应用包络法对平面包络弧面蜗杆传动的研究

D0I:10.13374/i.issm1001-053x.1979.01.007 应用包络法对平面包络弧面蜗杆传动的研究 机械系蜗轮付科研组◆ 基础部 摘 要 本文的重点是用包络法系统地讨论了平面包络孤面蜗杆传动的啮合特性，其中包括接触 线、界限线、非工作区、根切和综合曲率。並提出一些主要参数较佳值的选择。本文所用的 包络法，是在一般包络法的基础上，结合隐函数组和吸收运动学法的某些优点，作了改进。 一、坐标设置及符号說明 坐标设置如图1所示。 图1 符号说明： a。,i0、中一一次包络过程的中心距、传动比和转角。且i。=中，/中：。（注脚1为蜗 杆，注脚2为蜗轮。下同)。 a、i、0一一二次包络过程的中心距、传动比和转角。且i=0,/02。 r1、r2一蜗杆和蜗轮的计算圆半径。 d。、r。一一主基圆的直径和半径。 B—一母平面倾角。 ◆本文由沈蕴方同志执笔。 65

应用包络法对平面包络弧面蜗杆传动的研究 机械系 基 础部 蜗轮付科研 组 ￾ 摘 要 本文 的重 点是用包络法 系统地讨论 了平面 包络 弧 面蜗杆传动 的啮合特 性 ， 其 中包括 接触 线 、 界限线 、 非工作 区 、 根 切 和综合 曲率 。 业 提 出一些 主要 参数较佳值 的选择 。 本文所用 的 包络法 ， 是在一般包络法 的基础上 ， 结合 隐 函数组 和吸 收运 动 学法 的某些 优 点 ， 作 了改进 。 坐 标设 置及 符号锐明 坐标 设置如 图 ￾所示 。 图 ￾ 符 号说 明 ￾ ￾ 。 ， ￾。 、 冲— 一 次包络过程 的 中心距 、 传动 比和转角 。 且 ￾。 二 哈 ￾￾伞 ￾ 。 ￾注脚 ￾为蜗 杆 ， 注脚 ￾ 为蜗轮 。 下 同￾ 。 ￾ 、 ￾ 、 ￾— 二次包络过程的中心距 、 传动 比和转角 。 且 ￾￾ ￾ ，￾ ￾ 。 ￾ ￾、 ￾ ￾ — 蜗杆和 蜗轮的计算圆半径 。 ￾。 、 ￾ 。 — 主 基 圆 的直径和半径 。 日— 母平面倾角 。 ￾ 本文 由沈蕴 方 同志 执笔 。 ＤＯＩ：１０．１３３７４／ｊ．ｉｓｓｎ１００１－０５３ｘ．１９７９．０１．００７

a一蜗轮计算圆压力角。 R1一蜗杆根圆圆弧半径。 α'一蜗杆齿根圆压力角。 Y一蜗杆喉部名义导角。 中，一一蜗杆起始角。 k。一一主基圆直径与中心距的比值，即k。=。 k2一齿数增量系数，即k2=乙，Z: Z。一加工蜗杆工艺齿数。 2一蜗轮齿数。 7:-一蜗杆头数。 二、算 符 为了使意义明确、推导方便、表达简练，根据包络法的实际需要，定义和使用若干运算 符号（简称算符）。基本的是转换坐标算符、通常微分算符和在它们基础上.定义的相似微分 算符。 A,·1是转换坐标算符，即它将在坐标系S,上的函数的坐标变量x1、y、z,通过坐 标变换为S:上的函数。t是坐标变换的参数。 D,是通常的微分算符，即D,1=9，一般只对参数用算符D。 算符注脚t当不会误解时，将省略。 在此基础上定义： D,1f=-A,2D,A,21f 和 D,2f=A,《21D,A2)f 分别称为S,和S2上的相似微分算符。 例如D,1f的意义和运算过程是将S,中的函数「变换到Sz中，然后在S:上对参数t微 分，将微分后的函数再转换回S:。 相似微分算符和普通微分算符满足相同的微分法则。 以上算符有一系列运算性质，利用这些性质可以推导出表1和表2中的公式。在表中的 公式含算符的那些量，都是完全由啮合运动决定的，与曲面形状无关，可以由一般的坐标变 换事先算出，具体表达式参看〔5)。表中用算符表示的公式，原始母面可以是任一光滑无奇 点的曲面。嘴合运动也可以是最一般的。 三、公式汇集 表中公式都用算符表示，按上面算符定义，不难导出实用方程。 66

￾ — 蜗轮计算圆压 力角 。 ￾， ￾ — 蜗杆根 圆 圆弧 半径 。 ￾ 产 — 蜗 杆齿根 圆压力角 。 丫— 蜗杆喉部名义导 角 。 中 ， — 蜗杆起始角 。 、 · 一 一 一 ￾ ， 、 ￾ 一 二 ， ￾ ￾ 一 。￾ ， ， ￾ 、 ￾￾ 一 主 基 圆 直径 与 中心距 的 比值 ， ”￾“￾ “ 一 二二 。 ￾￾￾ 一齿 数增 量 系数 ， 即 ￾￾ 二 ￾ 。 — 加工 蜗杆工艺 齿数 。 ￾ ￾ — 蜗轮齿数 。 ￾ ￾ ￾ 一蜗杆 头 数 。 二 、 算 符 为 了使 意义 明 确 、 推导 方 便 、 表达 简练 ， 根 据 包络法 的实际 需要 ， 定义 和 使用若 干运 算 符 号 ￾简称算符 ￾ 。 基本 的是 转 换 坐标算符 、 通 常微 分算符 和 在它们 基 础 上定义 的相似 微 分 算符 。 ￾ ￾ “ ’ ￾是 转 换 坐标 算符 ， 即 它将在 坐标 系 ￾￾￾￾的 函 数的坐 标 变量 ￾ ，、 ￾ ，、 ￾ ，通 过 坐 标 变换 为 ￾【上 的 函数 。 ￾是 坐 标 变换 的参数 。 ￾ ，是通 常 的微 分算符 ， 即￾ ， ￾二 一旦乡 ， 一般只 对参数 ￾用 算符 ￾ ￾ ￾ 算符 注脚 ￾当不 会误解 时 ， 将 省 略 。 在此 基 础 ￾ ￾定 义 ￾ ￾ ， ‘ ￾ ’￾￾ ￾ ， “ “ ’￾ 。 ￾ ， ‘ ￾ ‘ ￾￾ 和 ￾ ， ’ 、 ￾二 ￾ ￾ ￾ ， ， ￾ ￾ ￾ 心 ， ， ￾ 分 别称 为 ￾ ￾ 和 ￾￾ 上 的相似 微 分算 符 。 例 如￾ ￾ 交 ‘ ￾的意义 和运 算过 程 是 将￾， 中的 函 数 ￾变换 到 ￾ ￾ 中 ， 然后 在 ￾ 。 士对 参数 ￾微 分 ， 将微 分 后 的 函数再转 换 回 ￾， 。 相似 微 分算符 和普 通 微 分算符 满 足相 同 的微 分法则 。 以 上算符有一 系列运 算 性质 ， 利 用这些 性质可 以推导 出表 ￾和表 ￾ 中的公式 。 在 表 中的 公式 含算符 的那些 量 ， 都 是完 全 由啮 合运 动决 定 的 ， 与 曲面 形 状 无 关 ， 可 以 由一 般 的坐标变 换事先算出 ， 具 体表达 式 参 看 〔￾ 〕 。 表 中用 算符 表 示 的公式 ， 原 始 母 面 可 以是任一 光 滑无奇 点 的 曲面 。 啮 合 运 动 也可 以 是 最一般 的 。 三 、 公 式 汇 集 表 中公式 都 用 算符 表示 ， 按 上面算符 定义 ， 不难 导出实用 方 程

表1 一次 包络 编 名 称 坐标系 表 达 式 说 明 号 1母面方程 Σ2：f)(x2,y2,z2)=f)=f=0 f2)不含参数t, 注角(2)以下省略 f=y2-z2tgB+Yo=0 平面包络母面方程 2母面族方程 :A12f=F1(x1,y1,z1,t)=F1’=F t=ψ1，F1)注角 (1)以下省略 3包络面方程 S s5e合A 若母面有奇点，工 也可能是奇点的轨 迹 f=0 t=to 母面上接触线 方程 S:C:D()f=(3x:+: +fz2D2'z2=0 Sa D2x2:v)=Dca)y:v2)=Dc2)za:v2) 5相对速度 S,D1)x1:V}2)=D1)y1:v52)=D1z1:v2 f=o (接触线族方程 「2的点是母面上 母面上接触线 D(2f=0j 的二类界点 6的包络线方程S2下2： (二界曲线) DD2)f=fx,.DD(2x2+fy2.DD 2y2 +fz2DD2)z2=0（包络条件) 包络面上接触 了f=0 下：的点是母面上 7 线的包络线在 母面上的共轭 S2r1:D2f=0 的一类界点 曲线方程 A(21DDF=D2D2f=0 8 包络面上接触 F=0 线方程 C. t=to DF=0 包络面上接触 F=0 (接触线方程) 「，的点是包络面 9线的包络线方 S,: DF=0 的一类界点，也是 程（脊线） DDF=0(包络条件) 包络面的奇点 母面上接触线 F=0 厂2的点是包络面 的包络线在包 的二类界点 10 络面上的共轭 DF=0 曲线方程 DDF=0 A(N2)f=0 11啮合面方程 Ss: As2)D2)f=0 67

表￾ 一 次 包 络 说 明 标系坐 名 编号 母 面方程 ￾￾ 艺￾ ￾ ￾￾￾ ￾ ￾￾ ￾ ， ￾ ￾ ， ￾ ￾￾￾ ￾ ’ ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ 一 ￾ ￾ ￾￾日￾ ￾ 。 ￾ ￾ ￾￾ “ ’不 含参数 ￾， 注角 ￾￾ 以下 省 略 平面 包络母面 方 程 ￾￾母 面 族方 程 。 ￾ 兄 ￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ￾ 一 ￾￾ ￾ ‘ ’ 今 ￾￾ ， ， ￾ ￾ ， ￾ ￾ ， ￾￾￾ ￾ ‘ ” ￾ ￾ ￾￾ 中 ￾ ， ￾“ ’注角 ￾ ￾ 以下 省略 ￾ ￾ ￾ ￾ ’ “ ’ ￾二 ￾ ￾母 面族方 程 ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ’ “ 、 ￾二 ￾ ￾包络 条件 ￾ ， 名 ￾ 的轨 ￾ ￾ 程 一 方 ， 面 ￾ ￾ 包一 络 一 母 面 上接触 线 方 程 ￾￾￾ ￾￾￾ ￾ ￾ ￾ · ￾ ￾￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ， ￾ · ￾ ￾ ’ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ‘“ ’￾ ￾ ￾ ￾ 、止￾￾ ￾ ￾、 ￾一︸￾￾ ￾￾ ￾ ‘ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ 二￾ “ ’ 二 ￾ ￾ ￾ ’￾ ￾ ￾ ￾ 乡￾” 二 ￾￾￾ ’￾ ￾ ￾ ￾ 呈￾ 么 ￾ 相对速度 ￾￾ ￾ “ ’￾ ￾ ￾ ￾二￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ’ ￾ ￾ ￾ ￾ 至￾ “ ’ ￾ ￾ ‘ ’ ￾￾ ￾ ￾ ￾ 二￾ “ ’ 通﹃￾ ￾￾ ‘ ￾ ￾￾￾‘ ￾ ￾‘ ￾￾、 ￾￾ 的点是 母 面 上 的二类 界点 ￾￾ ￾ 触方线￾线程 ￾ ￾ ￾ ￾ ￾的点是母 面 上 的一类 界点 包络面上接触 线 方 程 ￾二 ￾ 、 卜￾接触 线族方 程 ￾ ‘ “ ’￾￾ ￾￾ ￾￾ ￾ 么 ￾￾￾ ￾ ￾ ￾ · ￾￾ ￾ ” ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ · ￾￾ 广 ” ￾ ￾ 生 一 协少￾ ‘ ￾ ￾ ￾￾ 挤 仓 ￾￾包络 条件工 ￾ ￾二 ￾ ￾‘ “ ￾二 ￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ￾￾￾￾ ￾ ￾ 之 ￾ 〕￾ 厂 ￾ ￾ ￾二 ￾ ￾ ￾ ￾ 线母包曲面络线的方面上包程络上的接线共触在辘 引川￾一 ￾ ￾ ￾ ￾， ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ 二 ￾ 、，￾口￾吸 ￾ ￾ ￾￾接角虫线方 程， ￾￾￾ 二 ￾￾包络 条件 ￾ ￾ 二 ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ” ￾￾ ￾ ￾ ￾￾ 的点是 包络面 的一 类 界点 ， 也 是 ￾包络面 的奇 点 ￾ ￾ 的点 是 包 络 面 的二类 界点 ￾沪 ￾ ￾￾￾ ‘￾￾ ￾ ￾ ︷￾ 母 面 上接触 线 的包 络线 在包 ‘ 络 面 上 的共扼 。 曲线 方程 一 ￾￾ ￾ ‘ 入 ￾ ￾￾￾ ￾ ￾ 仁万 么 ￾￾ ￾ “ ￾ ￾￾ ￾ 啮 八口 面方 程

表2 二次包络 编 名 称 坐标 表 达 式 说 明 号 F=0 f1)不含参数。F 1 母面方程 1:f1)=0,即1 中参数中是曲面 DF=0 ∑：的几何参数。 9: F(2)=A821f1) 日是二次包络的运 用F或f◆表示是 2母面族方程 S2 动参数。 A&(21)F=fw=0 f*中既含中，又含日 A1)DypF=DA821F=Dof=0 f*=0 ∑：是原始母面的 (母面族方程) 2: Dof*=0 工作区 3包络面方程 S2 、D。f◆=0（包络条件） 是新接触线 ∑：=z+2} C考的包络面之 F=0 当中=0，时，得到 DF=00=0。 一次包络原接触线 4母面上接触线 当中≠日。，中 S1 变动时，得到新接 方程 D6F=0 触线。即 Co-C.+C5 Ca一一次线 C-一二次线 F=0 当中=0时，厂2得 母面上接触线 DoF=0 (接触线族方程) 到一次包络的。 S,D81F=0 当中≠0时得到新 的包络线方程 接触线C。在Σ：上 DDg)F=0(包络条件) 的包络线Γ： Γ&=1+Γ费 包络面上接触 F=0 线的包络线在 DF=0 6 S:r: 母面上的共轭 D81F=0 曲线 D。Dg1F=0 A821F=0 包络面上接触 A21DF=0 0=0。 S2 线方程 〔A。21DS1F=0 C。=Ca+C8 68

︺ 一 一件一 陋谬︸ 一 一 一￾ ￾ ￾ ￾甲￾ ￾ ￾ ￾么” ￾ ￾ ，如 ￾￾￾￾ ￾‘￾￾￾，￾￾￾，，￾， ￾ ￾￾ ￾￾￾，￾，￾￾，￾￾￾，￾￾叫 母 面上接触线 的 包络线方程 ￾接触线族方 程￾ 、￾￾尹￾￾卜 ￾ ￾各” ￾ 二 ￾ ￾包络条件￾ 当 币二 ￾ 。 时 ， ￾ ￾得 到一次 包络的 ￾ ￾。 当 如节 ￾时得 到新 接触线￾言 ￾ 在戈 ￾上 的包络线 ￾全 ￾ ￾ ， ￾ ￾奎 氏￾︶ 一 ￾ ￾︶ 卜 ￾ 包络 面 上接触 线 的包络线在 母 面上 的共扼 曲线 ￾￾ ￾ ￾ ￾ ￾￾￾ “ ” ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ’￾ 一 ” ￾ 七。吕 ， ￾￾二 ‘ ’￾ ￾ ￾ ￾一川叫列川￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ 二 “ ” ￾ ￾ ￾ 包络 面上接触 线方程 汀 ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ，￾，￾ 二 。 。￾ ” ￾ ￾￾ 。 ￾ ￾ ‘ ’￾丢” ￾ ￾ ￾ ￾。 。 ￾ ￾。 。 ￾ ￾曹 ￾ … ￾￾口￾￾ 月 ￾￾ ￾ ￾￾￾￾￾口￾￾￾￾￾￾￾￾￾口￾￾￾￾￾￾￾姗￾￾￾￾￾￾￾￾ 叫口￾￾ ￾￾￾曰￾￾ ￾

续上表 编 坐 名 称 表 达 式 说 明 号 系 包络面二：上 A821)F=0 当中=日，时，1得 A&21)DyF=0 (接触线族方程) 到一次包络的「2。 8的一界曲线 S2 了 Ag21D81)F=0 当中≠0。时得到新 (D。A21Dg1)F=0(包络条件) 接触线C在Σ隆上 下，=2+r 的包络线Γ，事 母面上接触线 A21)F=0 的包络线在包 S:Fat Ag21DF=0 9 络线上的共轭 A821D81F=0 曲线的方程 Ag21D。D8)F=0 四、平面一次包络弧面蜗杆传动 1.接触线 表1中母面上接触线方程可写成（当in业：≠0) :y3s.10 osB+中a,,a6sinB(2k,sin中-1) 1 (1) ginψz sinψz 或 y3=K:x3+B (2) 当中2=0可写成下式 x(0)=a。i,tgB (3) 1+iotB @1750° 当中2=0所得到的接触线称为“0° 线”。由于中：>0，所以这条接触线实际上 並不存在，但在理论研究中，研究它所处 的位置有一定的意义。· 影响接触线分布的主要因素有： (1)传动比i:i。影响接触线的斜 率，i大则斜率小。i。也影响“0°线”的 位置（图2和图3(c)。 (2)k。值：k。值的影响不大，如 取较大值接触线分布略好些。 (3)B值：见图3，B角的影响比 0=200,.=50,最。=0,67，月=8°， 较显著，其值较小较好。 图2 69

续上表 ￾一 ，︶￾ ￾铆酬明 ￾ 一￾，的得布沪 一坑侧氏线包时络卜曰一￾ 说一刻线络次︸ 一接的到当一触包冲幸 标系坐 名 号编 包络 面写 ￾上 的一 界曲线 ￾ 岛 ￾ ‘ ’￾ 二 ￾ ￾ 备 ￾ ‘ 、￾￾￾ 二 ￾ ￾接触线族 方程 ￾ 、卜￾ 户 卫 ￾ 么 “ ‘ ￾￾吕 又 ’￾ ￾ 。 ￾ ‘ ￾ ‘ ’￾石 ’ ￾ ￾ ，￾ ￾ ￾￾包络 条件￾ ￾了￾￾ ￾￾ 母 面上接 触线 的包络线 在包 络线 上的共扼 曲线 的方程 ￾￾ ￾ ￾全 ￾￾ 吕 ￾ ” ￾ ￾ ￾ ￾￾ 二 “ ‘ ￾￾￾￾ ￾ ” 谧 ￾￾ 吕 ’ ‘ ’￾吕” ￾ “ ” ￾￾ 二 ￾ ， ，￾￾ ￾么 ， ，￾ 二 ￾ ￾ 四 、 平面 一 次包络弧 面 蜗杆传动 ￾ ￾ 接触线 表 ￾ ， 中母 面上接触线方程可 写成 ￾当 ￾￾ 幸 ￾ 沪 ￾ 牛而。￾ 。，￾ 日“￾“ 哈 ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ 生几 ￾￾ 中 ￾ ￾ ￾ 十 。 ￾ ， ￾ ￾ ￾￾￾ ￾ ‘ 一 百长 、 ￾￾￾ 华， 一 ￾少 ￾￾ 中 ￾ ￾￾ ￾ ￾ 。 ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ 当 冲 ￾ ￾ ￾可 写成下式 ￾ ￾ ￾￾￾￾ ￾ 。 ￾。 ￾￾日 ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾ 当 哈 ￾ ￾ ￾所得 到 的接触 线 称 为 “ ￾ “ 线 ” 。 由于 冲 ，￾ ￾ ，所 以这条接触线 实际上 业不存在 ， 但 在理论研究中 ， 研究它所处 的位置 有一定 的意义 。 ￾ ￾ 影响接触线 分布的主要因素有 ￾ ￾￾￾ 传动 比 ￾。￾ ￾。影响接触线 的斜 率 ， ￾。大则 斜 率小 。 ￾。也 影响 ，’￾ 。 线” 的 位置 ￾图 ￾和 图 ￾ ￾￾￾￾ 。 ￾￾ ￾ ￾。 值￾ ￾。 值 的影 响不大 ， 如 取 较大值 接触 线 分布略好些 。 ￾￾ ￾ 日值 ￾ 见 图 ￾ ， 日角 的影响 比 较 显著 ， 其值较小较好 。 、 ￾￾ 风 二 ￾。 ， ‘ ￾ 二 刃 ， 几 二 ￾盯 ， 声 二 乃 ￾ 图 ￾

45 2 4 150 50 B≈1° B34° X(0=51.7 3(0)=117 (a) (b) n出 2 3 45 23 4 (0)=162 0° X(01=147 B=8° B=12。 (c) (d) 【2345 x3(0)21700° 0°√%=0° 2.y2=18° 3=27 N y2=36° 少2=45 Q。=200,i,=20 坐 *0.67，Y=90, 正，=2； 16° 2 (e) 3图 70

、 丫￾ ￾ ，‘月 ￾ ’ ￾ ￾ ”“ 布 《￾￾二 万￾ ￾ ￾ ￾口 ， 珊 ￾ ￾· ￾， ￾￾￾二 ￾￾了 ￾ ￾、 ￾￾ ￾￾￾、 ￾ ￾ 一一井霉燃井垒丝二些 ￾ ￾’ ￾ ’ 、奴、 ’ 久 ￾ 一 了 ￾之 、夺公 戈卜 ￾ ’ 少少以￾ 扩衬￾ 二一︸二二目 “ ， ￾‘，之广￾︸︶︶︸ 务扎叭义路界 决粉￾ ￾ 、 ￾ ￾ 。 “ 之口口 ， 应 ￾ ， ， ， 霭 ‘ ￾ · ‘￾ ， ￾ ， “ 之 ￾ ‘， 即 ， ￾， 卯 ，， 《￾￾ ￾￾

2. 母平面上接触线的包络线（二界曲线「2） 上述母平面上的接触线存在一条包络线，即二界曲线厂2（图3）这条包络线对研究接 触线的分布规律，沟通平面一次包络和二次包洛以及对参数选择的探讨都是有意义的。 ·表1中2的方程可写成下面标准式 (y3-r sin B)2 ( aok sin B2=1 (4) （V1-kJ 式中 k=i。lgB 从式中可以看出，当i。tgB1时为椭圆。当i。tgB=1 时为抛物线。 3.接触线与相对滑动速度间的夹角9 夹角的大小是衡量齿面间润滑好坏的指标之一。0角愈接近于90°润滑条件愈好。 设在坐表系S,中，接触线的斜率为K1,相对滑动速度的斜率为K2,则 o0=,长 (5) 表3中所列0值的蜗轮付的主要参数为：.a。=420,r。=150,i。=48,Z:=1。计算的 是蜗杆计算圆与瞬时接触线交点处的0值。从结果中可以看出，B角大些较为有利，尤其在 入口处日值大得更多，对齿面润滑更为有利。 表3 B 0 230 49 8° 10° 370 4154 0中 20° 57°44' 6054 608》 60°11' 30° 68°36 7052 40° 7809' 794' 7719，x 4.蜗杆齿面上的非工作区 平面族的包络面的蜗杆齿面，其接触线有一条包络 线。这条包络线的形状象是收缩的空间螺旋线，称为一 界曲线Γ：（图4）。这条一界曲线就是蜗杆齿面工作区 和非工作区的界限线。 为了研究方便，把每一瞬时的界限点x1、y1、Z: 坐标值转到一Z,平面上去，其关系为 图4 71

￾ ￾ 母平 面上 接触 线的包络线 ￾二 界 曲 ’ 线 ￾一 ￾￾ 上述母 平面上 的接触线 存在一 条 包络线 ， 即二 界 曲线 ￾ ￾ ￾图 ￾ ￾ 这条 包络线对 研究接 触线 的分布 规律 ， 沟通 平面一次包络 和二次 包络 以 及对参数选泽的探讨都是有意义的￾ 丫 表 一 ￾中￾ ￾ 的方程 可 写成下 面标 准式 ￾ 。 ￾ 五玉￾、 ￾ “ “ ￾一 ￾ “ ￾ ￾ ￾ · ￾几、 ‘ 、 ￾一 ￾ 乙 ￾ 一 妞」 二 今 越￾旦 ￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ￾五遥些些 ￾ 、 ’ ￾ 侧 ￾一 ￾￾ ￾ ￾￾ ￾ 式 中 从 式 中可以 看 出 ， 时为抛物线 。 ￾ ￾ ￾。 ￾￾日 当 ￾。 ￾￾日￾￾时 ， ￾ ￾ 是双 曲线 。 当￾。 ￾ 日￾ 王时为 椭圆 。 当 ￾。 ￾￾日二 ￾ ￾ ￾ 接触 线 与相对滑动速度间的夹 角￾ 夹角￾的大 小是 衡 量齿面 间 润滑好坏 的指标 之一 。 ￾角愈接近 于 ￾ “ 润滑条件愈好 。 设 在坐 表系 ￾。 中 ， 接触 线 的斜率为 ￾ ， ， 相对 滑动 速度 的斜 率为￾ ￾， 则 ￾￾￾￾ ￾￾ ￾ 表 ￾ 中所列￾值 的蜗轮 付的主要 参数为 ￾ “ 。 一 ￾ 。， ￾。 一 巧仇 ￾ 二 ￾ ， 今 “ ￾ 计算 的 是蜗杆计算圆与瞬 时接触 线 交点处 的 ￾值 。 从结 果中可 以 看 出 ， 日角大些较 为有利 ， 尤其 在 入 口 处 ￾值大得 更 多 ， 对齿 面 润滑更为有利 。 一 一 ￾ ￾ 蜗 杆齿面上 的非 工作 区 平 面族 的包络 面 的蜗杆 齿 面 ， 一 其接触 线 有一 条包络 线 。 这条包络 线 的形状 象是收缩 的空 间螺旋 线 ， 称 为一 界 曲线 ￾￾ 〔图 ￾ ￾ 。 这 条一 界曲线就 是蜗杆 齿 面工作 区 和 非工作 区的 界限线 。 一 为 了研究方便 ， 把每一瞬 时的界限点 ￾ ， 、 ￾ ，、 ￾， 坐标 值转 到 ￾一 ￾，平面 上去 ， 其关系为 图 ￾

r=√x12+y,2=Vx,2+y,2 2=2 (6) 由上式得到了一条平面化了的曲线，命名为“非工作区判别线”（简称判别线）。如图 5所示是a。=200,i。=20,k。=0.67和不同B值画出的判别线。例如由图中B=4°的那条 判别线可以确定出，在AA'左面蜗杆齿面全部是非工作区。CC'右面全部是工作区。AA' 与CC之间是混合区，即判别线以下是工作区，以上是工作区。 珠王作脑礼制情 a=220 ia0.67 图5 显然，非工作区过大是不利的。其主要影响因素有： (1)传动比i。:同样其他参数下，i。愈小则非工作区愈大（图6）。所以，在设计小 传动比蜗轮付时要特别注意。 (2)k,值：k,值较大非工作区可小些，但影响程度不大。 (3)B值：B值对非工作区大小的影响是比较大的图(5)。B值大时非工作区小，大 到某一值蜗杆齿面上就没有非工作区了。图7是根据图5所示参数计算所得而制的B值对非 工作区的影响曲线。其中中和中是在B、C点相对应的蜗轮转角中2之值。 【50 2~4*2初 3玉=l0 2, Q o a0,=a67,B=0. 图6 5.蜗杆齿面的根切 当蜗杆齿面上存在非工作区而砂轮平面的圆周边界又包含瞬时界限点时，在瞬时界限 点附近产生根切现象（图8）。在设计时可以用「，曲线在母面上的共轭曲线T:来判断根 72

￾ 二 亿 ￾ ￾“ 不￾ ￾忿 ￾ 亿 为 ￾ 十 卜 ￾，￾ ￾￾ ￾￾￾ 由上式得到了一条平面化了的曲线 ， 命名为 “非工作区判 别线” ￾简称判别线￾ 。 如图 ￾所示是￾。 ￾ ￾￾ ， ￾。 二 ￾ ， ￾。 ￾ 。 ￾ ￾和不同 日值画 出的判 别线 。 例 如 由图中 日二 ￾ 。 的那 条 判别线可以 确定出 ， 在 ￾ ￾尹左面蜗杆齿 面全 部是非工 作区 。 ￾￾尹 右面全 部是工 作 区 。 ￾ ￾ 尹 与￾￾尹之 间是混合区 ， 即判别线以下是工作区 ， 以上 是工 作区 。 不多泛 花 · 二二 尹 氏 二 ￾匆 ‘ ， 劝 人 ￾ ，。￾ 图 ￾ ﹃乙式 ￾ 显然 ， 非工作 区过大是不利的 。 其主要影响 因素有 ￾ ￾￾￾ 传动 比 ￾。￾ 同 样其他参数下 ， 宜。愈小则非工 作区愈大 ￾图 ￾ ￾ 。 所以 ， 在设 计小 传动 比蜗 轮付时要 特 别 注意 。 ￾￾￾ ￾。 值 ￾ ￾。值较大非工 作 区可小些 ， 但 影响程度不大 。 ￾￾￾ 日值 ￾ ￾值对非工 作区大小的影响是比较大 的图 ￾￾ ￾ 。 日值大 时非工 作区小 ， 大 到某一 值蜗杆齿面 上就没有非工作区 了 。 图 ￾ 是根据 图 ￾ 所示参数计算所得而制 的 日值 对 非 工作区 的影响 曲线 。 其 中 中 。 和 冲 。 是 在￾ 、 ￾点相对应 的蜗轮转角 中 ￾ 之 值 。 了￾ 福 ￾ 二 匆 之 ￾ ‘， 勿 ￾￾ 才 。 ￾ ￾口 ￾ ￾ 一 一 一 尸 三 ￾ ￾ 勺 才 、 助动 ￾ 丸 。 以 ￾￾ 图 ￾ ￾ 匕 一 一 必 ， 声 ， 口， ￾ ￾ 蜗杆齿面的根 切 当蜗杆齿面 上存在非工作 区而砂轮平面 的圆周 边 界又包 含瞬 时 界限点 ￾ 时 ， 在瞬 时界限 点附近产生根 切 现象 ￾图 ￾￾ 。 在设 计时可 以用 ￾￾ 曲线 在母 面 上的共扼 曲线了 ￾ 来 判 断根

切与否（图9）。如「，全部在齿面以外将不会产生根切。如下：通过齿面，则下，与齿顶 的交点所反应的蜗轮转角中2是根切的极限点。例如图9所示在0°≤业：≤11°内将产生根切。 也就是说，蜗杆从理论入口起（中1=0)到转过220°之间将有根切（不一定全部）。 废) 04 439 036 03 028 0.22 02 al 4 8° 12 6◆ B 图7 图8 用下式计算的B值，一般可避免根切 B=tg'(axes2-e R:co8(a-e) (7) 式中，e是角度值。当i0>35,e=0°。i。≈5， E=7°~9°，其它i。值在0°9°范围内。 6.‘综合曲率 图9 平面一次包络可用我们得到的下式求综合曲率K:2) Fx F:2Fy1 F:Fz1 + K2)=Ex11 FyvFy FzF yiv) Fx1g1 (8) 式中各数都可在表1方程9中得到。 图10是用上式计算一对a。=420,r,=150,i,=48,B=8°蜗轮付后得到的综合曲率。 通过理论和图例分析得如下结论。 (1)接触线上各点的综合曲率在入口处最小。出口处最大。 (2)倾角B的变化，对综合曲率的影响不大。 (3)除沿接触线方向的诱导主曲率为零外，其它方向均不为零。因此，平面一次包络 蜗轮付的接触是没有密切点的。 (4)离接触线与一界曲线切点愈远的点，综合曲率就愈小。 73

切与否 ￾图 ￾ ￾ 。 如 ￾ ，全部在齿面 以外将不 会产生根切 。 如 几 通 过 齿 面 ， 则了 ￾ 与齿顶 的交点所反应 的蜗轮转角中 ￾是根切 的极限点 。 例如图 ￾所示在。 “三伞 ￾感￾￾ 。 内将产生根切 。 也就是说 ， 蜗 杆 从理论入 口 起 ￾冲 ， ￾ 丫￾ 到转过￾￾￾ 。 之 间将有根切 ￾不一定全部￾ 。 火￾雏 ￾ 一 切一份、 、、、、 ￾ 浦￾刃￾ ￾ ￾ 万‘￾￾￾ ￾ 口一一奋 舀 ￾ 佗 图 ￾ 店产产 图 ￾ 用下式 计算的 日值 ， 一般可避免根切 日二 ￾￾一 ￾「一里缨红华二理一 夏 ￾ ￾￾ ￾ ‘ ￾ ￾￾ ￾ 一 ￾ ￾八 门 ￾￾￾ ￾￾ ‘ 一 ￾￾￾ 式 中 ￾ 。 是角度值 。 当 ￾。￾ ￾ ， 。 ￾ ￾ ’ 。 ￾。 闷 ￾ ， 。 ￾ ￾ 。 ￾￾ “ ， 其 它 ￾。值 在。 。 、￾ 。 范围 内 。 百 ￾ ‘ 综合曲率 平面“次包络可用我们得到的下式 求综 合 曲率 ￾ 毛孟 忍 ’ ￾ ￾ ￾ ￾ 一 气几二一 ‘ 一 ’ ￾ ￾ 云孟 “ ’ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ， ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ 一甲 ￾ ￾， 一叨 ￾ 十 ￾， ￾、， ￾￾ ￾￾￾￾ 沁 图 ￾ ￾￾￾ 式 中各数都可 在表 ￾方程 ￾ 中得 到 。 ‘ 图￾是用上式计算一对￾ 。 二 ￾￾￾， ￾。 二 ￾￾， ￾。 ￾ ￾ ， ￾￾ ￾ “ 蜗 轮付后得到的综合曲率 。 通过理论和 图例 分析得如下结论 。 ￾￾￾ 接触线 上各点 的综合 曲率在入 口 处最小 。 出 口 处最大 。 ￾￾ ￾ 倾角 日的变化 ， 对综合 曲率 的影响不大 。 ￾￾ ￾ 除 沿接触线方 向的诱导主 曲率为零外 ， 其它方向均不为零 。 因此 ， 平面一次包络 蜗轮付的接触 是没 有密切点 的 。 ￾￾ ￾ 离接触 线 与一 界曲线 切点愈远 的点 ， 综合 曲率就愈小

点，号 中2 线 2 数值 3 5 K> 0.0038 0.0029 0.0025 0.0022 0.002 10° 1 p2/ao 0.70 0.82 0.94 1.06 1.18 K 0.0055 0.0048 0.0043 0.0038 0.0035 17°30 ② 2/ao 0.43 0.50 0.56 0.62 0.49 0.0075 0.0061 0.0059 0.0053 25° 3 K 0.0049 p2/a0 0.32 0.36 0.40 0.45 0.69 3236 ④ K经 0.0087 0.0078 0.0071 0.0065 0.0060 pa/ao 0.27 0.3 0.34 0.37 0.40 40° K 0.0085 0.0082 0.0076 0.0070 0.0060 5) p2/ao 0.27 0.29 0.31 0.34 0.36 图10 五、平面二次包络弧面蜗杆传动(SG-71型蜗轮付) 这种蜗轮付是首钢在1971年制成功的。我们知道无论是“一次包络”或“二次包络”它 的蜗杆都是一样的，但是蜗轮是不一样的。 1.两种传动形式 平面二次包络孤面蜗杆传动有两种传动形式： 典型传动 a。=a,i。=i,Z。=Z2,kz=0 一般型（修型）传动 ao≠a,ig+i,Z。hZ2,kz牛0 一般取 ao>a,io>i,2o>22,k2>0 74

一 ￾ ￾‘︸￾ ﹄￾￾︸ ￾￾ ￾ ￾ 孟委 ￾ ￾￾ ￾ 。 ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾￾￾￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾￾￾ ￾￾ ￾ ， … 一 ￾ ￾￾ ￾ 门￾￾八八 “￾︸￾ ￾“￾跳 ￾八曰 ﹄ ￾￾ ￾ ‘ 孟呈 ￾ ￾￾尽 。 ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾右 ￾ ￾ ￾￾￾￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ …①②一 一￾… ￾ 八￾一 ￾￾￾ ￾￾ ￾八￾ 八￾ ︸ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾曰八 ￾￾ ￾ 八￾￾ ￾八￾ ￾八“￾￾ 工￾八￾八￾﹃︸︸ 八￾￾公 ￾￾ ￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾︸ 日八曰﹁ ￾￾︸ ￾￾ 门￾‘￾￾￾ ￾ ￾￾￾国￾￾ ￾￾ “￾ ￾， ￾ ‘‘砚￾￾ 从 口￾￾￾￾￾￾￾‘￾ ￾曰￾ 卯门￾￾“ ￾曰￾￾‘ ‘‘￾ 州 刁 占‘‘二￾￾￾‘‘ ￾砚￾￾‘ ￾￾￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ‘ 图￾￾ 五 、 平 面 二 次 包络弧 面 蜗杆 传动 ￾￾￾一￾￾型蜗 轮付 ￾ 这种蜗轮付 是首钢 在 ￾￾￾王年 制 成功 的 。 我们 知 道无 论是 “ 一次 包络 ” 或 “ 二次包络” 它 的蜗杆都是一 样 的 ， 但 是 蜗 轮是不一 样 的 。 ￾ ￾ 两种传 动形 式 平面 二 次 包络弧面 蜗杆 传动 有 两 种 传动形式 ￾ 典型传 动 ￾ 。 ￾ ￾， ￾。 ￾ ￾， ￾。 二 ￾￾ ， ￾￾ ￾ ￾ 一 般型 ￾修型 ￾ 传动 ￾ 。片 ￾ ， ￾ 。 子 ￾， ￾。 子 今 ， ￾￾ 专 ￾ 一 般取 ￾ 。￾ ￾ ， ￾。￾ ￾， ￾。￾ ￾￾ ， ￾￾￾ ￾ ￾￾