岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析

第36卷第1期 北京科技大学学报 Vol.36 No.1 2014年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2014 岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 吴顺川12，刘芳标12四，周喻12，韩庆12 1)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000832)北京科技大学金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京100083 ☒通信作者，E-mail:fmqvv(@126.com 摘要以白云鄂博铁矿东矿C区岩体节理产状为研究对象，通过构造空间直角坐标系，采用基于Euclidean距离度量标准的 系统聚类法对反映节理产状的单位法向量进行分类，选用合适的分布函数描述各组节理，并对各组节理的概率分布模型进行 卡方检验.结果表明，采用系统聚类法能较好反映现场节理产状，准确给出岩体节理分类方案，消除人为判别模糊性.基于聚 类分析结果，结合边坡参数，采用赤平极射投影法进一步确定边坡最可能失稳模式，为调整边坡设计参数，控制边坡灾害提供 依据。 关键词岩体：节理：聚类分析：边坡稳定性 分类号TU457 Hierarchical cluster of rock mass joint attitude and analysis of slope instability modes WU Shun-chuan,LIU Fang-biao,ZHOU Yu,HAN Qing 1)School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Key Laboratory of the Ministry of Education for Efficient Mining and Safety of Metal Mines,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fmqvv@126.com ABSTRACT Based on Euclidean distance,the hierarchical cluster method was adopted to analyze the unit normal vectors converted from the dip angle and dip direction of Bayan Obo East Iron Mine on the premise that the rectangular coordinates system was construc- ted.A proper distribution model was chosen to describe each joint group,and its validity was verified by chi-square test.It is found that the hierarchical cluster method can analyze the joint attitude accurately and provide reasonable classification of joint attitude without any uncertainty caused by human judgment.Based on the hierarchical cluster result of rock mass joints and slope design parameters, the most probable slope instability mode is determined by the stereographic horizon projection technique,which provides a basis for ad- justing slope design parameters and controlling slope disaster. KEY WORDS rock mass:joints;cluster analysis:slope stability 边坡稳定性与岩体节理面、边坡设计参数密切 概化分布规律的方法，其分组成果唯一，相对于人工 相关，考虑边坡设计参数的节理产状分析结果 统计法有很大改进，具体包括系统聚类、动态聚类和 将影响对边坡稳定性的评判.基于该统计结果的节 模糊聚类等。玫瑰花图、极点图和等密度图等常规 理概率模型是后续建立结构面三维随机网格模型和 节理产状统计方法虽然简单易行，但人工因素的存 等效岩体模型的前提，因此建立精确易行的节 在使分组结果过于依赖经验，无法对节理产状进行 理产状分类方法具有重要意义. 定量分组，甚至导致误判。对此，国内外学者相继采 聚类法是指按某项标准对数据进行分组，得到 用模糊聚类0、动态聚类m和k均值聚类☒等 收稿日期：2012-11-24 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.01.001:http://jourals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 1 期 2014 年 1 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 1 Jan． 2014 岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 吴顺川1，2) ，刘芳标1，2) ，周 喻1，2) ，韩 庆1，2) 1) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 2) 北京科技大学金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京 100083  通信作者，E-mail: fmqvv@ 126． com 摘 要 以白云鄂博铁矿东矿 C 区岩体节理产状为研究对象，通过构造空间直角坐标系，采用基于 Euclidean 距离度量标准的 系统聚类法对反映节理产状的单位法向量进行分类，选用合适的分布函数描述各组节理，并对各组节理的概率分布模型进行 卡方检验． 结果表明，采用系统聚类法能较好反映现场节理产状，准确给出岩体节理分类方案，消除人为判别模糊性． 基于聚 类分析结果，结合边坡参数，采用赤平极射投影法进一步确定边坡最可能失稳模式，为调整边坡设计参数，控制边坡灾害提供 依据． 关键词 岩体; 节理; 聚类分析; 边坡稳定性 分类号 TU457 Hierarchical cluster of rock mass joint attitude and analysis of slope instability modes WU Shun-chuan1，2) ，LIU Fang-biao 1，2)  ，ZHOU Yu1，2) ，HAN Qing1，2) 1) School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Key Laboratory of the Ministry of Education for Efficient Mining and Safety of Metal Mines，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: fmqvv@ 126． com ABSTＲACT Based on Euclidean distance，the hierarchical cluster method was adopted to analyze the unit normal vectors converted from the dip angle and dip direction of Bayan Obo East Iron Mine on the premise that the rectangular coordinates system was construc￾ted． A proper distribution model was chosen to describe each joint group，and its validity was verified by chi-square test． It is found that the hierarchical cluster method can analyze the joint attitude accurately and provide reasonable classification of joint attitude without any uncertainty caused by human judgment． Based on the hierarchical cluster result of rock mass joints and slope design parameters， the most probable slope instability mode is determined by the stereographic horizon projection technique，which provides a basis for ad￾justing slope design parameters and controlling slope disaster． KEY WOＲDS rock mass; joints; cluster analysis; slope stability 收稿日期: 2012--11--24 DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 01． 001; http: / /journals． ustb． edu． cn 边坡稳定性与岩体节理面、边坡设计参数密切 相关［1--2］，考虑边坡设计参数的节理产状分析结果 将影响对边坡稳定性的评判． 基于该统计结果的节 理概率模型是后续建立结构面三维随机网格模型和 等效岩体模型［3--5］的前提，因此建立精确易行的节 理产状分类方法具有重要意义． 聚类法是指按某项标准对数据进行分组，得到 概化分布规律的方法，其分组成果唯一，相对于人工 统计法有很大改进，具体包括系统聚类、动态聚类和 模糊聚类等． 玫瑰花图、极点图和等密度图等常规 节理产状统计方法虽然简单易行，但人工因素的存 在使分组结果过于依赖经验，无法对节理产状进行 定量分组，甚至导致误判． 对此，国内外学者相继采 用模糊聚类［6--10］、动态聚类［11］和 k 均值聚类［12］等

·2 北京科技大学学报 第36卷 方法进行结构面产状分析.模糊聚类原理及实现复 特定节理组最可能失稳模式，为调整边坡设计参数、 杂，不便工程推广使用：动态聚类法组数判断受经验 控制边坡灾害以及建立更准确的结构面三维随机网 影响较大，结果易受个别孤立数据影响：系统聚 格模型和等效岩体模型提供依据。 类具有较好的计算效率和稳定性，计算不受经验限 制，便于实际应用 1现场节理调查 通过聚类分析确定的岩体优势节理是岩体固有 白云鄂博铁矿东矿C区位于该矿东采场东北 节理参数的数学解，并未反映边坡设计参数对其优 帮，区内出露地层有太古界二道注群绿色结晶片 势程度的影响.根据节理优势程度判别边坡失稳模 岩、元古界白云鄂博群变质岩、中生界侏罗系沉积 式是岩坡稳定性分析的基础，可结合边坡设计参数 岩和火山岩系以及新生界第三系、第四系地层，地 对己分类节理作失稳模式分析，确定边坡及特定节 层强烈褶皱变质，断裂发育，地质情况复杂.矿区 理组最可能失稳模式，为调整边坡设计参数提供依 边坡呈弧形，平均倾向250°，总体边坡角43°，岩体 据.针对崩塌、倾倒、平面滑动、楔体滑动、弧形滑动 节理裂隙发育.为探讨节理面发育规律，采用测线 等不同岩坡失稳模式，国内外学者提出了多种计算 法进行节理特征参数统计.在该区域布置三条测 分析方法-，并可根据不同计算理论对边坡失稳 线，共获得301条节理数据.受聚类谱系图幅所 模式进行动力学分析，评价边坡可能的破坏形式和 限，仅随机抽取其中200组节理数据进行研究，以 稳定情况 更好地体现系统聚类过程.表1为部分节理产状 本文以白云鄂博铁矿东矿C区岩体节理为研 数据.利用地质数据分析软件Dips对200组节理 究对象，通过构造空间直角坐标系，采用基于Eu- 数据进行赤平投影，绘制产状等密度图（图1），结 clidean距离度量标准的系统聚类法对反映节理产 果显示该测线区域节理裂隙大体可分为A、B、C和 状的单位法向量进行分类，选用合适的分布函数描 D四个优势组（表2）.由于结构面三维随机网格 述各组节理，并对各组节理的概率分布模型进行卡 模型和等效岩体模型的建立依赖于定量的节理产 方检验以验证其有效性.基于聚类分析结果，结合 状分类结果，故有必要计算获取节理产状分类的 边坡参数，采用赤平极射投影法进一步确定边坡及 更精确解. 表1节理产状数据表（部分） Table 1 Part of joint attitude data 节理编号 6 7 8 9 10 倾角/（°） 77 68 39 79 74 70 73 83 65 68 倾向/（°） 322 形 136 319 85 134 319 319 310 288 表2节理优势产状大体范围 Table 2 Range of dominant orientations 产状 A组 B组 C组 D组 倾向/() 217~271 9-289 23~105 111~202 C区域 倾角/() 30-80 32~90 62~88 39-88 频数 23 65 6 54 C,区域 B组 2节理产状系统聚类 2.1系统聚类基本原理 考虑n(i=1,2,…,n)个样品m(=1,2,, 图1节理产状等密度图及初步分组 m)项指标的聚类问题，将观测数据x:写成矩阵形式 Fig.1 Contour plot of the joint plane and primary grouping (Xg）axm:

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 方法进行结构面产状分析． 模糊聚类原理及实现复 杂，不便工程推广使用; 动态聚类法组数判断受经验 影响较大，结果易受个别孤立数据影响［13］; 系统聚 类具有较好的计算效率和稳定性，计算不受经验限 制，便于实际应用． 通过聚类分析确定的岩体优势节理是岩体固有 节理参数的数学解，并未反映边坡设计参数对其优 势程度的影响． 根据节理优势程度判别边坡失稳模 式是岩坡稳定性分析的基础，可结合边坡设计参数 对已分类节理作失稳模式分析，确定边坡及特定节 理组最可能失稳模式，为调整边坡设计参数提供依 据． 针对崩塌、倾倒、平面滑动、楔体滑动、弧形滑动 等不同岩坡失稳模式，国内外学者提出了多种计算 分析方法［14--18］，并可根据不同计算理论对边坡失稳 模式进行动力学分析，评价边坡可能的破坏形式和 稳定情况． 本文以白云鄂博铁矿东矿 C 区岩体节理为研 究对象，通过构造空间直角坐标系，采用基于 Eu￾clidean 距离度量标准的系统聚类法对反映节理产 状的单位法向量进行分类，选用合适的分布函数描 述各组节理，并对各组节理的概率分布模型进行卡 方检验以验证其有效性． 基于聚类分析结果，结合 边坡参数，采用赤平极射投影法进一步确定边坡及 特定节理组最可能失稳模式，为调整边坡设计参数、 控制边坡灾害以及建立更准确的结构面三维随机网 格模型和等效岩体模型提供依据． 1 现场节理调查 白云鄂博铁矿东矿 C 区位于该矿东采场东北 帮，区内出露地层有太古界二道洼群绿色结晶片 岩、元古界白云鄂博群变质岩、中生界侏罗系沉积 岩和火山岩系以及新生界第三系、第四系地层，地 层强烈褶皱变质，断裂发育，地质情况复杂． 矿区 边坡呈弧形，平均倾向 250°，总体边坡角 43°，岩体 节理裂隙发育． 为探讨节理面发育规律，采用测线 法进行节理特征参数统计． 在该区域布置三条测 线，共获得 301 条节理数据． 受聚类谱系图幅所 限，仅随机抽取其中 200 组节理数据进行研究，以 更好地体现系统聚类过程． 表 1 为部分节理产状 数据． 利用地质数据分析软件 Dips 对 200 组节理 数据进行赤平投影，绘制产状等密度图( 图 1) ，结 果显示该测线区域节理裂隙大体可分为 A、B、C 和 D 四个优势组( 表 2) ． 由于结构面三维随机网格 模型和等效岩体模型的建立依赖于定量的节理产 状分类结果，故有必要计算获取节理产状分类的 更精确解． 表 1 节理产状数据表( 部分) Table 1 Part of joint attitude data 节理编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 倾角/( ° ) 77 68 39 79 74 70 73 83 65 68 倾向/( ° ) 322 80 136 319 85 134 319 319 310 288 图 1 节理产状等密度图及初步分组 Fig． 1 Contour plot of the joint plane and primary grouping 表 2 节理优势产状大体范围 Table 2 Ｒange of dominant orientations 产状 A 组 B 组 C 组 D 组 倾向/( °) 217 ～ 271 9 ～ 289 23 ～ 105 111 ～ 202 倾角/( °) 30 ～ 80 32 ～ 90 62 ～ 88 39 ～ 88 频数 25 69 52 54 2 节理产状系统聚类 2. 1 系统聚类基本原理 考虑 n( i = 1，2，…，n) 个样品 m( j = 1，2，…， m) 项指标的聚类问题，将观测数据 xij写成矩阵形式 ( Xij ) n × m : ·2·

第1期 吴顺川等：岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 ·3· 11 X12 X1m 系统聚类的依据。 X21 Xn 2 … Xim X=(X)nxm= Xa X2 Xim Xn2 (1) K=1 系统聚类方法的基本思想⑨是根据已定义好 的样品间距离和类间距离，将距离最近的两类合并 /x 为新类，再按特定距离准则重新并类，直至所有样品 图2节理面法向量的空间表示原理图 都并为一类.常用的样品间距离有Minkowski距离、 Fig.2 Principle scheme of spatial representation for the normal vec- 兰氏距离、马氏距离和相似系数等，本文样品采用 tor of the joint plane Euclidean距离（属于Minkowski距离），如下式： 2.3节理产状系统聚类结果 d= 1xg-x12,(i,i=1,2,…,n). 将200组节理面倾角/倾向数据转换并投影到 半球面（图3），利用Matlab软件调用相关内置函数， (2) 编制分步聚类m文件进行系统聚类分析，步骤 式中，da,为样品间距离，x,和x为样品指标观测 如下： 数据. (1)利用linkage(y,method')函数定义节理 类间距离也有不同的定义规则，如最小距离、最 样品间的连接，计算系统聚类树，其中‘method'取 大距离、重心距离、类平均距离、离差平方和距离等， 值为single'(最短距离法)： 本文取两类(G。,G,)中样品间距离最短者作为两类 (2)用cophenetic函数计算相关系数，评价聚 距离（即最小距离法），如下式： 类信息； (3) (3)用cluster函数创建分类 式中，D。为类间最小距离，G,和G,为合并类 系统聚类分析结果如表3，得到岩体节理产状 系统聚类法的基本步骤： 谱系如图4. (1)初始n个样品各成一类，类数k=n,第i类 G,=X0,距离记为D0; (2)令j=j+1,合并类间距离最小的两个类为 1.0 一新类，类数k=n-j+1: 0.8 (3)计算新类与其他类的距离，得新的距离矩 N 0.6 04 阵D0,重复步骤(2)和(3)直至k=1: 0.2 (4)根据合并过程中样品编号及类间距离历史 0 .8 画谱系聚类图，决定分类结果 0.4 .0 0 0.6 2.2节理产状空间表示 0.2 -0.4 -0.2 节理产状调查结果通常采用倾向(0°≤α≤ -0.8 0.6 -1.0 360)和倾角(0°≤B≤90)表示.由于聚类分析法 图3节理面法向量的空间表示 在α=0附近无法正确分类，这里按下式将(1，，B) Fig.3 Spatial representation for the normal vector of the joint plane 球面坐标系转换为(x,y,z)空间直角坐标系： 表3系统聚类分析结果 rt=sinβcosa, Table 3 Results of hierarchical cluster y sinBsina, (4) 产状 I组Ⅱ组 Ⅲ组 W组 z=cosB. 倾向/() 67w19223w53 203~3039~289 这样便可用节理面的法向量n=(sinBcosa, 倾角/() 39~89 62~87 30~80 43~90 sinBsina,cosβ)来表示其产状（图2），此时半球面上 频数 27 68 15 90 每一个点都对应一种产状，点间球面距离则构成了

第 1 期 吴顺川等: 岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 X = ( Xij ) n × m = x11 x12 … x1j … x1m x21 x22 … x2j … x1m     xi1 xi2 … xij … xim     xn1 xn2 … xnj … x                   nm ． ( 1) 系统聚类方法的基本思想［19］是根据已定义好 的样品间距离和类间距离，将距离最近的两类合并 为新类，再按特定距离准则重新并类，直至所有样品 都并为一类． 常用的样品间距离有 Minkowski 距离、 兰氏距离、马氏距离和相似系数等，本文样品采用 Euclidean 距离( 属于 Minkowski 距离) ，如下式: dii' = ∑ m j = 1 | xij － xi'j | 槡 2 ，( i，i' = 1，2，…，n) ． ( 2) 式中，dii' 为样品间距离，xij 和 xi'j 为样品指标观测 数据． 类间距离也有不同的定义规则，如最小距离、最 大距离、重心距离、类平均距离、离差平方和距离等， 本文取两类( Gp，Gq ) 中样品间距离最短者作为两类 距离( 即最小距离法) ，如下式: Dp，q = min X( i) ∈Gp，X( i') ∈Gq dii' ． ( 3) 式中，Dp，q为类间最小距离，Gp和 Gq为合并类． 系统聚类法的基本步骤: ( 1) 初始 n 个样品各成一类，类数 k = n，第 i 类 Gi = X( i) ，距离记为 D( j) ; ( 2) 令 j = j + 1，合并类间距离最小的两个类为 一新类，类数 k = n － j + 1; ( 3) 计算新类与其他类的距离，得新的距离矩 阵 D( j) ，重复步骤( 2) 和( 3) 直至 k = 1; ( 4) 根据合并过程中样品编号及类间距离历史 画谱系聚类图，决定分类结果． 2. 2 节理产状空间表示 节理产状调查结果通常采用倾 向 ( 0° ≤ α ≤ 360°) 和倾角( 0°≤β≤90°) 表示． 由于聚类分析法 在 α = 0°附近无法正确分类，这里按下式将( 1，α，β) 球面坐标系转换为( x，y，z) 空间直角坐标系: x = sinβcosα， y = sinβsinα， z = cosβ { ． ( 4) 这样 便 可 用 节 理 面 的 法 向 量 n = ( sinβcosα， sinβsinα，cosβ) 来表示其产状( 图 2) ，此时半球面上 每一个点都对应一种产状，点间球面距离则构成了 系统聚类的依据． 图 2 节理面法向量的空间表示原理图 Fig． 2 Principle scheme of spatial representation for the normal vec￾tor of the joint plane 2. 3 节理产状系统聚类结果 将 200 组节理面倾角/倾向数据转换并投影到 半球面( 图3) ，利用 Matlab 软件调用相关内置函数， 编制 分 步 聚 类 m 文件进行系统聚类分析，步 骤 如下: ( 1) 利用 linkage( Y，‘method’) 函数定义节理 样品间的连接，计算系统聚类树，其中‘method’取 值为‘single’( 最短距离法) ; ( 2) 用 cophenetic 函数计算相关系数，评价聚 类信息; ( 3) 用 cluster 函数创建分类． 系统聚类分析结果如表 3，得到岩体节理产状 谱系如图 4． 图 3 节理面法向量的空间表示 Fig． 3 Spatial representation for the normal vector of the joint plane 表 3 系统聚类分析结果 Table 3 Ｒesults of hierarchical cluster 产状 Ⅰ组 Ⅱ组 Ⅲ组 Ⅳ组 倾向/( °) 67 ～ 192 23 ～ 53 203 ～ 303 9 ～ 289 倾角/( °) 39 ～ 89 62 ～ 87 30 ～ 80 43 ～ 90 频数 27 68 15 90 ·3·

·4· 北京科技大学学报 第36卷 Ⅲ组 IV组 I组 1组 a=203-303 g=289°9 a-23°-530 =67°-192 B=30°-80° B=4390° B=62-87 f-39-89 0.30- 0.25 0.20 015 0.10 0.05 133195441681163614100173201351371396821826116654211514212416147118381047446159862564321387318787157 节理组编号 图4岩体节理产状谱系图 Fig.4 Hierarchical diagram of joint attitude 比较表2和表3可知：(1)系统聚类自动分组 与节理等密度图人为分组结果大体一致，同样可将 节理划分为4组，表明系统聚类分析结果能较好地 反映现场节理产状；(2)如图1和图5，经聚类分析 IV组 后，原属C组的C,部分被整体纳入D组，形成了系 组 统聚类的V组节理，C,部分则形成Ⅲ组节理，个别其 C区域 他样点（如a和b)的组别也有类似变化，事实上， C1、a和b归属的判别存在一定的模糊性，系统聚类 提供的类间距离量化计算则有效地消除了人为判别 Ⅲ组 的模糊性.结合等密度图，节理产状的系统聚类分 C,区城 组结果如图5. 2.4概率分布模型有效性验证 以第Ⅳ组节理为例，将该组倾角划分为11组， 图5节理产状等密度图及系统聚类分组 倾向划分为8组，分别绘制Ⅳ组节理倾角、倾向概率 Fig.5 Contour plot of the joint plane and hierarchical cluster grouping 密度直方图（图6），概率密度基本符合正态分布. 0.04 4=69.19 0.04 4=321.5 0=11.41 =11.49 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0455055606$707580859095 倾角) 98029030031032030340350360 倾向) (a) 图6节理产状分布直方图及概率密度曲线(V组).()倾角：(b)倾向 Fig.6 Distribution histogram and probability density curve of joint attitude (Group I):(a)incidence:(b)inclination 按正态分布密度函数表达式(5)对节理产状数 倾角、倾向落入区间(m4-1,m)(k=1,2,…,t）的 据进行拟合，按相应概率分布函数表达式(6)求得 概率：

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 图 4 岩体节理产状谱系图 Fig． 4 Hierarchical diagram of joint attitude 比较表 2 和表 3 可知: ( 1) 系统聚类自动分组 与节理等密度图人为分组结果大体一致，同样可将 节理划分为 4 组，表明系统聚类分析结果能较好地 反映现场节理产状; ( 2) 如图 1 和图 5，经聚类分析 后，原属 C 组的 C1部分被整体纳入 D 组，形成了系 统聚类的Ⅳ组节理，C2部分则形成Ⅲ组节理，个别其 他样点( 如 a 和 b) 的组别也有类似变化，事实上， C1、a 和 b 归属的判别存在一定的模糊性，系统聚类 提供的类间距离量化计算则有效地消除了人为判别 的模糊性． 结合等密度图，节理产状的系统聚类分 组结果如图 5． 2. 4 概率分布模型有效性验证 以第Ⅳ组节理为例，将该组倾角划分为 11 组， 倾向划分为 8 组，分别绘制Ⅳ组节理倾角、倾向概率 密度直方图( 图 6) ，概率密度基本符合正态分布． 图 5 节理产状等密度图及系统聚类分组 Fig． 5 Contour plot of the joint plane and hierarchical cluster grouping 图 6 节理产状分布直方图及概率密度曲线( Ⅳ组) ． ( a) 倾角; ( b) 倾向 Fig． 6 Distribution histogram and probability density curve of joint attitude ( Group Ⅳ) : ( a) incidence; ( b) inclination 按正态分布密度函数表达式( 5) 对节理产状数 据进行拟合，按相应概率分布函数表达式( 6) 求得 倾角、倾向落入区间( mk － 1，mk ) ( k = 1，2，…，r) 的 概率: ·4·

第1期 吴顺川等：岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 5· fx)=1 (5) n4条节理，则x检验统计量如下式： G 2T Ps（mk-1<D<m)= fn io) (7) NPe 6) 进一步设定置信度为α，查表求X2(r-2),若 X<X(r-2),则正态分布模型成立，否则不成立 式中，f(x)为密度函数，D为倾角/倾向，μ为均值，σ 根据上述思路，分别求解Ⅳ组节理倾角/倾 为标准差，P:为倾角、倾向落入区间(m-1,m,)的 向概率密度在正态分布下的u、X和X(r-2) 概率. 值（表4）.结果表明，采用正态分布描述N组节 假设本组节理条数为N,组内第k个区间存在 理是有效的. 表4X检验参数计算表 Table 4 Parameter calculation table of y2 test 参数 r x2(r-2) 检验结果 倾向 8 0.05 321.50 11.49 11.87 12.592 有效 顿角 11 0.05 69.19 11.41 14.13 16.919 有效 同理，分别验证了均匀分布描述I组节理、正态 (危险节理分别占I组节理的26.92%和 分布描述Ⅱ、Ⅲ组节理的有效性，验证过程不再 23.08%)与V组节理组合产生弯曲倾倒（危险节 赘述. 理占Ⅳ组节理的16.48%)的可能性最大，后续建 综上所述，通过对岩体节理产状进行系统聚类 立节理地质参数概率模型应根据边坡对不同节理 分析，得出了岩体节理精确分组，并对各组节理概率 组不稳定效应的影响调整概率模型参数，从而获 分布模型进行卡方检验，为结构面三维随机网格模 得更准确的等效岩体模型. 型的建立提供了有效的节理产状概率分布模型. 4结论 3基于聚类结果的边坡失稳模式分析 (1)通过构造空间直角坐标系，采用基于Eu- 基于岩体节理聚类分析结果，结合边坡倾向 clidean距离度量标准的系统聚类法对反映节理 (250)、倾角(43)和摩擦角(30)参数，采用赤 产状的单位法向量进行分类，选用合适的分布函 平极射投影法进一步分析可能边坡失稳模式.对 数描述聚类所得各组节理，并对各组别概率分布 平面滑动、楔体滑动、弯曲倾倒和直接倾倒等失 模型进行卡方检验.结果表明，采用系统聚类法 稳模式进行图解分析（见图7），可得四种形式下 可对岩体节理产状进行量化分组，在较好反映现 边坡节理统计结果.图中红色阴影区域表示节理 场节理产状的同时，有效消除人为判别的模糊 产状主要危险区域，黄色阴影区域表示次要危险 性，弥补了常规统计方法只能定性分类的不足， 区域. 同时，系统聚类法实现难度小，可方便地应用于 分析赤平极射投影与统计结果可知：(1)该边 实际工程. 坡发生斜向倾倒的可能性最大（危险节理占全部 (2)基于准确直观的边坡岩体节理系统聚类分 节理的14.58%)，发生平面滑动和正向倾倒的可 析结果，结合倾向、倾角和摩擦角等边坡设计参数， 能性最小（危险节理分别占全部节理的3.5%和 采用赤平极射投影法进行边坡失稳模式识别，确定 5.38%),边坡灾害控制应重点防止边坡斜向倾 边坡及特定节理组最可能的失稳形式，为调整边坡 倒；(2)结合系统聚类与边坡失稳模式分析，可知 设计参数，控制边坡灾害，建立更准确的结构面三维 坡面与I组节理组合产生直接倾倒和平面滑动 随机网格模型和等效岩体模型提供依据

第 1 期 吴顺川等: 岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 f( x) = 1 σ 槡2π exp [ － ( D － μ) 2 2σ2 ] ， ( 5) pk ( mk － 1 ＜ D ＜ mk ) = ∫ mk mk－1 1 σ 槡2π exp [ － ( D － μ) 2 2σ2 ] dx． ( 6) 式中，f( x) 为密度函数，D 为倾角/倾向，μ 为均值，σ 为标准差，pk 为倾角、倾向落入区间( mk － 1，mk ) 的 概率． 假设本组节理条数为 N，组内第 k 个区间存在 nk条节理，则 χ 2 检验统计量如下式: χ 2 = ∑ r k = 1 ( nk － Npk ) 2 Npk ． ( 7) 进一步设定置信度为 α，查表求 χ 2 α ( r － 2) ，若 χ 2 ＜ χ 2 α ( r － 2) ，则正态分布模型成立，否则不成立． 根据上 述 思 路，分 别 求 解Ⅳ组 节 理 倾 角 /倾 向概率密度在正态分布下的 μ、σ、χ 2 和 χ 2 α ( r － 2 ) 值( 表 4) ． 结果表明，采用正态分布描述Ⅳ组节 理是有效的． 表 4 χ 2检验参数计算表 Table 4 Parameter calculation table of χ 2 test 参数 r α μ σ χ 2 χ 2 α ( r － 2) 检验结果 倾向 8 0. 05 321. 50 11. 49 11. 87 12. 592 有效 倾角 11 0. 05 69. 19 11. 41 14. 13 16. 919 有效 同理，分别验证了均匀分布描述Ⅰ组节理、正态 分布 描 述Ⅱ、Ⅲ组节理的有效性，验 证 过 程 不 再 赘述． 综上所述，通过对岩体节理产状进行系统聚类 分析，得出了岩体节理精确分组，并对各组节理概率 分布模型进行卡方检验，为结构面三维随机网格模 型的建立提供了有效的节理产状概率分布模型． 3 基于聚类结果的边坡失稳模式分析 基于岩体节理聚类分析结果，结合边坡倾向 ( 250°) 、倾角( 43°) 和摩擦角( 30°) 参数，采用赤 平极射投影法进一步分析可能边坡失稳模式． 对 平面滑动、楔体滑动、弯曲倾倒和直接倾倒等失 稳模式进行图解分析( 见图 7 ) ，可得四种形式下 边坡节理统计结果． 图中红色阴影区域表示节理 产状主要危险区域，黄色阴影区域表示次要危险 区域． 分析赤平极射投影与统计结果可知: ( 1) 该边 坡发生斜向倾倒的可能性最大( 危险节理占全部 节理的 14. 58% ) ，发生平面滑动和正向倾倒的可 能性最小( 危险节理分别占全部节理的 3. 5% 和 5. 38% ) ，边坡灾害控制应重点防止边坡斜向倾 倒; ( 2) 结合系统聚类与边坡失稳模式分析，可知 坡面与Ⅰ组节理组合产生直接倾倒和平面滑动 ( 危险节理分别占 Ⅰ 组 节 理 的 26. 92% 和 23. 08% ) 与Ⅳ组节理组合产生弯曲倾倒( 危险节 理占Ⅳ组节理的 16. 48% ) 的可能性最大，后续建 立节理地质参数概率模型应根据边坡对不同节理 组不稳定效应的影响调整概率模型参数，从而获 得更准确的等效岩体模型． 4 结论 ( 1) 通过构造空间直角坐标系，采用基于 Eu￾clidean 距离度量标准的系统聚类法对反映节理 产状的单位法向量进行分类，选用合适的分布函 数描述聚类所得各组节理，并对各组别概率分布 模型进行卡方检验． 结果表明，采用系统聚类法 可对岩体节理产状进行量化分组，在较好反映现 场节理 产 状 的 同 时，有效消除人为判别的模糊 性，弥补了常规统计方法只能定性分类的不足． 同时，系统聚类法实现难度小，可方便地应用于 实际工程． ( 2) 基于准确直观的边坡岩体节理系统聚类分 析结果，结合倾向、倾角和摩擦角等边坡设计参数， 采用赤平极射投影法进行边坡失稳模式识别，确定 边坡及特定节理组最可能的失稳形式，为调整边坡 设计参数，控制边坡灾害，建立更准确的结构面三维 随机网格模型和等效岩体模型提供依据． ·5·

6 北京科技大学学报 第36卷 组 组 失稳模式 危险区域全部区域危险区域所占比例/% 失稳模式 危险区城全部区域危险区域所占比例% 平面滑动所有节理 6 200 3.00 楔体滑动（所有节理）1826 19890 9.18 平面滑动组节理 6 23.08 (a) IV组 组 失稳模式 危险区域全部区域危险区域所占比例/% 失稳模式 危险区域全部区域危险区城所占比例/% 弯曲倾倒（所有节理 16 200 8.00 正向倾倒（相交区域） 1071 19890 5.38 弯曲倾倒IV组节理) 91 16.48 倾向倾倒到（相交区域 2899 19890 14.58 弯曲倾倒组节理) 1 15 6.67 倾倒基准面（所有节理） 1 200 3.50 倾倒基准面组节理) > 26 26.92 e 图7边坡失稳模式分析图.(a)平面滑动：(b)楔体滑动：（©）弯曲倾倒：(d)直接倾倒 Fig.7 Graphic analysis results of slope instability modes:(a)planar sliding:(b)wedge sliding:(c)flexural toppling:(d)direct dumping 参考文献 应用.岩石力学与工程学报，2010,29(7)：1435) [Cai M F,He M C,Liu D Y.Rock Mechanics and Engineering 4] Song X C,Xu W Y.Numerical model of three-timensional dis- Beijing:Science Press,2002 crete fracturenetwork for seepage in fractured mocks (I):genera- (蔡美峰，何满潮，刘冬燕.岩石力学与工程.北京：科学出 tion of fracture network.Chin J Rock Mech Eng,2004,23 (12) 版社，2002) 2015 Sun Y K,Gu X.Application of Stereographic Horizon Projection in (宋晓晨，徐卫亚.裂隙岩体渗流模拟的三维离散裂隙网络数 Rock Engineering Geomechanics.Beijing:Science Press,1980 值模型()：裂隙网络的随机生成.岩石力学与工程学报， (孙玉科，古讯.赤平极射投影在岩体工程地质力学中的应 2004,23(12):2015) 用.北京：科学出版社，1980) Chen J P.Lu B.Wang L K,et al.Automatie search for complex B]Wu S C.Zhou Y,Gao LL,et al.Application of equivalent rock unstable rock blocks and the judgment of unstability mode:based mass technique to rock mass engineering.Chin Rock Mech Eng, on 3d network simulation of random fractures.Chin Rock Mech 2010,29(7):1435 Eng,2003,22(7):1126 (吴顺川，周喻，高利立，等.等效岩体技术在岩体工程中的 (陈剑平，卢波，王良奎，等。复杂不稳定块体的自动搜索及

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 图 7 边坡失稳模式分析图． ( a) 平面滑动; ( b) 楔体滑动; ( c) 弯曲倾倒; ( d) 直接倾倒 Fig． 7 Graphic analysis results of slope instability modes: ( a) planar sliding; ( b) wedge sliding; ( c) flexural toppling; ( d) direct dumping 参 考 文 献 ［1］ Cai M F，He M C，Liu D Y． Ｒock Mechanics and Engineering． Beijing: Science Press，2002 ( 蔡美峰，何满潮，刘冬燕． 岩石力学与工程． 北京: 科学出 版社，2002) ［2］ Sun Y K，Gu X． Application of Stereographic Horizon Projection in Ｒock Engineering Geomechanics． Beijing: Science Press，1980 ( 孙玉科，古讯． 赤平极射投影在岩体工程地质力学中的应 用． 北京: 科学出版社，1980) ［3］ Wu S C，Zhou Y，Gao L L，et al． Application of equivalent rock mass technique to rock mass engineering． Chin J Ｒock Mech Eng， 2010，29( 7) : 1435 ( 吴顺川，周喻，高利立，等． 等效岩体技术在岩体工程中的 应用． 岩石力学与工程学报，2010，29( 7) : 1435) ［4］ Song X C，Xu W Y． Numerical model of three-dimensional dis￾crete fracture-network for seepage in fractured rocks ( I) : genera￾tion of fracture network． Chin J Ｒock Mech Eng，2004，23( 12) : 2015 ( 宋晓晨，徐卫亚． 裂隙岩体渗流模拟的三维离散裂隙网络数 值模型( I) : 裂隙网络的随机生成． 岩石力学与工程学报， 2004，23( 12) : 2015) ［5］ Chen J P，Lu B，Wang L K，et al． Automatic search for complex unstable rock blocks and the judgment of unstability mode: based on 3d network simulation of random fractures． Chin J Ｒock Mech Eng，2003，22( 7) : 1126 ( 陈剑平，卢波，王良奎，等． 复杂不稳定块体的自动搜索及 ·6·

第1期 吴顺川等：岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 7· 其失稳方式判断：基于随机不连续面三维网格模型.岩石力 tion.Rock Soil Mech,2008,29(Suppl)533 学与工程学报，2003,22(7)：1126) (孙宪春，万力，蒋小伟.节理产状分组的K均值聚类分析 [6]Cai M F,Wang P,Zhao K,et al.Fuzzy C-means cluster analysis 及其分组结果的费歇尔分布验证法.岩土力学，2008,29 based on genetic algorithm for automatic identification of joint sets (增刊)：533) Chin J Rock Mech Eng,2005,24(3):371 [13]Deng J H,Chen B L,Wu X N,et al.Self-organized cluster a- (蔡美峰，王鹏，赵奎，等.基于遗传算法的岩体结构面的模 nalysis on texture plane occurrence of rock mass.J Yangtze River 糊C均值聚类方法.岩石力学与工程学报，2005,24(3)： Sci Res Inst,2011(3)50 371) (邓继辉，陈柏林，吴小宁，等.岩体结构面产状的自组织聚 Mahtab M A,Yegulalp T M.A rejection criterion for definition of 类分析.长江科学院院报，2011(3)：50) clusters in orientation data /Proceedings of the 22nd Symposium [14]Jiang D Y,Zhu HH,Du Y G.Analysis of Slope Stability and on Rock Mechanics.New York:American Institute of Mining Met- Slide Control.Chongqing:Chongging University Press,2005 allurgy and Petroleum Engineers,1982 (姜德义，朱合华，杜云贵。边坡稳定性分析与滑坡防治.重 Zhao K,Cai M F.Application of fuzzy C-means cluster algorithm in 庆：重庆大学出版社，2005) identification of structural plane group.Met Mine,2002(1):13 [15]Hu B,Huang R Q.Collapse mechanism and treatment measures (赵奎，蔡美峰.模糊C均值聚类算法在结构面组识别中的应 of slopes with interbeddings of soft and hard rocks.J Eng Geol, 用.金属矿山，2002(1)：13) 2009,17(2):200 ]Hammah R E,Curran J H.Fuzzy cluster algorithm for the auto- (胡斌，黄润秋.软硬岩互层边坡崩塌机理及治理对策研究 matic identification of joint sets.Int J Rock Mech Min Sci,1998, 工程地质学报，2009,17(2)：200) 35(7):889 16] Chen Z Y,Zhang J H,Wang X G.A simplified method for sta- [10]Zhou Y X,Zhou Z F,Sun Q G.Synthetical fuzzy clustering a- bility analysis of rock slopes.Chin J Geotech Eng,1996,18 nalysis for joints occurrence of rock mass.Chin J Rock Mech (6):92 Eng,2005,24(13):2283 (陈祖煜，张建红，汪小刚.岩石边坡倾倒稳定分析的简化 (周玉新，周志芳，孙其国.岩体结构面产状的综合模糊聚 方法.岩土工程学报，199%，18(6)：92) 类分析.岩石力学与工程学报，2005,24(13)：2283) 07] Hudson JA,Harrison J P.Engineering Rock Mechanics:An In- [1]Fan L,Wang L Q,Tang H M.Dynamic cluster analysis of dis- troduction to the Principles.New York:Pergamon Press,1997 continuity orientations of jointed rock mass.Rock Soil Mech, [18]Goodman R E.Introduction to Rock Mechanics.New York:John 2007,28(11):2405 Wiley and Sons,1980:254 (范雷，王亮清，唐辉明.节理岩体结构面产状的动态聚类 9]Zhang ZZ,Xu X Z.Applied Mathematical Statistics.Beijing: 分析.岩土力学，2007,28(11)：2405) China Machine Press,2008 [12]Sun X C,Wan L,Jiang X W.Effective categorization of joints (张忠占，徐兴忠.应用数理统计.北京：机械工业出版社， by K-means and cluster analysis its verification by Fisher distribu- 2008)

第 1 期 吴顺川等: 岩体节理产状系统聚类与边坡失稳模式分析 其失稳方式判断: 基于随机不连续面三维网格模型． 岩石力 学与工程学报，2003，22( 7) : 1126) ［6］ Cai M F，Wang P，Zhao K，et al． Fuzzy C-means cluster analysis based on genetic algorithm for automatic identification of joint sets． Chin J Ｒock Mech Eng，2005，24( 3) : 371 ( 蔡美峰，王鹏，赵奎，等． 基于遗传算法的岩体结构面的模 糊 C 均值聚类方法． 岩石力学与工程学报，2005，24 ( 3) : 371) ［7］ Mahtab M A，Yegulalp T M． A rejection criterion for definition of clusters in orientation data / / Proceedings of the 22nd Symposium on Ｒock Mechanics． New York: American Institute of Mining Met￾allurgy and Petroleum Engineers，1982 ［8］ Zhao K，Cai M F． Application of fuzzy C-means cluster algorithm in identification of structural plane group． Met Mine，2002( 1) : 13 ( 赵奎，蔡美峰． 模糊 C 均值聚类算法在结构面组识别中的应 用． 金属矿山，2002( 1) : 13) ［9］ Hammah Ｒ E，Curran J H． Fuzzy cluster algorithm for the auto￾matic identification of joint sets． Int J Ｒock Mech Min Sci，1998， 35( 7) : 889 ［10］ Zhou Y X，Zhou Z F，Sun Q G． Synthetical fuzzy clustering a￾nalysis for joints occurrence of rock mass． Chin J Ｒock Mech Eng，2005，24( 13) : 2283 ( 周玉新，周志芳，孙其国． 岩体结构面产状的综合模糊聚 类分析． 岩石力学与工程学报，2005，24( 13) : 2283) ［11］ Fan L，Wang L Q，Tang H M． Dynamic cluster analysis of dis￾continuity orientations of jointed rock mass． Ｒock Soil Mech， 2007，28( 11) : 2405 ( 范雷，王亮清，唐辉明． 节理岩体结构面产状的动态聚类 分析． 岩土力学，2007，28( 11) : 2405) ［12］ Sun X C，Wan L，Jiang X W． Effective categorization of joints by K-means and cluster analysis its verification by Fisher distribu￾tion． Ｒock Soil Mech，2008，29( Suppl) : 533 ( 孙宪春，万力，蒋小伟． 节理产状分组的 K 均值聚类分析 及其分组结果的费歇尔分布验证法． 岩土力学，2008，29 ( 增刊) : 533) ［13］ Deng J H，Chen B L，Wu X N，et al． Self-organized cluster a￾nalysis on texture plane occurrence of rock mass． J Yangtze Ｒiver Sci Ｒes Inst，2011( 3) : 50 ( 邓继辉，陈柏林，吴小宁，等． 岩体结构面产状的自组织聚 类分析． 长江科学院院报，2011( 3) : 50) ［14］ Jiang D Y，Zhu H H，Du Y G． Analysis of Slope Stability and Slide Control． Chongqing: Chongqing University Press，2005 ( 姜德义，朱合华，杜云贵． 边坡稳定性分析与滑坡防治． 重 庆: 重庆大学出版社，2005) ［15］ Hu B，Huang Ｒ Q． Collapse mechanism and treatment measures of slopes with interbeddings of soft and hard rocks． J Eng Geol， 2009，17( 2) : 200 ( 胡斌，黄润秋． 软硬岩互层边坡崩塌机理及治理对策研究． 工程地质学报，2009，17( 2) : 200) ［16］ Chen Z Y，Zhang J H，Wang X G． A simplified method for sta￾bility analysis of rock slopes． Chin J Geotech Eng，1996，18 ( 6) : 92 ( 陈祖煜，张建红，汪小刚． 岩石边坡倾倒稳定分析的简化 方法． 岩土工程学报，1996，18( 6) : 92) ［17］ Hudson J A，Harrison J P． Engineering Ｒock Mechanics: An In￾troduction to the Principles． New York: Pergamon Press，1997 ［18］ Goodman Ｒ E． Introduction to Ｒock Mechanics． New York: John Wiley and Sons，1980: 254 ［19］ Zhang Z Z，Xu X Z． Applied Mathematical Statistics． Beijing: China Machine Press，2008 ( 张忠占，徐兴忠． 应用数理统计． 北京: 机械工业出版社， 2008) ·7·