2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1.6隐函数与反函数 定义18设方程F(x,y)=0在平面上某邻域N{xn,yn),6}内满足一定的正则条件(参 见多元函数的内容),则可以确定函数关系y=y(x),使得F(x,y(x))=0,这时称 y=y(x)为在某邻域N{(xn,Jn,谷}内由F(x,y)=0确定的的隐函数。 这里X-Y平面上点(xnFn)的邻域N《x,Jn),δ}系指平面点集 Nx,y,2}=(x,)∈Rx-x)+(y-,)<62,b>0 (2.1) 例如,园的方程x2+y2-1=0在圆周x2+y2=1上除去两点(-10)与(1,0)之外的 任意点的邻域内均可确定一个单值函数y=y(x),如在点(,)的某邻域内可以确定 函数y=√-x2,(<,而在点(,2,2)的某邻域内可以确定函数 定义1.9设函数y=∫(x)定义域为X,值域为y,若的y∈Y存在一个函数g(y)使得有 唯一的点x∈X满足x=g(y),则称x=g(y)为y=f(x)的反函数。 注:(1)在某些场合,常把y=f(x)的反函数记为∫(x)或g(x),此时己重新把x视为 自变量。在反函数记号的使用中,一定要分清是否需要换变量记号 (2)互为反函数的两个函数曲线关于直线y=x对称。 (3)y=∫(x)与其反函数g(x)的定义域与值域具有对偶性。即y=∫(x)的定义域必 为g(x)的值域,而y=∫(x)的值域必为g(x)的定义域。 (4)f(x)与g(x)互为为反函数,且有∫(g(x))=x与g(f(x)=x。 1.7参数表达的函数 定义1.9若对于参变量t∈T的每一个实数值都可由方程 x=x(t tET y=y(o) 唯一确定点(x,y)与t∈T对应,则称该方程为实函数y=y(x)或x=x(y)的参数方程。 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系,只是通过参变量t在变量x,y之间建 立了某种复合函数关系。即y=y((x),其中t=1(x)是x=x(1)的反函数 例1.10建立函数y=x2的参数方程。 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 1．6 隐函数与反函数 定义 1.8 设方程 F(x, y) = 0 在平面上某邻域 N{(x0 , y0 ),δ }内满足一定的正则条件（参 见多元函数的内容），则可以确定函数关系 y = y(x) ，使得 ，这时称 为在某邻域 F(x, y(x)) ≡ 0 y = y(x) N{ } (x0 , y0 ),δ 内由 F(x, y) = 0 确定的的隐函数。 这里 X −Y 平面上点(x0 , y0 ) 的δ 邻域 N{(x0 , y0 ),δ }系指平面点集 { } { 0} 2 2 0 2 0 2 N (x0 , y0 ),δ = (x, y)∈ R (x − x ) + ( y − y ) < δ ,δ > （2.1） 例如，园的方程 1 0在圆周 上除去两点 2 2 x + y − = 1 2 2 x + y = (−1,0)与 之外的 任意点的邻域内均可确定一个单值函数 (1,0) y = y(x)，如在点( , ) 2 2 2 2 的某邻域内可以确定 函 数 1 , ( ) 2 y = − x x < 1 ，而在点 ( , ) 2 2 2 2 − 的某邻域内可以确定函数 1 , 1 ( ) 2 y = − − x x < 。 定义 1.9 设函数 y = f (x) 定义域为 X ，值域为Y ，若∀y ∈Y 存在一个函数 使得有 唯一的点 满足 ，则称 g( y) x ∈ X x = g( y) x = g( y)为 y = f (x) 的反函数。 注：（1）在某些场合，常把 的反函数记为 或 ，此时已重新把 视为 自变量。在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。 y = f (x) f (x) −1 g(x) x （2）互为反函数的两个函数曲线关于直线 y = x 对称。 （3） y = f (x) 与其反函数 g(x) 的定义域与值域具有对偶性。即 y = f (x) 的定义域必 为 g(x) 的值域，而 y = f (x) 的值域必为 g(x) 的定义域。 （4） f (x) 与 g(x) 互为为反函数，且有 f (g(x)) = x与 g( f (x)) = x。 1．7 参数表达的函数 定义 1.9 若对于参变量 t ∈T 的每一个实数值都可由方程 t T y y t x x t ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) (2.2) 唯一确定点(x, y)与 t ∈T 对应，则称该方程为实函数 y = y(x)或 x = x( y)的参数方程。 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系，只是通过参变量 t 在变量 x, y 之间建 立了某种复合函数关系。即 y = y(t(x)) ，其中t = t(x) 是 x = x(t) 的反函数。 例 1．10 建立函数 的参数方程。 2 y = x 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785