什么是分岔 主持人:好,请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告,深入浅出的学术报告,叫做“什么是分岔”。 好,有请 武际可:我今天讲的是关于分岔的问题。分岔在英文叫做 Bifurcation,这个词在中文里头大概有六种 翻译,我看到的有六种翻译,每个含义用词都用得不一样,有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等 这个概念最近几十年大概在自然科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多,比如说化学、物理、力学、 数学都很多,还有气象学等等吧,说明它比较重要。那么,这个名词不像刚才主持人说的道路分岔那么具体, 它是一个抽象概念,为了说明这个概念,我们这样来讲,先从一个例子开始,讲一个例子。这是一个圆,上 头有一个光滑的环,对吧?我把它这个大圆垂直放的时候,那么这个小环总是在下头平衡,大家看清楚了 我怎么放它都是平衡的,最后滑在下头,现在我让这个环转起来,对吧,这样转,我给这个圆环这样一个角 速度,转起来以后,如果我这个角速度很小,大家看了,这个小环呢,还是呆在这个底下,这个位置总是 个平衡位置,等我转的这个角速度大到某一定的程度,大家注意看,现在这个环就跑在另外一个地方平衡 如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话,那么我们就可以列出一个平衡方程来,这个很简单,这个小 环受三个力,一个是离心力、一个是重力、还有一个大环给它的约束反力,这两个力的正切应该就等于这个 反力,所以那个方程很容易写出来。写出这个方程,带星号的那个就是这个平衡方程,两个惯性力和重力之 比就等于那个约束反力,约束反力的角度,这个方程把它上头的质量和下头的质量消掉以后就得到下头 分解因式正好是两个,一个是sin0:另外一个就是括弧里头这个,这个方程有两个解,一个解就是上头的 θ等于零,就是永远这个角度等于零,放在这个位置是一个平衡点,还有一个解呢,是下头那个表示的这个 解,下头那个式子表示呢,就是我这个角速度使得括弧里头的那一项变成一的时候,θ就开始,从零开始要 往下飞了,在一定的角速度就离开原来的平衡点,然后跑到另外一个平衡点了。我们看到这个问题的解呢 实际上是两个解,两支,两支都随着Ω变,一支就是0永远等于零,就是这一支,另外一支是那一支,这边 是对称的,另外一边我没有画,这两支的焦点T就是分岔点,我们就说的分岔点。这个问题是一个生活当中 我们应该看到的最常见的一个分岔问题,那么我们就问,一个分岔问题需要一些什么条件呢?我把它归结有 需要三个条件:第一个条件,要有一个参数系统描述这个客观系统的状态,我们这个例子里头就是这个角度 这个角度不同,平衡的位置就不同:第二个,要有一个描述这个系统运动的参数,我刚才说的这个9,这个 角速度,要有这么一个参数;第三个,要有一个平衡方程,要有控制整个系统发展过程的一个平衡方程。 刚才我们看到的带星号的那个方程就是这个方程。那么我们一条一条来看。第一条这个参数呢,我这个 问题、这个参数很简单,就是一个0,就是这个角度。一般的问题里头,这个参数可以多个,比如说我下头 还有一个环呢?就可能有两个θ,两个角度。这个不仅如此,我要描述一架飞机的话,可能是很多的角度,1 什么是分岔 主持人：好，请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告，深入浅出的学术报告，叫做“什么是分岔”。 好，有请。 武际可：我今天讲的是关于分岔的问题。分岔在英文叫做 Bifurcation，这个词在中文里头大概有六种 翻译，我看到的有六种翻译，每个含义用词都用得不一样，有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等。 这个概念最近几十年大概在自然科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多，比如说化学、物理、力学、 数学都很多，还有气象学等等吧，说明它比较重要。那么，这个名词不像刚才主持人说的道路分岔那么具体， 它是一个抽象概念，为了说明这个概念，我们这样来讲，先从一个例子开始，讲一个例子。这是一个圆，上 头有一个光滑的环，对吧？我把它这个大圆垂直放的时候，那么这个小环总是在下头平衡，大家看清楚了， 我怎么放它都是平衡的，最后滑在下头，现在我让这个环转起来，对吧，这样转，我给这个圆环这样一个角 速度，转起来以后，如果我这个角速度很小，大家看了，这个小环呢，还是呆在这个底下，这个位置总是一 个平衡位置，等我转的这个角速度大到某一定的程度，大家注意看，现在这个环就跑在另外一个地方平衡， 如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话，那么我们就可以列出一个平衡方程来，这个很简单，这个小 环受三个力，一个是离心力、一个是重力、还有一个大环给它的约束反力，这两个力的正切应该就等于这个 反力，所以那个方程很容易写出来。写出这个方程，带星号的那个就是这个平衡方程，两个惯性力和重力之 比就等于那个约束反力，约束反力的角度，这个方程把它上头的质量和下头的质量消掉以后就得到下头，一 分解因式正好是两个，一个是 sinθ；另外一个就是括弧里头这个，这个方程有两个解，一个解就是上头的 θ等于零，就是永远这个角度等于零，放在这个位置是一个平衡点，还有一个解呢，是下头那个表示的这个 解，下头那个式子表示呢，就是我这个角速度使得括弧里头的那一项变成一的时候，θ就开始，从零开始要 往下飞了，在一定的角速度就离开原来的平衡点，然后跑到另外一个平衡点了。我们看到这个问题的解呢， 实际上是两个解，两支，两支都随着Ω变，一支就是θ永远等于零，就是这一支，另外一支是那一支，这边 是对称的，另外一边我没有画，这两支的焦点 T 就是分岔点，我们就说的分岔点。这个问题是一个生活当中 我们应该看到的最常见的一个分岔问题，那么我们就问，一个分岔问题需要一些什么条件呢？我把它归结有 需要三个条件：第一个条件，要有一个参数系统描述这个客观系统的状态，我们这个例子里头就是这个角度， 这个角度不同，平衡的位置就不同；第二个，要有一个描述这个系统运动的参数，我刚才说的这个Ω，这个 角速度，要有这么一个参数；第三个，要有一个平衡方程，要有控制整个系统发展过程的一个平衡方程。 刚才我们看到的带星号的那个方程就是这个方程。那么我们一条一条来看。第一条这个参数呢，我这个 问题、这个参数很简单，就是一个θ，就是这个角度。一般的问题里头，这个参数可以多个，比如说我下头 还有一个环呢？就可能有两个θ，两个角度。这个不仅如此，我要描述一架飞机的话，可能是很多的角度