工程科学学报，第39卷，第4期：611618,2017年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.4:611-618,April 2017 D0:10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.017:htp:/journals..ustb.edu.cm 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输 机械臂参数辨识 赵抢抢，侯保林四 南京理工大学机械工程学院，南京210094 ☒通信作者，E-mail:houbl(@njust.cdu.cn 摘要为实现弹药传输机械臂中不可测参数的辨识，建立了机械臂的虚拟样机，并将其作为样本数据的来源：考虑到样本 数据的连续性和平滑特性，使用函数型数据分析和函数型主成分分析对样本数据进行了特征提取，并利用提取的特征参数和 待辨识参数作为训练样本对极限学习机(ELM)进行了训练.为提高极限学习机的辨识精度和泛化能力，利用粒子群算法对 极限学习机的输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行了优化.最后，分别利用仿真数据与测试数据对此方法 进行了验证，仿真数据的辨识结果表明，优化后的极限学习机具有更高的辨识精度和泛化能力：同时，通过对比将测试数据的 辨识结果代入模型中进行仿真得到的支臂角速度与测试角速度，验证了此方法的可行性和有效性. 关键词参数辨识：函数型数据分析：极限学习机：粒子群优化：弹药传输机械臂 分类号TP241:TH113 Parameter identification of a shell transfer arm using FDA and optimized ELM ZHAO Qiang-qiang,HOU Bao-in School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China Corresponding author,E-mail:houbl@njust.edu.cn ABSTRACT To identify the unmeasurable parameters of a shell transfer arm,a virtual prototype of the shell transfer arm was built, and the built virtual prototype is regard as the source of the sample data.Considering the continuity and smoothness properties of the sample data,features of the curves were extracted by functional data analysis and functional principal component analysis,and the fea- tures and unknown parameters were used to train the extreme leaming machine (ELM).At the meantime,the weight connecting the input layer and hidden layer and the threshold of the hidden nodes were optimized by particle swarm optimization (PSO)to improve the identification accuracy and generalization performance of ELM.At last,the presented method was verified by simulation data and test data.The identification results of the simulation data show that the optimized ELM has higher identification accuracy and better generalization performance.Also,the presented method is proved to be feasible and effective by comparing the real angular velocity and the angular velocity from the virtual prototype with respect to the test data identification results. KEY WORDS parameter identification:functional data analysis;extreme learning machine;particle swarm optimization:shell transfer arm 弹药传输机械臂是大口径火炮自动装填系统的一 膛后返回原位”.因系统复杂且工作环境恶劣，弹药 个重要部件，主要用于接收弹仓内被推弹器推送出来 传输机械臂始终存在定位精度超差的情况，严重降低 的弹丸，再将该弹丸传送至输弹线上由输弹机输弹入 了整个弹药自动装填系统的可靠性，亟待进行改进设 收稿日期：201607-29 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51175266)：国家高技术研究发展计划资助项目(6132490102)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期: 611--618，2017 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 4: 611--618，April 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 04． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输 机械臂参数辨识 赵抢抢，侯保林 南京理工大学机械工程学院，南京 210094 通信作者，E-mail: houbl@ njust． edu． cn 摘 要 为实现弹药传输机械臂中不可测参数的辨识，建立了机械臂的虚拟样机，并将其作为样本数据的来源; 考虑到样本 数据的连续性和平滑特性，使用函数型数据分析和函数型主成分分析对样本数据进行了特征提取，并利用提取的特征参数和 待辨识参数作为训练样本对极限学习机( ELM) 进行了训练． 为提高极限学习机的辨识精度和泛化能力，利用粒子群算法对 极限学习机的输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行了优化． 最后，分别利用仿真数据与测试数据对此方法 进行了验证，仿真数据的辨识结果表明，优化后的极限学习机具有更高的辨识精度和泛化能力; 同时，通过对比将测试数据的 辨识结果代入模型中进行仿真得到的支臂角速度与测试角速度，验证了此方法的可行性和有效性． 关键词 参数辨识; 函数型数据分析; 极限学习机; 粒子群优化; 弹药传输机械臂 分类号 TP241; TH113 Parameter identification of a shell transfer arm using FDA and optimized ELM ZHAO Qiang-qiang，HOU Bao-lin School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China Corresponding author，E-mail: houbl@ njust． edu． cn ABSTＲACT To identify the unmeasurable parameters of a shell transfer arm，a virtual prototype of the shell transfer arm was built， and the built virtual prototype is regard as the source of the sample data． Considering the continuity and smoothness properties of the sample data，features of the curves were extracted by functional data analysis and functional principal component analysis，and the features and unknown parameters were used to train the extreme learning machine ( ELM) ． At the meantime，the weight connecting the input layer and hidden layer and the threshold of the hidden nodes were optimized by particle swarm optimization ( PSO) to improve the identification accuracy and generalization performance of ELM． At last，the presented method was verified by simulation data and test data． The identification results of the simulation data show that the optimized ELM has higher identification accuracy and better generalization performance． Also，the presented method is proved to be feasible and effective by comparing the real angular velocity and the angular velocity from the virtual prototype with respect to the test data identification results． KEY WOＲDS parameter identification; functional data analysis; extreme learning machine; particle swarm optimization; shell transfer arm 收稿日期: 2016--07--29 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51175266) ; 国家高技术研究发展计划资助项目( 6132490102) 弹药传输机械臂是大口径火炮自动装填系统的一 个重要部件，主要用于接收弹仓内被推弹器推送出来 的弹丸，再将该弹丸传送至输弹线上由输弹机输弹入 膛后返回原位［1］． 因系统复杂且工作环境恶劣，弹药 传输机械臂始终存在定位精度超差的情况，严重降低 了整个弹药自动装填系统的可靠性，亟待进行改进设
612 工程科学学报，第39卷，第4期 计.建立其准确的动力学模型，对于推断机械臂在运 臂的重力矩，减小驱动电机的负载：弹药传输机械臂设 行过程中动态特性的变化情况，进而根据动态特性的 置有角位移传感器和角速度传感器（测速电机），用于 变化提出改进设计建议乃至实现故障诊断和预测，都 提供机械臂相对于起落部分的角度及角速度信号，使 具有重要的意义.弹药传输机械臂是一个复杂且多参 机械臂转至正确位置.根据弹药传输机械臂的拓扑结 数的机电液一体化系统，关键参数的确定是建模过程 构，在动力学仿真软件RecurDyn中建立了机械臂的动 中的一个核心问题.然而，弹药传输机械臂中的若干 力学模型，小平衡机液压回路模型则利用Simulink中 关键参数是不可测或难以测量的，只能通过辨识的方 的SimHydraulics模块建立. 法来获取. 托弹盘 测速电机 对于弹药传输机械臂而言，由于很难求出其可测 电机 响应量至待辨识参数的解析表达式，因此无法利用传 统的基于算法的辨识方法来对其未知参数进行辨识， 而以神经网络为代表的机器学习方法可以根据已知的 样本估计数据之间的依赖关系，从而对未知的数据进 行预测和判断，往往能方便的解决该类问题.如徐东 辉等回采取混沌径向基(RBF)神经网络结合Matlab 仿真的方法对油膜模型参数进行辨识，以提高动态参 数的辨识精度，进而得出了不同工况下的油膜动态特 征：Kayacan等四利用2类模糊神经网络实现了非线性 小平衡机 动态系统的参数辨识：Ugalde等提出了一种改进的 图1弹药传输机械臂 神经网络算法，有效的降低了运算的成本，并成功的将 Fig.I Structure of the shell transfer arm 其应用于柔性机械臂的参数辨识中. 但是，在利用神经网络对弹药参数机械臂的参数 1.2 控制系统建模 进行辨识时，需要包含待辨识参数和可测响应曲线特 机械臂由两个并联的串励电机驱动，其运动过程 征参数的样本进行训练.真实的实验能够获得高质量 如图2(a)所示.AB为支臂的转动范围，若支臂按需求 的样本，但对于弹药传输机械臂而言，大量真实的实验 从C点转动到D点，则整个运动过程可分为两段：在 不仅耗费大量的人力物力，且对于系统的内在参数，也 CE段，只需控制电机的转动方向，给电机施加额定电 很难进行人为的设定，而通过虚拟仿真的方法获取样 压，使电机全速运动以带动支臂快速向D点运动：当 本则比较容易实现.因此，本文为实现对弹药传输机 支臂转动到E点，系统变成一个完全的闭环位置系 械臂的参数辨识，建立了机械臂的虚拟样机，将其作为 统，把支臂准确定位在D点，其运动速度曲线如图2 样本数据的来源，通过对待辨识参数的抽样和仿真实 (b)所示 验，获得相应的样本数据：考虑到样本数据的连续性和 (a) 运动方向 平滑性，利用函数型数据分析(FDA)和函数型主成分 D 分析(FPCA)对样本数据进行特征提取，将提取的特征 起点 定位点 和待辨识参数作为训练样本进行极限学习机的 (ELM)的训练：同时，为提高极限学习机的辨识精度 和泛化能力，利用粒子群算法(PSO)对极限学习机的 输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行 优化.最后分别利用仿真数据和实验数据对弹药传输 时间 机械臂的参数进行辨识，以验证此方法的可行性和有 图2机械臂运动过程.()运动及定位过程：(b)速度曲线 效性. Fig.2 Arm motion procedure:(a)motion and location procedure; (b)angular velocity of the arm 1 弹药传输机械臂建模与仿真 1.1虚拟样机建模 根据上述分析，在Simulink中建立电机、驱动和控 弹药传输机械臂的结构如图1所示，其中支臂安 制信号的模型，作为弹药传输机械臂的控制模块 装在火炮右耳轴上，可绕耳轴转动：托弹盘用于承载弹 1.3待辨识参数的选择与抽样仿真 丸：减速箱由两级直齿轮传动和一级蜗轮蜗杆传动组 根据1.1节~1.2节的分析，最终建立的弹药传 成：小平衡机由平衡油缸和蓄能器组成，用于平衡机械 输机械臂的联合仿真模型如图3所示，包括以下三个
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 计． 建立其准确的动力学模型，对于推断机械臂在运 行过程中动态特性的变化情况，进而根据动态特性的 变化提出改进设计建议乃至实现故障诊断和预测，都 具有重要的意义． 弹药传输机械臂是一个复杂且多参 数的机电液一体化系统，关键参数的确定是建模过程 中的一个核心问题． 然而，弹药传输机械臂中的若干 关键参数是不可测或难以测量的，只能通过辨识的方 法来获取． 对于弹药传输机械臂而言，由于很难求出其可测 响应量至待辨识参数的解析表达式，因此无法利用传 统的基于算法的辨识方法来对其未知参数进行辨识， 而以神经网络为代表的机器学习方法可以根据已知的 样本估计数据之间的依赖关系，从而对未知的数据进 行预测和判断，往往能方便的解决该类问题． 如徐东 辉等［2］采取混沌径向基( ＲBF) 神经网络结合 Matlab 仿真的方法对油膜模型参数进行辨识，以提高动态参 数的辨识精度，进而得出了不同工况下的油膜动态特 征; Kayacan 等［3］利用 2 类模糊神经网络实现了非线性 动态系统的参数辨识; Ugalde 等［4］提出了一种改进的 神经网络算法，有效的降低了运算的成本，并成功的将 其应用于柔性机械臂的参数辨识中． 但是，在利用神经网络对弹药参数机械臂的参数 进行辨识时，需要包含待辨识参数和可测响应曲线特 征参数的样本进行训练． 真实的实验能够获得高质量 的样本，但对于弹药传输机械臂而言，大量真实的实验 不仅耗费大量的人力物力，且对于系统的内在参数，也 很难进行人为的设定，而通过虚拟仿真的方法获取样 本则比较容易实现． 因此，本文为实现对弹药传输机 械臂的参数辨识，建立了机械臂的虚拟样机，将其作为 样本数据的来源，通过对待辨识参数的抽样和仿真实 验，获得相应的样本数据; 考虑到样本数据的连续性和 平滑性，利用函数型数据分析( FDA) 和函数型主成分 分析( FPCA) 对样本数据进行特征提取，将提取的特征 和待 辨 识 参 数 作 为 训 练 样 本 进 行 极 限 学 习 机 的 ( ELM) 的训练; 同时，为提高极限学习机的辨识精度 和泛化能力，利用粒子群算法( PSO) 对极限学习机的 输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行 优化． 最后分别利用仿真数据和实验数据对弹药传输 机械臂的参数进行辨识，以验证此方法的可行性和有 效性． 1 弹药传输机械臂建模与仿真 1. 1 虚拟样机建模 弹药传输机械臂的结构如图 1 所示，其中支臂安 装在火炮右耳轴上，可绕耳轴转动; 托弹盘用于承载弹 丸; 减速箱由两级直齿轮传动和一级蜗轮蜗杆传动组 成; 小平衡机由平衡油缸和蓄能器组成，用于平衡机械 臂的重力矩，减小驱动电机的负载; 弹药传输机械臂设 置有角位移传感器和角速度传感器( 测速电机) ，用于 提供机械臂相对于起落部分的角度及角速度信号，使 机械臂转至正确位置． 根据弹药传输机械臂的拓扑结 构，在动力学仿真软件 ＲecurDyn 中建立了机械臂的动 力学模型，小平衡机液压回路模型则利用 Simulink 中 的 SimHydraulics 模块建立． 图 1 弹药传输机械臂 Fig． 1 Structure of the shell transfer arm 1. 2 控制系统建模 机械臂由两个并联的串励电机驱动，其运动过程 如图 2( a) 所示． AB 为支臂的转动范围，若支臂按需求 从 C 点转动到 D 点，则整个运动过程可分为两段: 在 CE 段，只需控制电机的转动方向，给电机施加额定电 压，使电机全速运动以带动支臂快速向 D 点运动; 当 支臂转动到 E 点，系统变成一个完全的闭环位置系 统，把支臂准确定位在 D 点，其运动速度曲线如图 2 ( b) 所示． 图 2 机械臂运动过程． ( a) 运动及定位过程; ( b) 速度曲线 Fig． 2 Arm motion procedure: ( a) motion and location procedure; ( b) angular velocity of the arm 根据上述分析，在 Simulink 中建立电机、驱动和控 制信号的模型，作为弹药传输机械臂的控制模块． 1. 3 待辨识参数的选择与抽样仿真 根据 1. 1 节 ～ 1. 2 节的分析，最终建立的弹药传 输机械臂的联合仿真模型如图 3 所示，包括以下三个 · 216 ·
赵抢抢等：函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 ·613* a 角速度电流信号1 电流信号1 电流信号2 电流信号2 控制信号 电机力矩 转角 制动力 控制信号 控制模块 角速度 电机模型 RECURDYN CLENT K- 活塞速度 小平衡机力 机械系统 绘图 液压模块 (b) 转换 1 冬间测 数据类型转换 电流信号1 转角 和度 转换 2 0 区间测试 数据类型转换 电流信号2 +3 角速度 1 d 常数 制动力 4 绝对值 比较 积分 饱和度 信号 控制信号 信号发生器 (c) 醴心 )-0 平移参考系 求解器配置 管路 压力参考系 5 力传感器 图回 蓄能器 日四 压力传感器 绘图 压力参考系 活塞 理想平移 气缸 流量传感器 PS-S3 速度 延时单元信号转换速度源 管路 压力传感器 PS-S PS-S2 绘图 S-S4绘图 ① C压参考系 小平衡机力 平移参考系 压力传感器 PS-SI 绘图 图3弹药传输机械臂仿真模型.(a)联合仿真模型：(b)控制模型：(c)液压模型 Fig.3 Simulation model of the shell transfer arm:(a)co-imulation model;(b)control model;(c)hydraulic model 部分：(I)在RecurDyn中建立的动力学模型，用于计算 2基于函数型数据分析和函数型主成分分 机械臂的动力学参数：(2)在Simulink中建立的控制 模块，用于控制回路的计算；(3)在SimHydraulics中建 析的曲线特征提取 立的液压回路，用于计算小平衡机力. 2.1函数型数据分析和函数型主成分分析方法 根据系统的实际情况，待辨识的三个参数为液 函数型数据分析方法的最大贡献者是加拿大学者 压模型中蓄能器的初始压力P。,控制模型中测速电 Ramsay5-刀.在函数型数据分析中，观测数据被看作一 机的灵敏度S,以及机械系统中蜗轮蜗杆的摩擦系数 个整体而非离散的点，表示为光滑的曲线或连续的函 4.根据设备使用方提供的数据，P。的范围为[2.8， 数，然后以函数视角对其进行分析.与传统的分析方 3.5]MPa,S的范围为[0.9,1.05]，u的范围为 法相比，函数型数据分析很少依赖于模型的构建和假 0.11,0.17].本文利用拉丁超立方抽样法对这三 设条件，对于观测对象的数据观测点和观测次数是否 个参数在其分布范围内进行抽样，并根据抽样结果 相同并无要求：函数型数据分析的另一个特点是可以 进行虚拟仿真试验，共获得100组支臂的角速度 实现从有限维数据到无限维数据的转换，得到的数据 曲线. 信息更丰富可靠.如今函数型数据分析在地质化
赵抢抢等: 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 图 3 弹药传输机械臂仿真模型 . ( a) 联合仿真模型; ( b) 控制模型; ( c) 液压模型 Fig． 3 Simulation model of the shell transfer arm: ( a) co-simulation model; ( b) control model; ( c) hydraulic model 部分: ( 1) 在 ＲecurDyn 中建立的动力学模型，用于计算 机械臂的动力学参数; ( 2) 在 Simulink 中建立的控制 模块，用于控制回路的计算; ( 3) 在 SimHydraulics 中建 立的液压回路，用于计算小平衡机力． 根据系统的实际情况，待辨识的三 个 参 数 为 液 压模型中蓄能器的初始压力 P0，控制模型中测速电 机的灵敏度 S，以及机械系统中蜗轮蜗杆的摩擦系数 μ． 根据设备使用方提供的数据，P0 的范围为［2. 8， 3. 5］MPa，S 的 范 围 为［0. 9，1. 05 ］，μ 的 范 围 为 ［0. 11，0. 17］． 本文利用拉丁超立方抽样法对这三 个参数在其分布范围内进行抽样，并根据抽样结果 进行虚拟仿真试验，共 获 得 100 组 支 臂 的 角 速 度 曲线． 2 基于函数型数据分析和函数型主成分分 析的曲线特征提取 2. 1 函数型数据分析和函数型主成分分析方法 函数型数据分析方法的最大贡献者是加拿大学者 Ｒamsay［5--7］． 在函数型数据分析中，观测数据被看作一 个整体而非离散的点，表示为光滑的曲线或连续的函 数，然后以函数视角对其进行分析． 与传统的分析方 法相比，函数型数据分析很少依赖于模型的构建和假 设条件，对于观测对象的数据观测点和观测次数是否 相同并无要求; 函数型数据分析的另一个特点是可以 实现从有限维数据到无限维数据的转换，得到的数据 信息更 丰 富 可 靠． 如今函数型数据分析在地质化 · 316 ·
614 工程科学学报，第39卷，第4期 学网、神经科学回、能源消耗00等领域得到了较为 特征向量的方式求解.对于函数型主成分分析，根据 广泛的应用 Ramsay等-的推导，特征函数满足以下方程： 在函数型数据分析中，假设第i个观测样本包含 v(s,t)(t)dt=p(s). (9) 一系列离散的观测值yaya,…,ym,其函数的形式由K 个已知基函数中，()的线性组合表示： 其中p为相应的特征值，(，）=N~合 x(s)x;(t) 0=豆a0. (1) 为协方差函数，样本是去均值的，N∑，().通过 其向量形式为： x=c中=中'c. (2) 定义协方差算子V,E=v(,)(t)d,式(9)可表 式中，c为长度为K的系数向量，中为基函数中，组成 示为： 的函数型向量. E=p心 (10) 对于非周期性的数据，通常是利用B样条基函数 式中，为特征函数而不是特征向量. 展开.B样条基函数由阶数a和节点序列，(T,l=1, 主成分函数同样需要进行平滑处理，考虑最大化 2,…,L-1)确定，通过以下方程组递归求解网： 带有粗糙度惩罚函数的样本方法 B0=,<1<7. var gx,dt 0,其他. PCAPSV ()PEN ( (11) B0=仁B0+ -Ba-1() 其中，入为平滑系数，粗糙度函数PN2()=IDⅡ2= TI+a -TI T1+a+1-T1 (3) b'b,D表示2阶微分算子，J=D中(s)D中(s)ds. 系数向量c可由最小二乘法估计，令中为包含元 素中()的n×K阶矩阵，最小化误差平方和： 对于样本数据，基函数展开式为气日=三4,0， SMSSE (ylc)=(y-pc)'H(y-c). (4) 向量形式为x=Cb,其中C为n×K阶矩阵；对于特征 其中，H为加权系数. 其加权最小二乘解为： 函数，基函数晨开式为5)-言6,6，向量形式 c=(Φ'HΦ)Φy (5) 为(s)=中(s)Tb,其中b为K维向量.令A为向量c 使用最小二乘法进行求解时，选择的K越大，则 的协方差矩阵，W为元素是基函数内积"，=中.中，ds 数据估计的偏差越小，但是数据估计的方差越大，平滑 性越差，为有效的控制平滑程度，引入粗糙惩罚函数 的K阶对称矩阵，即W=中她s.则式(11)可表示 入×PEN(x),其中入为平滑系数，PEN(x)为m阶粗 为矩阵形式： 糙惩罚函数 b'WAWb PCAPSV=bTWb+A b Rb (12) PEN (x)=[D"x(]2ds 相应的广义特征值问题为： [D"c'(]'ds=c'D"(s)D6(s)"cds= WAWb =p(W+AR)b. (13) 进行Cholesky分解W+AR=LLT,其中L是下三角阵， c"[D"(s)D"(s)'ds]c=c"Jc (6) 并定义S=L,则式(13)可表示为 (SWAWS")(L'b)=p(L'b) (14) 式中，D为m阶微分算子，J=D中(s)D中(s)'d 定义u=L'b,式(14)可表示为： 利用最小二乘法，在估计系数向量时，可最小化以 (SWAWS")u =pu. (15) 下参数： 式(15)为标准的特征值问题，可依次解出u、b和 PENSSE (ylc)=SMSSE (ylc)+APEN (x)= 特征函数.对于样本数据或者通过测试采集到的数 (y-pc)H (y-pc)+Ac"Jc. (7) 据，进行函数化并减去均值，与各特征函数计算内积后 对c求一次导数，可得基函数系数向量的估计值 便是曲线的特征参数了. c=(ΦHΦ+J)ΦHy. (8) 2.2弹药传输机械臂角速度曲线特征提取 函数型主成分分析(FPCA)是经典多源分析中的 1.3节中，通过仿真试验获得了100组支臂的角 主成分分析(PCA)到希尔伯特空间的推广，其主要思 速度样本曲线，在进行极限学习机训练前，需提取样本 想与主成分分析一致，同样是主成分得分的方差最大 曲线的特征参数以降低样本的维度，提高训练速度与 化.主成分分析一般通过寻找协方差矩阵的特征值和 效率.对于100组样本数据，首先进行数据的函数化
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 学［8］、神经科学［9］、能源消耗［10--11］等领域得到了较为 广泛的应用． 在函数型数据分析中，假设第 i 个观测样本包含 一系列离散的观测值 yi1，yi2，…，yin，其函数的形式由 K 个已知基函数 k ( t) 的线性组合表示: x( t) = ∑ K k ckk ( t) ． ( 1) 其向量形式为: x = cT = T c． ( 2) 式中，c 为长度为 K 的系数向量， 为基函数 k 组成 的函数型向量． 对于非周期性的数据，通常是利用 B 样条基函数 展开． B 样条基函数由阶数 a 和节点序列 τ( τl，l = 1， 2，…，L － 1) 确定，通过以下方程组递归求解［12］: Bl，0 ( t) = 1， τl ＜ t ＜ τl + 1， {0， 其他． Bl，a ( t) = t － τl τl + a － τl Bl，a － 1 ( t) + τl + a + 1 － t τl + a + 1 － τl + 1 Bl + 1，a － 1 ( t) ． ( 3) 系数向量 c 可由最小二乘法估计，令 Φ 为包含元 素 k ( tj ) 的 n × K 阶矩阵，最小化误差平方和: SMSSE( y | c) = ( y － Φc) T H( y － Φc) ． ( 4) 其中，H 为加权系数． 其加权最小二乘解为: c^ = ( ΦT HΦ) － 1ΦT Hy． ( 5) 使用最小二乘法进行求解时，选择的 K 越大，则 数据估计的偏差越小，但是数据估计的方差越大，平滑 性越差［6］，为有效的控制平滑程度，引入粗糙惩罚函数 λ × PENm ( x) ，其中 λ 为平滑系数，PENm ( x) 为 m 阶粗 糙惩罚函数 PENm ( x) = ∫［Dm x( s) ］2 ds = ∫［Dm cT ( s) ］2 ds = ∫ cT Dm ( s) Dm ( s) T cds = cT ［∫ Dm ( s) Dm ( s) T ds］c = cT Jc． ( 6) 式中，Dm 为 m 阶微分算子，J = ∫ Dm ( s) Dm ( s) T ds． 利用最小二乘法，在估计系数向量时，可最小化以 下参数: PENSSEm ( y | c) = SMSSE( y | c) + λPENm ( x) = ( y － Φc) T H( y － Φc) + λcT Jc． ( 7) 对 c 求一次导数，可得基函数系数向量的估计值 c^ = ( ΦT HΦ + λJ) － 1ΦT Hy． ( 8) 函数型主成分分析( FPCA) 是经典多源分析中的 主成分分析( PCA) 到希尔伯特空间的推广，其主要思 想与主成分分析一致，同样是主成分得分的方差最大 化． 主成分分析一般通过寻找协方差矩阵的特征值和 特征向量的方式求解． 对于函数型主成分分析，根据 Ｒamsay 等［6--7］的推导，特征函数满足以下方程: ∫ v( s，t) ξ( t) dt = ρξ( s) ． ( 9) 其中，ρ 为相应的特征值，v( s，t) = N － 1∑ N i = 1 xi ( s) xi ( t) 为协方差函数，样本是去均值的，N － 1∑ N i = 1 xi ( t) ． 通过 定义协方差算子 V，Vξ = ∫ v(·，t) ξ( t) dt，式( 9) 可表 示为: Vξ = ρξ． ( 10) 式中，ξ 为特征函数而不是特征向量． 主成分函数同样需要进行平滑处理，考虑最大化 带有粗糙度惩罚函数的样本方法 PCAPSV( ξ) = var ∫ξxidt ‖ξ‖2 + λ × PEN2 ( ξ) ． ( 11) 其中，λ 为平滑系数，粗糙度函数 PEN2 ( ξ) = ‖D2 ξ‖2 = bT Jb，D2 表示 2 阶微分算子，J = ∫ D2 ( s) D2 T ( s) ds． 对于样本数据，基函数展开式为 xi ( t) = ∑ K k = 1 cikk ( t) ， 向量形式为 x = C，其中 C 为 n × K 阶矩阵; 对于特征 函数，基函数展开式为 ξ( s) = ∑ K k = 1 bkk ( s) ，向量形式 为 ξ( s) = ( s) T b，其中 b 为 K 维向量． 令 A 为向量 ci 的协方差矩阵，W 为元素是基函数内积 wk1，k2 = ∫ k1 k2 ds 的 K 阶对称矩阵，即 W = ∫ T ds． 则式( 11) 可表示 为矩阵形式: PCAPSV = bT WAWb bT Wb + λ bT Ｒb． ( 12) 相应的广义特征值问题为: WAWb = ρ( W + λＲ) b． ( 13) 进行 Cholesky 分解 W + λＲ = LLT ，其中 L 是下三角阵， 并定义 S = L － 1，则式( 13) 可表示为 ( SWAWST ) ( LT b) = ρ( LT b) ． ( 14) 定义 u = LT b，式( 14) 可表示为: ( SWAWST ) u = ρu． ( 15) 式( 15) 为标准的特征值问题，可依次解出 u、b 和 特征函数． 对于样本数据或者通过测试采集到的数 据，进行函数化并减去均值，与各特征函数计算内积后 便是曲线的特征参数了． 2. 2 弹药传输机械臂角速度曲线特征提取 1. 3 节中，通过仿真试验获得了 100 组支臂的角 速度样本曲线，在进行极限学习机训练前，需提取样本 曲线的特征参数以降低样本的维度，提高训练速度与 效率． 对于 100 组样本数据，首先进行数据的函数化， · 416 ·
赵抢抢等：函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 ·615* 使用4阶B样条基函数进行函数展开，2阶粗糙惩罚 的比率.如图4(b)所示，前6阶主成分的累计贡献率 函数进行数据平滑，平滑系数入=50000.按照2.1节 已超过95%，因此本文仅保留前6阶主成分.需要说 的方法进行函数型数据的系数向量计算. 明的是这里的特征值并非需要提取的特征参数，对于 函数化之后进行去均值操作，完成主成分函数的 每个样本，或待辨识的测试数据，进行函数化之后，与 计算.图4(a)为用于函数展开的B样条基函数系统： 选择的前6阶主成分函数进行内积计算，所得结果为 图4(b)为函数化后的样本角速度曲线：图4(c)为前 主成分得分，即所需要的特征参数.该特征参数将作 十阶主成分函数：图4(d)为前十阶主成分函数的占 为极限学习机的输入，为一100×6的矩阵：而待辨识 比，即根据式(15)计算求解得到的各个特征值占总和 参数将作为极限学习机的输出，为一100×3的矩阵. a (b) 0.6 60 05 40 04 20 0 2000 100 1000 时间ms 50 500 1000 1500 2000 00 样本序列 时间s 0.8 0.10 d D.6 0.4 -0.05 0.2 -0.10 500 1000 1500 2000 2345678910 时间s 前十阶主成分序号 图4函数化结果.(a)B样条基函数系统：(b)函数化后的支臂角速度曲线：（©）前十阶主成分函数：(d)前十阶主成分占比 Fig.4 Functional results:(a)B spline basis function system:(b)angular velocity of the arm after function procedure:(c)the first ten principal component functions:(d)the proportion of the first ten principal components 3弹药传输机械臂参数辨识 式中，w:=[oa,wa,…,0n]T为第i个输入层节点与 隐含层节点的连接权值，B:=Bm,B2,…,Bm]T为第i 3.1基于粒子群算法改进的极限学习机算法 个隐含层节点与输出层节点的连接权值，b:为第i个 3.1.1极限学习机算法 隐含层节点的阈值 极限学习机是一种典型的单隐含层前馈神经网 当隐含层节点数与训练样本数相等时，极限学习 络，其随机产生输入层与隐含层的连接权值和隐含层 机可以以零误差逼近训练样本，即存在B,、w:和b, 节点的阈值，且在训练过程中无需调整，只需要设置隐 使得： 含层节点的个数，便可获得唯一的最优解，与传统的训 H B=T. (17) 练方法相比，该算法具有学习速度快、泛化能力好等 其中，H,为隐含层输出矩阵， 优点圆 H(w1,…,wx,b,…,bn,x1,…,xx)= 假设任意N个独立的样本(xt),x:=xa,x2, [g(wx1+b,）…g(wxx1+bx）1 ,xm]T∈R",t,=a,la…,lm]T∈R",对于具有n个 g(w1xw+b,） g(wxx+b、) 输入节点m个输出节点，且隐含层节点数为N,激活函 数为g(x)的极限学习机的数学模型为 B:1 宫R脂)=宫B影m+6) j=1,2,…,N (16) 当激活函数无限可微时，在训练前随机选择柳和
赵抢抢等: 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 使用 4 阶 B 样条基函数进行函数展开，2 阶粗糙惩罚 函数进行数据平滑，平滑系数 λ = 50000． 按照 2. 1 节 的方法进行函数型数据的系数向量计算． 函数化之后进行去均值操作，完成主成分函数的 计算． 图 4( a) 为用于函数展开的 B 样条基函数系统; 图 4( b) 为函数化后的样本角速度曲线; 图 4( c) 为前 十阶主成分函数; 图 4 ( d) 为前十阶主成分函数的占 比，即根据式( 15) 计算求解得到的各个特征值占总和 的比率． 如图 4( b) 所示，前 6 阶主成分的累计贡献率 已超过 95% ，因此本文仅保留前 6 阶主成分． 需要说 明的是这里的特征值并非需要提取的特征参数，对于 每个样本，或待辨识的测试数据，进行函数化之后，与 选择的前 6 阶主成分函数进行内积计算，所得结果为 主成分得分，即所需要的特征参数． 该特征参数将作 为极限学习机的输入，为一 100 × 6 的矩阵; 而待辨识 参数将作为极限学习机的输出，为一 100 × 3 的矩阵． 图 4 函数化结果． ( a) B 样条基函数系统; ( b) 函数化后的支臂角速度曲线; ( c) 前十阶主成分函数; ( d) 前十阶主成分占比 Fig． 4 Functional results: ( a) B spline basis function system; ( b) angular velocity of the arm after function procedure; ( c) the first ten principal component functions; ( d) the proportion of the first ten principal components 3 弹药传输机械臂参数辨识 3. 1 基于粒子群算法改进的极限学习机算法 3. 1. 1 极限学习机算法 极限学习机是一种典型的单隐含层前馈神经网 络，其随机产生输入层与隐含层的连接权值和隐含层 节点的阈值，且在训练过程中无需调整，只需要设置隐 含层节点的个数，便可获得唯一的最优解，与传统的训 练方法相比，该算法具有学习速度快、泛化能力好等 优点［13］． 假设任意 N 个独立的样本( xi，ti ) ，xi =［xi1，xi2， …，xin］T ∈Ｒn ，ti =［ti1，ti2，…，tim］T ∈Ｒm，对于具有 n 个 输入节点 m 个输出节点，且隐含层节点数为 N 槇，激活函 数为 g( x) 的极限学习机的数学模型为 ∑ ～ N i = 1 βigi ( xj ) = ∑ ～ N i = 1 βig( wixj + bi ) = oj ， j = 1，2，…，N． ( 16) 式中，wi =［ωi1，ωi2，…，ωin］T 为第 i 个输入层节点与 隐含层节点的连接权值，βi =［βi1，βi2，…，βim］T 为第 i 个隐含层节点与输出层节点的连接权值，bi 为第 i 个 隐含层节点的阈值． 当隐含层节点数与训练样本数相等时，极限学习 机可以以零误差逼近训练样本，即存在 βi、wi 和 bi， 使得: Hhβ = T． ( 17) 其中，Hh 为隐含层输出矩阵， Hh ( w1，…，w～ N ，b1，…，b～ N ，x1，…，xN ) = g( w1 x1 + b1 ) … g( w～ N x1 + b～ N ) g( w1 xN + b1 ) … g( w～ N xN + b～ N ) N ×～ N β = βT 1 βT ～ N ～ N × m ，T = t T 1 t T N N × m ． 当激活函数无限可微时，在训练前随机选择 w 和 · 516 ·
616 工程科学学报，第39卷，第4期 b并让其在训练过程中保持不变，则隐含层与输出层 其中，y:,:i=1,2,…,l分别为第i个样本的真实值和 的连接权值B可通过求解式(13)的最小二乘解获得： 预测值，1为样本的数日. min Il HB-TIl. (18) E越小，表明极限学习机的辨识精度越好；R:在 其解为： D1]之间，R越接近1，说明极限学习机的泛化能力 B=H:T. (19) 越好，越接近0，说明极限学习机的泛化能力越弱. 其中H为隐含层输出矩阵H。的Moore-一Penrose广 粒子群算法优化极限学习机可看成一个多目标寻 义逆 优的问题，即寻找最优的w和b,使E取最小值的同 由于随机给定的输入层与隐含层间的连接权值w 时R:取最大值。根据实际需求，本文利用约束法将 及隐含层节点的阈值b中有可能存在一些为0的元 多目标优化问题转换为单目标优化问题的，其数学 素，使得部分隐含层节点是无效的，因此极限学习机需 模型为： 要大量的隐含层节点才能达到理想的精度；而且，由于 min E 和b是随机产生的，因此极限学习机的训练结果存 (22) s.L.>0.95. 在很大的随机性。本文将利用粒子群算法对极限学习 由于w和b的维度取决于隐含层节点数，因此需 机的输入层与隐含层间的连接权值及隐含层节点的阈 先确定隐含层节点数，整个优化过程如下： 值进行优化，以提高极限学习机的计算精度与泛化能力 (1)根据训练样本数量，选择合适的隐含层节 3.1.2粒子群算法 点数； 粒子群算法是一种模拟鸟群社会行为的群体搜索 (2)确定隐含层节点数后，初始化种群，即”和b, 算法，具有结构简单、参数较少、易于实现、寻优能力强 并根据式(21)计算粒子的适应度值： 等优点.粒子群算法先在可行解空间中初始化一 (3)根据式(20)更新粒子的位置和速度，计算新 群粒子，每个粒子都代表极值优化问题的一个潜在最 粒子的适应度值， 优解，用位置、速度和适应度值三项指标表示该粒子特 (4)重复步骤(3)，直到适应度值满足预定的精度 征，适应度值由适应度函数计算得到，其值的好坏表示 或达到最大迭代次数之后，输出最优的w和b. 粒子的优劣.粒子在解空间中运动，通过跟踪个体极 当确定最优的和b之后，即可对极限学习机进 值和群体极值更新个体位置.在每次迭代过程中，粒 行训练，以实现弹药传输机械臂的参数辨识 子通过个体极值和群体极值更新自身的速度和位置，即 3.2系统测试 Vi=oV+cr (Pl -Xi)+cara (Pl -Xi), 在进行辨识之前，需对弹药协调器的角速度进行 =+ (20) 测试，本文利用CS一ARSO02单轴陀螺仪对其进行测 其中，w为惯性权重；d=1,2,…,D;i=1,2,…,n;k为 试.CS-ARS02的量程为±200·s,输出电压为D, 当前迭代次数；Va为粒子的速度；c,和c2是加速度因 子，为非负的常数：r1和2为分布于D,1]区间的随机 5]V,分辨率≤0.15°·s,采样频率1000Hz.多次测 数.为防止粒子的盲目搜索，其位置和速度一般限制 量的结果如图5(b)所示.从图5(b)中的0~300ms 在[-Xs,Xn]区间内 的局部放大图可以看出，多次测试的结果存在一定的 差异，导致差异存在的原因如下：系统测试本身存在误 3.1.3优化过程 差，由于系统误差和随机误差的存在，两次测试的结果 极限学习机训练时，输入层与隐含层的连接权值 不可能完全相同：同时，由于弹丸在托弹盘内不是固定 ”和隐含层节点的阈值b的维度是由隐含层节点数及 输入参数数目决定的.因此，在对输入层与隐含层的 的，因此当协调器支臂运动时，弹丸会在托弹盘内晃 连接权值与隐含层节点的阈值进行优化前，需根据训 动，这个过程是随机且不可预知的，这也导致了测试结 练样本数确定最优的隐含层节点数 果之间的差异.对于弹药传输机械臂而言，这种差异 本文利用预测值与真实值的平均相对误差E及决 是可接受的 定系数R来评价极限学习机的辨识精度与泛化能力. 3.3辨识结果分析 本文中的样本数据由100组仿真数据和4组测试 数据组成，其中95组仿真数据用于极限学习机训练， 剩余5组仿真数据和4组实验数据用于辨识 -∑ 在对极限学习机的w和b优化前，需先选择合适 R (容-()容-() 的隐含层节点数.隐含层节点的个数并非越多越好， 当隐含层节点个数与训练集样本数相等时，极限学习 (21 机可以以零误差逼近所有的训练样本，但当隐含层节
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 b 并让其在训练过程中保持不变，则隐含层与输出层 的连接权值 β 可通过求解式( 13) 的最小二乘解获得: min β ‖Hhβ － T‖． ( 18) 其解为: ^ β = H + h T． ( 19) 其中 H + h 为隐含层输出矩阵 Hh 的 Moore--Penrose 广 义逆． 由于随机给定的输入层与隐含层间的连接权值 w 及隐含层节点的阈值 b 中有可能存在一些为 0 的元 素，使得部分隐含层节点是无效的，因此极限学习机需 要大量的隐含层节点才能达到理想的精度; 而且，由于 w 和 b 是随机产生的，因此极限学习机的训练结果存 在很大的随机性． 本文将利用粒子群算法对极限学习 机的输入层与隐含层间的连接权值及隐含层节点的阈 值进行优化，以提高极限学习机的计算精度与泛化能力． 3. 1. 2 粒子群算法 粒子群算法是一种模拟鸟群社会行为的群体搜索 算法，具有结构简单、参数较少、易于实现、寻优能力强 等优点［14］． 粒子群算法先在可行解空间中初始化一 群粒子，每个粒子都代表极值优化问题的一个潜在最 优解，用位置、速度和适应度值三项指标表示该粒子特 征，适应度值由适应度函数计算得到，其值的好坏表示 粒子的优劣． 粒子在解空间中运动，通过跟踪个体极 值和群体极值更新个体位置． 在每次迭代过程中，粒 子通过个体极值和群体极值更新自身的速度和位置，即 Vk + 1 id = ωVk id + c1 r1 ( Pk id － Xk id ) + c2 r2 ( Pk gd － Xk id ) ， Xk + 1 id = Xk id + Vk + 1 id ． ( 20) 其中，ω 为惯性权重; d = 1，2，…，D; i = 1，2，…，n; k 为 当前迭代次数; Vid为粒子的速度; c1 和 c2 是加速度因 子，为非负的常数; r1 和 r2 为分布于［0，1］区间的随机 数． 为防止粒子的盲目搜索，其位置和速度一般限制 在［－ Xmax，Xmax］区间内． 3. 1. 3 优化过程 极限学习机训练时，输入层与隐含层的连接权值 w 和隐含层节点的阈值 b 的维度是由隐含层节点数及 输入参数数目决定的． 因此，在对输入层与隐含层的 连接权值与隐含层节点的阈值进行优化前，需根据训 练样本数确定最优的隐含层节点数． 本文利用预测值与真实值的平均相对误差 E 及决 定系数 Ｒ2 来评价极限学习机的辨识精度与泛化能力． E = ( ∑ l i =1 y^ i － yi y ) i l， Ｒ2 r ( = l∑ l i =1 y^ iyi － ∑ l i =1 y^ i∑ l i =1 yi ) ( 2 l∑ l i =1 y^ 2 i ( － ∑ l i =1 y^ i ) ) ( 2 l∑ l i =1 y 2 i ( － ∑ l i =1 yi ) ) 2 ． ( 21) 其中，yi，y^ i i = 1，2，…，l 分别为第 i 个样本的真实值和 预测值，l 为样本的数目． E 越小，表明极限学习机的辨识精度越好; Ｒ2 r 在 ［0 1］之间，Ｒ2 r 越接近 1，说明极限学习机的泛化能力 越好，Ｒ2 r 越接近 0，说明极限学习机的泛化能力越弱． 粒子群算法优化极限学习机可看成一个多目标寻 优的问题，即寻找最优的 w 和 b，使 E 取最小值的同 时 Ｒ2 r 取最大值． 根据实际需求，本文利用约束法将 多目标优化问题转换为单目标优化问题［15］，其数学 模型为: min E s． t． Ｒ2 r ＞ 0. 95． ( 22) 由于 w 和 b 的维度取决于隐含层节点数，因此需 先确定隐含层节点数，整个优化过程如下: ( 1) 根据 训 练 样 本 数 量，选 择 合 适 的 隐 含 层 节 点数; ( 2) 确定隐含层节点数后，初始化种群，即 w 和 b， 并根据式( 21) 计算粒子的适应度值; ( 3) 根据式( 20) 更新粒子的位置和速度，计算新 粒子的适应度值， ( 4) 重复步骤( 3) ，直到适应度值满足预定的精度 或达到最大迭代次数之后，输出最优的 w 和 b． 当确定最优的 w 和 b 之后，即可对极限学习机进 行训练，以实现弹药传输机械臂的参数辨识． 3. 2 系统测试 在进行辨识之前，需对弹药协调器的角速度进行 测试，本文利用 CS--AＲS--02 单轴陀螺仪对其进行测 试． CS--AＲS--02 的量程为 ± 200°·s － 1，输出电压为［0， 5］V，分辨率≤0. 15°·s － 1，采样频率 1000 Hz． 多次测 量的结果如图 5( b) 所示． 从图 5( b) 中的 0 ～ 300 ms 的局部放大图可以看出，多次测试的结果存在一定的 差异，导致差异存在的原因如下: 系统测试本身存在误 差，由于系统误差和随机误差的存在，两次测试的结果 不可能完全相同; 同时，由于弹丸在托弹盘内不是固定 的，因此当协调器支臂运动时，弹丸会在托弹盘内晃 动，这个过程是随机且不可预知的，这也导致了测试结 果之间的差异． 对于弹药传输机械臂而言，这种差异 是可接受的． 3. 3 辨识结果分析 本文中的样本数据由 100 组仿真数据和 4 组测试 数据组成，其中 95 组仿真数据用于极限学习机训练， 剩余 5 组仿真数据和 4 组实验数据用于辨识． 在对极限学习机的 w 和 b 优化前，需先选择合适 的隐含层节点数． 隐含层节点的个数并非越多越好， 当隐含层节点个数与训练集样本数相等时，极限学习 机可以以零误差逼近所有的训练样本，但当隐含层节 · 616 ·
赵抢抢等：函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数养识 617 (b) 入 动态倾角 传感器 40 顶角仪 单轴律螺仪 30 20 100 200 时/ms 10 500 1000 1500 2000 2500 时间/ms 图5测试过程.(a)测试照片：(b)测试结果 Fig.5 Test procedure:(a)photograph of test equipment:(b)test results 点数逐渐增加时，由于过拟合的原因，测试集的预测正 表2极限学习机与优化后的极限学习机辨识结果对比 确率反而成逐渐减小的趋势，本文测试集样本数为 Table 2 Identification results comparison of ELM and optimized ELM 95,因此最终选择的隐含层节点数亦为95. 待辨识参数 Po /MPa 确定隐含层节点后，即可对极限学习机的w和b 真实值 3.3869 1.0018 0.1678 进行优化.极限学习机的激活函数选择sigmoid函数， 极限学习机辨识值 3.2679 0.9848 0.1710 种群个数为50，最大迭代次数为100，c1=c2=0.8,惯 优化后极限学习机辨识值 3.4037 1.0012 0.1683 性权重w采用线性递减的方式：ω(k)=wm。+(ωm- 0m)(Tm-k)Tr,w=0.9为初始惯性权重， 表3实验数据辨识结果 0=0.4为迭代至最大次数时的惯性权重：k为当前 Table 3 Identification results of the test data 迭代次数：T为最大迭代次数.设置好相关参数后，根据 辨识次数 Po/MPa u 3.1节中的介绍进行仿真计算，即可得到相应的结果 1 3.0220 0.9982 0.5341 表1为极限学习机与优化后的极限学习机辨识结 3.0443 0.9994 0.5655 3.0489 1.0011 0.5613 果的相对误差与决定系数.从表1中可以看出，优化 3.0562 0.9975 0.5568 后的极限学习机不仅辨识精度有了提高，其泛化能力 也有了很大程度的提高 表1极限学习机与优化后的极限学习机性能对比 50 Table 1 Comparison of the performance of ELM and optimized ELM 50 40 评价指标 评价对象 Po 40叶 极限学习机 0.9197 0.9161 0.8653 R 优化后极限学习机0.9982 0.9808 0.9976 30 10 线 极限学习机 5.36 1.04 2.72 E/% 0100200300400500600700 优化后极限学习机0.94 0.32 0.32 时间s 10 表2给出了对于仿真数据的某次辨识过程中三个 待辨识参数的真实值，极限学习机的辨识结果与优化 1000 1500 2000 2500 后的极限学习机的辨识结果的对比.从表2中可以看 时间/ms 出，极限学习机经粒子群算法优化后，辨识结果明显与 图6测试曲线辨识结果 真实值更接近 Fig.6 Comparison of the test angular velocity and identified angular 表3为四组测试数据的辨识结果.由于真实的系 velocity 统中，三个待辨识参数是未知的，因此无法将测试数据 支臂角速度曲线与测试数据曲线的对比.从图中可以 的辨识结果与系统的真实值进行对比.图6为将测试 看出，辨识出的角速度曲线与真实的角速度曲线比较 数据的辨识结果的平均值代入模型中进行仿真得到的 吻合，证明辨识出的结果是正确合理的.为比较极限
赵抢抢等: 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 图 5 测试过程． ( a) 测试照片; ( b) 测试结果 Fig． 5 Test procedure: ( a) photograph of test equipment; ( b) test results 点数逐渐增加时，由于过拟合的原因，测试集的预测正 确率反而成逐渐减小的趋势［16］，本文测试集样本数为 95，因此最终选择的隐含层节点数亦为 95． 确定隐含层节点后，即可对极限学习机的 w 和 b 进行优化． 极限学习机的激活函数选择 sigmoid 函数， 种群个数为 50，最大迭代次数为 100，c1 = c2 = 0. 8，惯 性权重 ω 采用线性递减的方式: ω( k) = ωmin + ( ωmax － ωmin ) ( Tmax － k ) / Tmax，ωmax = 0. 9 为初始惯性权重， ωmin = 0. 4 为迭代至最大次数时的惯性权重; k 为当前 迭代次数; Tmax为最大迭代次数． 设置好相关参数后，根据 3. 1 节中的介绍进行仿真计算，即可得到相应的结果． 表 1 为极限学习机与优化后的极限学习机辨识结 果的相对误差与决定系数． 从表 1 中可以看出，优化 后的极限学习机不仅辨识精度有了提高，其泛化能力 也有了很大程度的提高． 表 1 极限学习机与优化后的极限学习机性能对比 Table 1 Comparison of the performance of ELM and optimized ELM 评价指标 评价对象 P0 S μ Ｒ2 r 极限学习机 0. 9197 0. 9161 0. 8653 优化后极限学习机 0. 9982 0. 9808 0. 9976 E /% 极限学习机 5. 36 1. 04 2. 72 优化后极限学习机 0. 94 0. 32 0. 32 表 2 给出了对于仿真数据的某次辨识过程中三个 待辨识参数的真实值，极限学习机的辨识结果与优化 后的极限学习机的辨识结果的对比． 从表 2 中可以看 出，极限学习机经粒子群算法优化后，辨识结果明显与 真实值更接近． 表 3 为四组测试数据的辨识结果． 由于真实的系 统中，三个待辨识参数是未知的，因此无法将测试数据 的辨识结果与系统的真实值进行对比． 图 6 为将测试 数据的辨识结果的平均值代入模型中进行仿真得到的 表 2 极限学习机与优化后的极限学习机辨识结果对比 Table 2 Identification results comparison of ELM and optimized ELM 待辨识参数 P0 /MPa S μ 真实值 3. 3869 1. 0018 0. 1678 极限学习机辨识值 3. 2679 0. 9848 0. 1710 优化后极限学习机辨识值 3. 4037 1. 0012 0. 1683 表 3 实验数据辨识结果 Table 3 Identification results of the test data 辨识次数 P0 /MPa S μ 1 3. 0220 0. 9982 0. 5341 2 3. 0443 0. 9994 0. 5655 3 3. 0489 1. 0011 0. 5613 4 3. 0562 0. 9975 0. 5568 图 6 测试曲线辨识结果 Fig． 6 Comparison of the test angular velocity and identified angular velocity 支臂角速度曲线与测试数据曲线的对比． 从图中可以 看出，辨识出的角速度曲线与真实的角速度曲线比较 吻合，证明辨识出的结果是正确合理的． 为比较极限 · 716 ·
618 工程科学学报，第39卷，第4期 学习机的辨识结果与粒子群算法优化后极限学习机的 油机瞬态工况油膜参数辨识研究.内燃机工程，2015,36 辨识结果的精度，根据系统相似度评估及时间序列曲 (3):100) 线相似度计算方法叨，计算了其相应的辨识结果与测 3] Kayacan E,Kayacan E,Khanesar M A.Identification of nonlin- ear dynamic systems using type?fuzzy neural networks:a novel 试数据的相似度.极限学习机的辨识结果曲线与测试 leaming algorithm and a comparative study.IEEE Trans Ind 数据曲线的相似度为0.9621，而粒子群算法优化后极 Electron,2015,62(3):1716 限学习机的辨识结果与测试数据曲线的相似度为 [4] Ugalde H M R,Carmona J C,Reyes J R,et al.Computational 0.9759,可见粒子群算法优化后极限学习机的辨识结 cost improvement of neural network models in black box nonlinear 果与测试数据曲线具有更高的相似度，这也证明了经 system identification.Neurocomputing,2015,166:96 粒子群算法优化后的极限学习机的比为经优化的极限 [5]Ramsay J 0.When the data are functions.Psychometrika,1982, 47(4):379 学习机具有更高的辨识精度. [6]Ramsay J0,Silverman B W.Functional Data Analysis.2nd Ed. 4结论 New York:Springer Science Business Media,INC.2005 [7]Ramsay J O,Hooker G,Graves S.Functional Data Analysis with R (I)利用RecurDyn和Simulink建立了包含多体动 and MATLAB.New York:Springer Science+Business Media,2009 力学、液压、电机与控制系统的弹药传输机械臂联合仿 [8]Ordofez C,SierraC,AlbuquerqueT,et al.Functional data anal- 真模型. ysis as a tool to correlate textural and geochemical data.Appl Math (2)对弹药传输机械臂的待辨识参数进行了抽 Comput,2013,223:476 ] Zipunnikov V,Caffo B,Yousem D M,et al.Functional principal 样，根据抽样结果进行了仿真计算，获得了相应的样本 component model for highdimensional brain imaging.Neuro 角速度曲线.利用函数型数据分析和函数型主成分分 Image,2011,58(3):772 析对样本角速度曲线进行了特征提取，获得了样本角 10] Ma C.Research on Clustering Method to Analyze the Functional 速度曲线的特征参数，并将提取的特征参数作为极限 Principal Components based on the Energy Consumption in the Re- 学习机的输入，待辨识参数的抽样值作为极限学习机 gion [Dissertation].Beijing:North China Electric Power Uni- 的输出对极限学习机进行了训练 versity,2014 (马超.函数型主成分分析的亚太地区能源消耗聚类方法研 (3)利用粒子群算法对极限学习机的隐含层节点数、 究[学位论文].北京：华北电力大学，2014) 输入层与隐含层的连接权值以及隐含层节点的阈值进行 [11]Li M.Analysis of water data function based on prineipal compo- 了优化，提高了极限学习机的辨识精度和泛化能力 nent analysis method.J Hefei Unig Nat Sci,2014,24(4):21 (4)对机械臂的角速度进行了测试，利用粒子群 (李敏.基于函数型主成分分析方法的用水量数据分析.合 算法优化后的极限学习机结合仿真数据和测试数据对 肥学院学报（自然科学版），2014,24(4)：21) 弹药传输机械臂的参数进行了辨识.仿真数据的辨识 02] Boor C D.A Practical Guide to Splines.New York:Springer- 结果表明，粒子群算法优化后的极限学习机的辨识精 Verlag,2001 度和泛化能力能够达到预定要求：通过对比将测试数 [13]Huang G B,Zhu Q Y,Siew C K.Extreme learning machine: theory and applications.Neurocomputing,2006,70(1):489 据的辨识结果代入模型中进行仿真得到的支臂角速度 14]Wang W B.Research on Particle Swarm Optimization Algorithm 曲线与测试数据曲线，验证了此方法的可行性和有效 and its Application [Dissertation].Chengdu:Southwest Jiaotong 性.同时，将传统的极限学习机与粒子群算法优化的 University,2012 极限学习机的辨识结果进行了对比，对比结果表明，传 (王维博.粒子群优化算法研究及其应用[学位论文].成 统的极限学习机经粒子群算法优化后，不仅辨识精度 都：西南交通大学，2012) [15]Sun X H,Ding X H.Research on multi-objective topology opti- 有提高，其泛化能力也有很大程度的提高. mization design methods for structure.Mach Des Res,2012,28 (4):1 参考文献 (孙晓辉，丁晓红.结构多目标拓扑优化设计.机械设计与 [1]Gao XX,Su ZZ,Sun HG,et al.Optimization design of positio- 研究，2012,28(4)：1) ning precision for howitzer shell transfer arm with parameter uncer- [061 Shi F,Wang H,Yu L,et al.30 Cases Analysis of Intelligent Al- tainty.Acta Armamentarii,2014,35 (6):776 gorithm in MATLAB.Beijing:Beihang University Press,2011 (高学星，苏哲子，孙华刚，等。具有参数不确定性的火炮弹 (史峰，王辉，郁磊，等.MATLAB智能算法30个案例分析. 药协调器定位精度优化.兵工学报，2014,35(6)：776) 北京：北京航空航天大学出版社，2011) 2]Xu D H,Li Y L,Xie F Q,et al.Study of oil film parameter 07 Yang Y L,Qin J Q,Di CC,et al.Modeling and firing simula- identification in gasoline engine transient conditions based on cha- tion accuracy assessment of a gun-power-recoil test table.Vib os-RBF neural network.Chin Internal Combust Engine Eng, Shock,2014,33(10):127 2015,36(3):100 (杨玉良，秦俊奇，狄长春，等.火炮动力后作实验台建模及 (徐东辉，李岳林，解福泉，等.基于混沌RBF神经网络的汽 射击模拟准确度评估.振动与冲击，2014,33(10)：127)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 学习机的辨识结果与粒子群算法优化后极限学习机的 辨识结果的精度，根据系统相似度评估及时间序列曲 线相似度计算方法［17］，计算了其相应的辨识结果与测 试数据的相似度． 极限学习机的辨识结果曲线与测试 数据曲线的相似度为 0. 9621，而粒子群算法优化后极 限学习机的辨识结果与测试数据曲线的相似度为 0. 9759，可见粒子群算法优化后极限学习机的辨识结 果与测试数据曲线具有更高的相似度，这也证明了经 粒子群算法优化后的极限学习机的比为经优化的极限 学习机具有更高的辨识精度． 4 结论 ( 1) 利用 ＲecurDyn 和 Simulink 建立了包含多体动 力学、液压、电机与控制系统的弹药传输机械臂联合仿 真模型． ( 2) 对弹药传输机械臂的待辨识参数进行了抽 样，根据抽样结果进行了仿真计算，获得了相应的样本 角速度曲线． 利用函数型数据分析和函数型主成分分 析对样本角速度曲线进行了特征提取，获得了样本角 速度曲线的特征参数，并将提取的特征参数作为极限 学习机的输入，待辨识参数的抽样值作为极限学习机 的输出对极限学习机进行了训练． ( 3) 利用粒子群算法对极限学习机的隐含层节点数、 输入层与隐含层的连接权值以及隐含层节点的阈值进行 了优化，提高了极限学习机的辨识精度和泛化能力． ( 4) 对机械臂的角速度进行了测试，利用粒子群 算法优化后的极限学习机结合仿真数据和测试数据对 弹药传输机械臂的参数进行了辨识． 仿真数据的辨识 结果表明，粒子群算法优化后的极限学习机的辨识精 度和泛化能力能够达到预定要求; 通过对比将测试数 据的辨识结果代入模型中进行仿真得到的支臂角速度 曲线与测试数据曲线，验证了此方法的可行性和有效 性． 同时，将传统的极限学习机与粒子群算法优化的 极限学习机的辨识结果进行了对比，对比结果表明，传 统的极限学习机经粒子群算法优化后，不仅辨识精度 有提高，其泛化能力也有很大程度的提高． 参 考 文 献 ［1］ Gao X X，Su Z Z，Sun H G，et al． Optimization design of positioning precision for howitzer shell transfer arm with parameter uncertainty． Acta Armamentarii，2014，35( 6) : 776 ( 高学星，苏哲子，孙华刚，等． 具有参数不确定性的火炮弹 药协调器定位精度优化． 兵工学报，2014，35( 6) : 776) ［2］ Xu D H，Li Y L，Xie F Q，et al． Study of oil film parameter identification in gasoline engine transient conditions based on chaos-ＲBF neural network． Chin Internal Combust Engine Eng， 2015，36( 3) : 100 ( 徐东辉，李岳林，解福泉，等． 基于混沌 ＲBF 神经网络的汽 油机瞬态工况油膜参数辨识研究． 内 燃 机 工 程，2015，36 ( 3) : 100) ［3］ Kayacan E，Kayacan E，Khanesar M A． Identification of nonlinear dynamic systems using type-2 fuzzy neural networks: a novel learning algorithm and a comparative study． IEEE Trans Ind Electron，2015，62( 3) : 1716 ［4］ Ugalde H M Ｒ，Carmona J C，Ｒeyes J Ｒ，et al． Computational cost improvement of neural network models in black box nonlinear system identification． Neurocomputing，2015，166: 96 ［5］ Ｒamsay J O． When the data are functions． Psychometrika，1982， 47( 4) : 379 ［6］ Ｒamsay J O，Silverman B W． Functional Data Analysis． 2nd Ed． New York: Springer Science + Business Media，INC． ，2005 ［7］ Ｒamsay J O，Hooker G，Graves S． Functional Data Analysis with Ｒ and MATLAB． New York: Springer Science + Business Media，2009 ［8］ Ordóez C，Sierra C，Albuquerque T，et al． Functional data analysis as a tool to correlate textural and geochemical data． Appl Math Comput，2013，223: 476 ［9］ Zipunnikov V，Caffo B，Yousem D M，et al． Functional principal component model for high-dimensional brain imaging． Neuro Image，2011，58( 3) : 772 ［10］ Ma C． Ｒesearch on Clustering Method to Analyze the Functional Principal Components based on the Energy Consumption in the Ｒegion ［Dissertation］． Beijing: North China Electric Power University，2014 ( 马超． 函数型主成分分析的亚太地区能源消耗聚类方法研 究［学位论文］． 北京: 华北电力大学，2014) ［11］ Li M． Analysis of water data function based on principal component analysis method． J Hefei Univ Nat Sci，2014，24( 4) : 21 ( 李敏． 基于函数型主成分分析方法的用水量数据分析． 合 肥学院学报( 自然科学版) ，2014，24( 4) : 21) ［12］ Boor C D． A Practical Guide to Splines． New York: SpringerVerlag，2001 ［13］ Huang G B，Zhu Q Y，Siew C K． Extreme learning machine: theory and applications． Neurocomputing，2006，70( 1) : 489 ［14］ Wang W B． Ｒesearch on Particle Swarm Optimization Algorithm and its Application ［Dissertation］． Chengdu: Southwest Jiaotong University，2012 ( 王维博． 粒子群优化算法研究及其应用［学位论文］． 成 都: 西南交通大学，2012) ［15］ Sun X H，Ding X H． Ｒesearch on multi-objective topology optimization design methods for structure． Mach Des Ｒes，2012，28 ( 4) : 1 ( 孙晓辉，丁晓红． 结构多目标拓扑优化设计． 机械设计与 研究，2012，28( 4) : 1) ［16］ Shi F，Wang H，Yu L，et al． 30 Cases Analysis of Intelligent Algorithm in MATLAB． Beijing: Beihang University Press，2011 ( 史峰，王辉，郁磊，等． MATLAB 智能算法 30 个案例分析． 北京: 北京航空航天大学出版社，2011) ［17］ Yang Y L，Qin J Q，Di C C，et al． Modeling and firing simulation accuracy assessment of a gun-power-recoil test table． J Vib Shock，2014，33( 10) : 127 ( 杨玉良，秦俊奇，狄长春，等． 火炮动力后作实验台建模及 射击模拟准确度评估． 振动与冲击，2014，33( 10) : 127) · 816 ·
