/ t 在 0 ~ 50 范围内变化,p / t 在 50 ~ 150 范围内 变化,当 H/ t = 0 时即为初始材料平板,选取其中的不 同的结构参数进行计算,得到其等效刚度特性的变化 规律. 图 5 ~ 7 为蛋盒型结构等效拉伸刚度特性与结构 参数之间的关系,蛋盒型结构任意截面均为正弦曲线, 平面内应变的过程需先将曲线拉直,这就使得蛋盒结 构面内拉伸刚度 A 较普通平板降低,当结构横向受拉 时纵向产生负的应变,因此A13产生负值,并且该值是 与蛋盒结构的结构参数有关的. 当 H/ t臆5 时,A 基本 不受 p / t 变化的影响. 当 H/ t逸5 时,A11随 H/ t 的增大 而降低,并且随 p / t 的增大而增大;A13 均为负值且与 H/ t 和 p / t 呈现非线性的特点;A22随 H/ t 的增大而降低 但基本不受 p / t 变化的影响. 图 8 ~ 10 为蛋盒型结构等效弯曲刚度特性与结构 参数之间的关系,蛋盒型结构各个截面均为正弦曲线, 蛋盒型结构的相对高度较普通平板有很大的提升,同 时结构符合 Kirchhoff 假设,因此蛋盒型结构的弯曲刚 度有所提升. 蛋盒型结构板的弯曲刚度与 H 呈现出高 度非线性的关系,D11随 H/ t 的增大而增大,随 p / t 的增 大而减小;D13与 H/ t 和 p / t 呈现出非线性的关系;D22 随 H/ t 的增大而增大,随 p / t 的增大而增大,相较于 D11和 D13变化较大. 根据计算得到的蛋盒型结构在不同参数情况下的 等效刚度特性比值,以结构参数为自变量进行拟合,假 设 xp = p / t,xH = H/ t. 刚度特性的比值 A 和 D 的拟合公 ·1390·

臧勇等：基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 ·1391· (a) 1.0 -t=50 1.0r 09 *-p1=70 0.8 +-/t=90 0.8 -pt=110 10.6 0.7 +-p=130 +pl=150 1 0.4 0.6 0.5 040w 150 0.4 30 h 20 10 0.3 10 050 M 020 10 20 30 40 50 Htt 图5。不同结构参数时等效刚度特性A,比值.(a)三维图(b)二维图 Fig.5 Ratio of equivalent stiffness Au with different structural parameters:(a)3D;(b)2D ⑧ 1.0b) --p/t=50 1.0 0.8 ◆-plt=70 p/t=90 0.6 -plt=110 05 0.4 *plt=130 +plr=150 10.2 0 -0.2 4030 150 20 100 -0.4 10 050 p -0.6 0 0 20 30 50 H 图6不同结构参数时等效刚度特性A3比值.(a)三维图：(b)二维图 Fig.6 Ratio of equivalent stiffness An with different structural parameters:(a)3D;(b)2D 1.0b) (a) -pW1-50 +pM=70 1.0r 0.8+ -+p/t=90 0.8 -pt=110 +plt=130 0.6 0.6 p=150 0.4 0.4 0.2 00 0.2 30 150 Hhe 20 10 100 050 ple 10 20 30 40 50 H班 图7不同结构参数时等效刚度特性A2比值.(a)三维图；(b)二维图 Fig.7 Ratio of cquivalent stiffness Az with different structural parameters:(a)3D;(b)2D 式均可表达为c/b的形式，拟合公式及其确定系数R2 -0.37.相较于其他负泊松比材料，如多孔固体材料 如表1所示.普通薄板的刚度特性值可由材料自身属 蜂窝材料等，蛋盒型结构加工过程更为简单，且自身刚 性及厚度！计算得到2]，结合拟合公式可得到蛋盒型 度较高，蛋盒型结构负泊松比有限，与材料结构参数 结构的等效刚度特性. 有关 图11所示为蛋盒型结构泊松比随结构参数的变 2.2蛋盒型结构等效刚度特性最优设计方案 化规律，泊松比由A/A,得到，其值与结构参数有关 上述数值计算方法可以迅速得到确定结构参数的 当H/1大于5时，蛋盒型结构显现出负泊松比的特性， 等效刚度，通过改变结构参数可得到等效刚度特性的 且大多数情况下泊松比的值小于-0.25，最小可达到 面，但所得曲面均只为离散点的刚度特性值，并不能得

臧 勇等: 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 图 5 不同结构参数时等效刚度特性 A11比值. (a)三维图(b)二维图 Fig. 5 Ratio of equivalent stiffness A11 with different structural parameters: (a) 3D; (b) 2D 图 6 不同结构参数时等效刚度特性 A13比值. (a)三维图;(b)二维图 Fig. 6 Ratio of equivalent stiffness A13 with different structural parameters: (a) 3D; (b) 2D 图 7 不同结构参数时等效刚度特性 A22比值. (a)三维图;(b)二维图 Fig. 7 Ratio of equivalent stiffness A22 with different structural parameters: (a) 3D; (b) 2D 式均可表达为 c/ b 的形式,拟合公式及其确定系数 R 2 如表 1 所示. 普通薄板的刚度特性值可由材料自身属 性及厚度 t 计算得到[22] ,结合拟合公式可得到蛋盒型 结构的等效刚度特性. 图 11 所示为蛋盒型结构泊松比随结构参数的变 化规律,泊松比由 A13 / A11得到,其值与结构参数有关. 当 H/ t 大于 5 时,蛋盒型结构显现出负泊松比的特性, 且大多数情况下泊松比的值小于 - 0郾 25,最小可达到 - 0郾 37. 相较于其他负泊松比材料,如多孔固体材料 蜂窝材料等,蛋盒型结构加工过程更为简单,且自身刚 度较高,蛋盒型结构负泊松比有限,与材料结构参数 有关. 2郾 2 蛋盒型结构等效刚度特性最优设计方案 上述数值计算方法可以迅速得到确定结构参数的 等效刚度,通过改变结构参数可得到等效刚度特性的 面,但所得曲面均只为离散点的刚度特性值,并不能得 ·1391·

.1392· 工程科学学报，第39卷，第9期 (a) 3.0 3.0 2.5 2.5 12.0 1s2.0 --p/t=50 1.5 p/t=70 -pl=90 1.5 1003000 pi=110 150 ◆-plt=130 h 100 1.0 -+-p/t=150 050 plt 0 10 20 30 40 50 H 图8 不同结构参数时等效刚度特性D:比值.(a)三维图：(b)二维图 Fig.8 Ratio of equivalent stiffness Du with different structural parameters:(a)3D;(b)2D 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 --p/t=50 2.5 -p/t=70 +-plt=90 2.0 -pt=110 00 30 150 1.5 -◆-pt=130 Hh 20 pt=150 10 100 1.0 050 0 10 20 30 40 50 Hit 图9 不同结构参数时等效刚度特性D:比值.(a)三维图：(b)二维图 Fig.9 Ratio of equivalent stiffness D with different structural parameters:(a)3D:(b)2D 1000 b) --p/t=50 (a 800- +pl=70 1000 -+p/t=90 800 -pl=110 600 +-pii=130 09 600 +pit=150 400 400 200 40 150 200 h 20 100 050 M 0 0 10 20 30 40 50 图10不同结构参数时等效刚度特性D2比值.(a)三维图：(b)二维图 Fig.10 Ratio of equivalent stiffness Dz with different structural parameters:(a)3D;(b)2D 到等效刚度特性与结构参数之间的解析式，因此无法 材料的基本属性和优化目标时，结合蛋盒型结构的尺 实现蛋盒型结构的优化设计. 寸限制，载荷条件等限制条件，可构建优化函数，从而 实现蛋盒型结构参数的优化设计，首先需要根据 实现蛋盒型结构参数的优化设计.任意材料蛋盒型结 已有的材料属性计算不同结构参数离散点的等效刚度 构优化设计流程如图12所示. 特性：然后根据离散点刚度特性的值进行拟合：最后结 本文中利用1stOp软件中麦考特法实现公式的最 合拟合公式、限制条件和优化目标可实现蛋盒型结构 优化拟合，利用MATLAB的优化工具箱实现蛋盒型结 的优化设计.在实际应用时，当给定蛋盒型结构使用 构的优化设计

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 图 8 不同结构参数时等效刚度特性 D11比值. (a)三维图;(b)二维图 Fig. 8 Ratio of equivalent stiffness D11 with different structural parameters: (a) 3D; (b) 2D 图 9 不同结构参数时等效刚度特性 D13比值. (a)三维图;(b)二维图 Fig. 9 Ratio of equivalent stiffness D13 with different structural parameters: (a) 3D; (b) 2D 图 10 不同结构参数时等效刚度特性 D22比值. (a)三维图;(b)二维图 Fig. 10 Ratio of equivalent stiffness D22 with different structural parameters: (a) 3D; (b) 2D 到等效刚度特性与结构参数之间的解析式,因此无法 实现蛋盒型结构的优化设计. 实现蛋盒型结构参数的优化设计,首先需要根据 已有的材料属性计算不同结构参数离散点的等效刚度 特性;然后根据离散点刚度特性的值进行拟合;最后结 合拟合公式、限制条件和优化目标可实现蛋盒型结构 的优化设计. 在实际应用时,当给定蛋盒型结构使用 材料的基本属性和优化目标时,结合蛋盒型结构的尺 寸限制,载荷条件等限制条件,可构建优化函数,从而 实现蛋盒型结构参数的优化设计. 任意材料蛋盒型结 构优化设计流程如图 12 所示. 本文中利用 1stOpt 软件中麦考特法实现公式的最 优化拟合,利用 MATLAB 的优化工具箱实现蛋盒型结 构的优化设计. ·1392·

臧勇等：基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 ·1393· 表1蛋盒型结构等效刚度特性比值拟合公式及确定系数 Table 1 Fitting formula and determination coefficient of egg-box equivalent stiffness 量纲为一的 等效刚度 6 R2 0.274+6.983-lnx。+1.146xH- Au 1×10-10+7.073-lnxp+7.368xH- 0.991 0.0330lnx+0.231 xu'In x。 1.135-lnx2-0.0708x7-0.0401xlnx B -6.476+0.7754x。-7.976xg- 1×10-12+0.6238x。-23.73xg+ 0.997 1.191×10-3x子+0.1981x7-0.5187x。xH 0.00186x+1.767x7+0.5907x,xH 0.999 247× 1.992 D 5.631+10.21-lnx。+12.09xm- 1×10-1+13.04lnx。+3.1273xH- 0.993 1.732-lnx2-0.135x7-4.642y-lhxp 2.038lnx子-0.0579x7+1.763 xn'In xp Dy 10.17-0.0826x。-15.79xH+ 1×10-2+0.1713x。-3.577xH+ 0.992 0.00212x2+0.241x7+0.494x。xH 0.00108.x2+0.0991x7+0.0899xpxH Dn -864.1+579.6-nx,-129.1-nx2+ 1-0.356-nx。+0.0354-nx2- 0.996 9.535-lnx2+0.84x-0.0107x7 0.00317xg+2.698x7 0.4 a 03 -p/=50 0.4r ·pi=70 A p/t=90 0.2 p=110 0.1 ◆p=130 0 +p=150 0.2 -0.1 00030 0.2 150 2010 100 -0.3 050 -0.4 0 10 20 30 40 50 图11不同结构参数时的泊松比.(a)三维图：(b)二维图 Fig.11 Poisson's ratio with different structural parameters:(a)3D;(b)2D 2.3蛋盒型结构最优化设计算例分析 优化设计也选用量纲为一的形式，假设蛋盒型结构材 蛋盒型结构为一种较为特殊的轻质结构，在实际 料的厚度为1个单位.假设蛋盒型结构材料为铝，杨 应用过程中需满足不同的要求，因此有必要实现其结 氏模量E=71GPa,泊松比为0.33，本节选用两种情况 构的优化设计.上述分析均为量纲为一的分析，因此 的最优化设计为例进行分析. 给定材料属性： 基于渐进变分法计 等效刚度特性与 杨氏模量，泊松比 算尺寸范围内离散 结构参数关系 初始材料厚度 点的等效刚度特性 拟合及确定系数 蛋盒型结构等效刚 度特性最优化设计 尺寸限制 蛋念型结构的限制 质量限制 蛋盒型结构优化 目标函数 刚度限制 图12蛋盒型结构参数优化设计流程图 Fig.12 Optimization process of egg-box structure parameters

臧 勇等: 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 表 1 蛋盒型结构等效刚度特性比值拟合公式及确定系数 Table 1 Fitting formula and determination coefficient of egg鄄box equivalent stiffness 量纲为一的 等效刚度 c b R 2 A11 0郾 274 + 6郾 983·ln xp + 1郾 146xH - 0郾 0330·ln x 2 p + 0郾 231xH·ln xp 1 伊 10 - 10 + 7郾 073·ln xp + 7郾 368xH - 1郾 135·ln x 2 p - 0郾 0708x 2 H - 0郾 0401xH·ln xp 0郾 991 A13 - 6郾 476 + 0郾 7754xp - 7郾 976xH - 1郾 191 伊 10 - 3 x 2 p + 0郾 1981x 2 H - 0郾 5187xp·xH 1 伊 10 - 12 + 0郾 6238xp - 23郾 73xH + 0郾 00186x 2 p + 1郾 767x 2 H + 0郾 5907xp·xH 0郾 997 A22 4郾 786 伊10 -5 伊 ( 1 + ( xp -4郾 878 ) 2郾 249 ) ( 2 1 + ( xH -7郾 696 伊10 4 ) 1郾 992 ) 2 + 2郾 427 伊 ( 1 + ( xH -7郾 696 伊10 4 ) 1郾 992 ) 2 + ( 1 + ( xp -4郾 878 ) 2郾 249 ) ( 2 1 + ( xp - 4郾 878 ) 2郾 249 ) 2 ( · 1 + ( xH - 7郾 696 伊 10 4 ) 1郾 992 ) 2 0郾 999 D11 5郾 631 + 10郾 21·ln xp + 12郾 09xH - 1郾 732·ln x 2 p - 0郾 135x 2 H - 4郾 642y·ln xp 1 伊 10 - 11 + 13郾 04·ln xp + 3郾 1273xH - 2郾 038·ln x 2 p - 0郾 0579x 2 H + 1郾 763xH·ln xp 0郾 993 D13 10郾 17 - 0郾 0826xp - 15郾 79xH + 0郾 00212x 2 p + 0郾 241x 2 H + 0郾 494xp·xH 1 伊 10 - 12 + 0郾 1713xp - 3郾 577xH + 0郾 00108x 2 p + 0郾 0991x 2 H + 0郾 0899xp·xH 0郾 992 D22 - 864郾 1 + 579郾 6·ln xp - 129郾 1·ln x 2 p + 9郾 535·ln x 3 p + 0郾 84xH - 0郾 0107x 2 H 1 - 0郾 356·ln xp + 0郾 0354·ln x 2 p - 0郾 00317xH + 2郾 698x 2 H 0郾 996 图 11 不同结构参数时的泊松比. (a)三维图;(b)二维图 Fig. 11 Poisson爷s ratio with different structural parameters: (a) 3D; (b) 2D 图 12 蛋盒型结构参数优化设计流程图 Fig. 12 Optimization process of egg鄄box structure parameters 2郾 3 蛋盒型结构最优化设计算例分析 蛋盒型结构为一种较为特殊的轻质结构,在实际 应用过程中需满足不同的要求,因此有必要实现其结 构的优化设计. 上述分析均为量纲为一的分析,因此 优化设计也选用量纲为一的形式,假设蛋盒型结构材 料的厚度为 1 个单位. 假设蛋盒型结构材料为铝,杨 氏模量 E = 71 GPa,泊松比为 0郾 33,本节选用两种情况 的最优化设计为例进行分析. ·1393·

.1394· 工程科学学报，第39卷，第9期 2.3.1最大化极限屈曲载荷的优化设计 150m 优化 屈曲是板材使用过程中的主要失效形式之一，本 等值线单位Nkg 节以长为1500个单位，宽为1000个单位的蛋盒型结 可行域 构的优化设计为例，假设结构的四边简支，两长边约束 面内位移，两短边均匀受压，以蛋盒型结构单位质量下 5000 110 的屈曲载荷最大为优化目标，结构的泊松比小于-0.3 为限制条件进行优化设计. 5 正交各向异性矩形板的屈曲载荷F为： 90 初始值 15000 F(m.n)= I000 u +2(D+2D)(rm)+(m)D 10000 70 (am)2+(an)24 0% -5000= 5000 10 20 30 40 50 (20) 式中：m,n分别为板在x,y方向的屈曲半波数，均为正 图13屈曲载荷的优化设计 整数；长为a,宽为b,r=a/b,刚度值均由拟合公式得 Fig.13 Optimization process of maximum buckling load 到，则所有(m,n)组合中的最小值为板的极限屈曲 式中：w=arctan 载荷. 2),Y为材料的屈服强度，“为准 D 蛋盒型结构板的质量可表达为下式， 静态压缩时的压下量.单胞的质量M2=p2,优化过 M,=pHab =PotAab 程中设定Y=100MPa,则优化公式为 (21) indx。,xa 式中：P。为材料密度P为蛋盒型结构的等效密度，p= max W/M2 :4为蛋盒型结构单胞的面积，A=∫」 PotA s.L.0≤xm≤50. (24) -1/23-l2 50≤x,≤150 ++( dX,dX,.则优化公式为 A,≥0.4 选用SQP最优化算法对优化函数进行求解，假定 (find x,x 初始值为x,=110,xm=30,目标函数等值线，约束函数 max F/M 可行域及迭代过程如图14所示，求解可得x。=50,xm= s.t.0≤xm≤50 (22) 17.535,进行取整得x,=50,xm=17,即当1=0.001m, 50≤x,≤150 p=0.05m,H=0.017m时蛋盒型结构满足刚度要求 A3/A1≤-0.3 时，单位质量吸能最大，优化后单位质量吸能能力达到 选用Sequence Qualification Programme(SQP)最优 131.182kJkg1,相较于优化前性能提升了63%. 化算法对优化函数进行求解，假定初始值为x,=80,xm 由上述两个例子可知，在实际应用过程中利用拟 =20,目标函数的等值线、约束函数可行域及迭代过程 150 等值线单位k小kg 如图13所示，求得最优解为x。=150,x=50.0,进即 当1=0.001m,p=0.15m,H=0.05m时结构可满足负 130 可行域 泊松比的要求，同时屈曲载荷最大，可达到28453N· 初始点 kg,较优化前提升了460%. 8 110 2.3.2最大化单位质量吸能能力的优化设计 100 吸能能力是蛋盒型结构的主要特性之一，本节以 80 蛋盒型结构单位质量吸能最大为优化目标，拉伸刚度 90 罗 120 A,不小于普通平板的0.4倍为限制条件进行优化 设计 蛋盒型结构的准静态压缩过程的单胞吸能公 混代省以 -120 140 2 -140 -160 式为2) 5 160— 180 0 10 20 30 30 50 4motan wYt? 12 du. 图14单位质量吸能能力的优化设计 (23) Fig.14 Optimization process of unit mass energy absorption

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 2郾 3郾 1 最大化极限屈曲载荷的优化设计 屈曲是板材使用过程中的主要失效形式之一,本 节以长为 1500 个单位,宽为 1000 个单位的蛋盒型结 构的优化设计为例,假设结构的四边简支,两长边约束 面内位移,两短边均匀受压,以蛋盒型结构单位质量下 的屈曲载荷最大为优化目标,结构的泊松比小于 - 0郾 3 为限制条件进行优化设计. 正交各向异性矩形板的屈曲载荷 F 为: F(m,n) = 仔 2 m 4D11 + 2(D13 + 2D22 )(rmn) 2 + (rn) 4D33 (am) 2 + (ran) 2 A13 A11 . (20) 式中:m,n 分别为板在 x,y 方向的屈曲半波数,均为正 整数; 长为 a,宽为 b,r = a / b,刚度值均由拟合公式得 到,则所有( m,n) 组合中的最小值为板的极限屈曲 载荷. 蛋盒型结构板的质量可表达为下式, M1 = 籽Hab = 籽0 tAab p 2 . (21) 式中:籽0 为材料密度;籽 为蛋盒型结构的等效密度,籽 = 籽0 tA Hp 2 ;A 为 蛋 盒 型 结 构 单 胞 的 面 积, A = 乙 1 / 2 -1 / 2 乙 1 / 2 -1 / ( 2 1 + ( 鄣z 鄣 ) x 2 + ( 鄣z 鄣 ) y ) 2 dX1 dX2 . 则优化公式为 find xp,xH max F/ M1 s. t. 0臆xH臆50 50臆xp臆150 A13 / A11臆 ì î í ï ï ï ï ï ï - 0郾 3 . (22) 选用 Sequence Qualification Programme (SQP)最优 化算法对优化函数进行求解,假定初始值为 xp = 80,xH = 20,目标函数的等值线、约束函数可行域及迭代过程 如图 13 所示,求得最优解为 xp = 150,xH = 50郾 0,进即 当 t = 0郾 001 m,p = 0郾 15 m,H = 0郾 05 m 时结构可满足负 泊松比的要求,同时屈曲载荷最大,可达到 28453 N· kg - 1 ,较优化前提升了 460% . 2郾 3郾 2 最大化单位质量吸能能力的优化设计 吸能能力是蛋盒型结构的主要特性之一,本节以 蛋盒型结构单位质量吸能最大为优化目标,拉伸刚度 A11 不小于普通平板的 0郾 4 倍为限制条件进行优化 设计. 蛋盒型结构的准静态压缩过程的单胞吸能公 式为[2] W = 乙 2 3 H 0 4仔棕tan 棕Yt 2 (2棕 - sin (2棕)) 1 / 2 ( u t cot 棕cos 棕 ) 1 / 2 du. (23) 图 13 屈曲载荷的优化设计 Fig. 13 Optimization process of maximum buckling load 式中:棕 = arctan ( 2H ) p ,Y 为材料的屈服强度,u 为准 静态压缩时的压下量. 单胞的质量 M2 = 籽Hp 2 ,优化过 程中设定 Y = 100 MPa,则优化公式为 find xp,xH max W/ M2 s. t. 0臆xH臆50 50臆xp臆150 A11逸 ì î í ï ï ï ï ï ï 0郾 4 . (24) 图 14 单位质量吸能能力的优化设计 Fig. 14 Optimization process of unit mass energy absorption 选用 SQP 最优化算法对优化函数进行求解,假定 初始值为 xp = 110,xH = 30,目标函数等值线,约束函数 可行域及迭代过程如图 14 所示,求解可得 xp = 50,xH = 17郾 535,进行取整得 xp = 50,xH = 17,即当 t = 0郾 001 m, p = 0郾 05 m,H = 0郾 017 m 时蛋盒型结构满足刚度要求 时,单位质量吸能最大,优化后单位质量吸能能力达到 131郾 182 kJ·kg - 1 ,相较于优化前性能提升了 63% . 由上述两个例子可知,在实际应用过程中利用拟 ·1394·

臧勇等：基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 ·1395· 合公式，通过修改目标函数及限制条件可以快速实现 orthines,2010.15(1):59 蛋盒型结构参数的优化设计. [9]Nowpada S,Chirwa E C.Myler P,et al.Aluminum "egg-box" panel as an energy absorber for pedestrian protection.Adu Eng 3结论 Mater,2010,12(7):591 [10]Sashikumar S,Chirwa EC.Myler P,et al.Numerical investiga- (1)实现了蛋盒型结构等效刚度特性的数值计 tion into the collapse behaviour of an aluminium egg-box under 算方法，并对计算结果进行了验证，计算结果表明拉 quasi-static loading.Int Crashuorthines,2012,17(6):582 伸刚度降低，弯曲刚度升高，同时表现出了负泊松比 [11]Javid F,Smith-Roberge E,Innes M C,et al.Dimpled elastic 的特性，蛋盒型结构比普通薄板呈现出了更高的承 sheets:a new class of non-porous negative Poisson's ratio materi- 载能力. als.Sci Rep-UK,2015,5:18373 (2)计算不同厚度H和间距p的蛋盒型结构的等 [12]Xia YY,Friswell M I.Equivalent models of corrugated lami- 效刚度特性，得到结构参数变化对等效刚度特性的影 nates for morphing skins//Proceedings of the Active and Passive Smart Structures and Integrated Systems V.San Diego,2011: 响规律：随后对等效刚度特性进行拟合，拟合公式可以 79771-1 很好地预测蛋盒型结构参数与等效刚度特性的关系. [13]Xia Y,Friswell M I,Flores E I S.Equivalent models of corruga- (3)根据拟合公式，可在不同的约束条件和优化 ted panels.Int Solids Struct,2012,49(13):1453 目标的情况下快速实现蛋盒型结构的主动优化设计. [14]Briassoulis D.Equivalent orthotropic properties of corrugated 未来结合成型过程厚度的变化及蛋盒型结构的吸能能 sheets.Comput Struct,1986,23(2):129 力、稳定性等特性进行分析，可以使其在汽车、航空航 [15]Peng L X,Liew K M,Kitipornchai S.Analysis of stiffened cor- rugated plates based on the FSDT via the mesh-free method.IntJ 天、船舶重工、建筑等领域具有更广泛的应用前景. Mech Sci,2007,49(3):364 [16] Ye Z,Berdichevsky VL,Yu W B.An equivalent classical plate 参考文献 model of corrugated structures.Int J Solids Struct,2014,51(11- [1]Ashmead M.Energy-Absorbing Structures:US Patent,6547280. 12):2073 2003-4-15 [17]Berdichevsky V.Variational Principles of Continuum Mechanies: [2]Deshpande V S,Fleck N A.Energy absorption of an egg-box ma- Il.Applications.Berlin:Springer Science Business Media, terial.J Mech Phys Solids,2003,51(1):187 2009 [3]Zupan M,Chen C.Fleck N A.The plastic collapse and energy [18]Ye Z.Enhance Variational Asymptotic Method for Unit Cell Hom- absorption capacity of egg-box panels.Int J Mech Sci.2003,45 ogenization VAMUCH)for Real Engineering Structures and Ma- (5):851 terials Dissertation].Logan Utah:Utah State University,2013 [4]Akisanya A R,Fleck N A.Plastic collapse of thin-walled frusta [19]Yu W B,Tang T.Variational asymptotic method for unit cell and egg-box material under shear and normal loading.Int Mech homogenization of periodically heterogeneous materials.IntSol- Sci,2006,48(7):799 ids Struct,2007,44(11-12):3738 [5]Chung J G,Chang S H,Sutcliffe M P F.Deformation and energy [20]Wang X C.Finite Element Method.Beijing:Tsinghua University absorption of composite egg-box panels.Compos Sci Technol, Press,2003 2007,67(11-12):2342 (王勖成.有限单元法.北京：清华大学出版社，2003) [6]Yoo S H,Chang S H.An experimental study on energy absorbing [21]Huang A X.A method for treating periodical boundary condi- structures made of fabric composites.Compos Struct,2008,86(1- tions.J Num Method Comp Appl,1983,4(1):37 3):211 (黄艾香.周期性边界条件的一种处理方法.数值计算与计 [7]Yoo S H,Chang S H,Sutcliffe M P F.Compressive characteris- 算机应用，1983,4(1)：37) tics of foam-filled composite egg-box sandwich panels as energy ab- [22]Shen G L.Hu G K.Mechanies of Composite Materials.Beijing: sorbing structures.Composites Part A,2010,41(3):427 Tsinghua University Press,2006 [8]Nowpada S,Chirwa E C,Myler P,et al."Egg-box"panel for (沈观林，胡更开.复合材料力学.北京：清华大学出版社， commercial vehicle front-compressive loading tests.Int Crash- 2006)

臧 勇等: 基于渐进变分法的蛋盒型结构等效刚度分析及优化 合公式,通过修改目标函数及限制条件可以快速实现 蛋盒型结构参数的优化设计. 3 结论 (1) 实现了蛋盒型结构等效刚度特性的数值计 算方法,并对计算结果进行了验证,计算结果表明拉 伸刚度降低,弯曲刚度升高,同时表现出了负泊松比 的特性,蛋盒型结构比普通薄板呈现出了更高的承 载能力. (2) 计算不同厚度 H 和间距 p 的蛋盒型结构的等 效刚度特性,得到结构参数变化对等效刚度特性的影 响规律;随后对等效刚度特性进行拟合,拟合公式可以 很好地预测蛋盒型结构参数与等效刚度特性的关系. (3) 根据拟合公式,可在不同的约束条件和优化 目标的情况下快速实现蛋盒型结构的主动优化设计. 未来结合成型过程厚度的变化及蛋盒型结构的吸能能 力、稳定性等特性进行分析,可以使其在汽车、航空航 天、船舶重工、建筑等领域具有更广泛的应用前景. 参 考 文 献 [1] Ashmead M. Energy鄄Absorbing Structures: US Patent, 6547280. 2003鄄鄄4鄄鄄15 [2] Deshpande V S, Fleck N A. Energy absorption of an egg鄄box ma鄄 terial. J Mech Phys Solids, 2003, 51(1): 187 [3] Zupan M, Chen C, Fleck N A. The plastic collapse and energy absorption capacity of egg鄄box panels. Int J Mech Sci, 2003, 45 (5): 851 [4] Akisanya A R, Fleck N A. Plastic collapse of thin鄄walled frusta and egg鄄box material under shear and normal loading. Int J Mech Sci, 2006, 48(7): 799 [5] Chung J G, Chang S H, Sutcliffe M P F. Deformation and energy absorption of composite egg鄄box panels. Compos Sci Technol, 2007, 67(11鄄12): 2342 [6] Yoo S H, Chang S H. An experimental study on energy absorbing structures made of fabric composites. Compos Struct, 2008, 86(1鄄 3): 211 [7] Yoo S H, Chang S H, Sutcliffe M P F. Compressive characteris鄄 tics of foam鄄filled composite egg鄄box sandwich panels as energy ab鄄 sorbing structures. Composites Part A, 2010, 41(3): 427 [8] Nowpada S, Chirwa E C, Myler P, et al. “Egg鄄box冶 panel for commercial vehicle front鄄compressive loading tests. Int J Crash鄄 worthines, 2010, 15(1): 59 [9] Nowpada S, Chirwa E C, Myler P, et al. Aluminum “ egg鄄鄄 box冶 panel as an energy absorber for pedestrian protection. Adv Eng Mater, 2010, 12(7): 591 [10] Sashikumar S, Chirwa E C, Myler P, et al. Numerical investiga鄄 tion into the collapse behaviour of an aluminium egg鄄box under quasi鄄static loading. Int J Crashworthines, 2012, 17(6): 582 [11] Javid F, Smith鄄Roberge E, Innes M C, et al. Dimpled elastic sheets: a new class of non鄄porous negative Poisson蒺s ratio materi鄄 als. Sci Rep鄄UK, 2015, 5: 18373 [12] Xia Y Y, Friswell M I. Equivalent models of corrugated lami鄄 nates for morphing skins / / Proceedings of the Active and Passive Smart Structures and Integrated Systems V. San Diego, 2011: 79771I鄄1 [13] Xia Y, Friswell M I, Flores E I S. Equivalent models of corruga鄄 ted panels. Int J Solids Struct, 2012, 49(13): 1453 [14] Briassoulis D. Equivalent orthotropic properties of corrugated sheets. Comput Struct, 1986, 23(2): 129 [15] Peng L X, Liew K M, Kitipornchai S. Analysis of stiffened cor鄄 rugated plates based on the FSDT via the mesh鄄free method. Int J Mech Sci, 2007, 49(3): 364 [16] Ye Z, Berdichevsky V L, Yu W B. An equivalent classical plate model of corrugated structures. Int J Solids Struct, 2014, 51(11鄄 12): 2073 [17] Berdichevsky V. Variational Principles of Continuum Mechanics: II. Applications. Berlin: Springer Science & Business Media, 2009 [18] Ye Z. Enhance Variational Asymptotic Method for Unit Cell Hom鄄 ogenization (VAMUCH) for Real Engineering Structures and Ma鄄 terials [Dissertation]. Logan Utah: Utah State University, 2013 [19] Yu W B, Tang T. Variational asymptotic method for unit cell homogenization of periodically heterogeneous materials. Int J Sol鄄 ids Struct, 2007, 44(11鄄12): 3738 [20] Wang X C. Finite Element Method. Beijing: Tsinghua University Press, 2003 (王勖成. 有限单元法. 北京: 清华大学出版社, 2003) [21] Huang A X. A method for treating periodical boundary condi鄄 tions. J Num Method Comp Appl, 1983, 4(1): 37 (黄艾香. 周期性边界条件的一种处理方法. 数值计算与计 算机应用, 1983, 4(1): 37) [22] Shen G L, Hu G K. Mechanics of Composite Materials. Beijing: Tsinghua University Press, 2006 (沈观林, 胡更开. 复合材料力学. 北京: 清华大学出版社, 2006) ·1395·