厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn s3.10线性方程组的解 教学目的和要求理解并掌握非齐次线性方程组解的存在性,唯一性和解的形 式的判别方法,掌握齐次线性方程组的解空间以及非齐次线性方程组解的结构 掌握用齐次线性方程组的解空间刻画矩阵的秩以及应用于证明一些关于矩阵的秩 的命题. 我们考虑n个未知数m个方程式构成的线性方程组 a131+a12x2+…+a1nxn=b1 a211+a222+…+a2nxn=b2 amlr1+am2 T2+.+amnOn=bm b1 记它的系数矩阵为A,B b 则(*)可表为 AX=B 记A=(a1,a2,……,an),A=(a1,a2,……,an,B).则(*)可表为 B=x1a1+x202……+anQ 易知,(*)可表为 L(a1,a2,…,an)=L(a1,a2,…,an,B) 矩阵A=(A,B,称为(*)的增广矩阵 定理1在线性方程组(*)中, (1)若r(4)≠r(A),则方程组无解 (2)若若r(A)=r(4)=n,则方程组只有唯一解 (3)r(4)=r(A)<n,则方程组有无穷多个解￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.10 ✑✒✓✔✕✖✗ ✘✙ ✚✛✜✢✣ ✤ ✗✥✦✧★✩✪✑✒✓✔✕✗✖✫✬✒✭✮✯✒✰✗✖✱ ✲ ✖✳✴✓✵✭✦✧✩✪✑✒✓✔✕✖✗✶✷✸✹★✩✪✑✒✓✔✕✗✖✺✻✼ ✦✧✽✩✪✑✒✓✔✕✖✗✶✷✾✿❀❁✖❂✸✹❃✽❄❅❆✯❇❈❄❀❁✖❂ ✖❉❊✼ ❋●❍■ n ❏❑▲▼ m ❏✓✔✲ ✻◆✖✑✒✓✔✕    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (∗) ❖P✖◗▼❀❁❘ A, β =   b1 b2 . . . bm   , ❙ (∗) ❚❯❘ AX = β, ❖ A = (α1, α2, · · · , αn), Ae = (α1, α2, · · · , αn, β). ❙ (∗) ❚❯❘ β = x1α1 + x2α2 · · · + anαn, ❱ ▲✭ (∗) ❚❯❘ L(α1, α2, · · · , αn) = L(α1, α2, · · · , αn, β). ❀❁ Ae = (A, β), ❲ ❘ (∗) ✖❳❨❀❁✼ ❩❬ 1 ✬✑✒✓✔✕ (∗) ❭✭ (1) ❪ r(Ae) 6= r(A), ❙✓✔✕❫✗❴ (2) ❪❪ r(Ae) = r(A) = n, ❙✓✔✕❵❛✮✯✗❴ (3) r(Ae) = r(A) < n, ❙✓✔✕❛❫❜❝❏✗✼ 1