→a=k(=12 ∥B 几个有关的定理 定理1m个n维向量a1=(a1,a12,…,a1n),a2=(a21,a2…,a2n)…, an=(am1,am2,;an)线性相关分→以k,k2…,kn为未知量的齐次线性方程组 k=0 k1+a2nk2+…+ ak=0 有非零解(4)向量式是k1a1+k2a2+…+knam=O的坐标表示式) 推论1:n个n维向量a=(a12a12…,an)(i=1,2,…,n) a 线性相关← 21a22 a2n=0 定理2m个n维向量a1,a2,…,an(m>2)线性相关其中必有一个向量是其余 m-1个向量的线性组合。 设a1,a2…am线性相关,则有不全为0的k,k2,…,km使 ka1+k2a2+…+knn=6不妨设k≠0,于是由上式得 k 即a1是a2,a3,…,am的线性组合 设a1是a12a2,…,a1-1,a11…an的线性组合 即a1=k1a1+k2a2+…+k1(1-1+k1+…+knam 于是ka1+…+k-a-1+(-1)a1+ka1+…+knCn=b 因为k1,k2,…,k-1-1,k1…km不完全为0,所以a1,a2,…;am线性相关。 定理3若n维向量a1,a2,…,线性相关,则a1,…an,ar+1,…,am也线性相关。 k b a i i = (i = 1,2,.  ,n)   ∥  （n  3 时）。 2. 几个有关的定理 定 理 1 m 个 n 维向量 ( , , , ) 1 11 12 1n  = a a  a ，  2 = (a21 ,a22 ,  ,a2 n ), ， ( , , , ) m m1 m2 mn  = a a  a 线性相关  以 m k , k , ,k 1 2  为未知量的齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 n n mn m m m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k     （4） 有非零解（（4）向量式是 k11 + k2 2 ++ km m =  的坐标表示式） 推论 1： n 个 n 维向量 ( , , , ) i i1 i 2 i n  = a a  a (i = 1,2,.  ,n) 线性相关  n n nn n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 13 = 0 定理 2 m 个 n 维向量    m , , , 1 2  （m≥2）线性相关  其中必有一个向量是其余 m−1 个向量的线性组合。 证  设    m , , , 1 2  线 性 相 关 ， 则 有 不 全 为 0 的 m k , k , ,k 1 2  使 k11 + k2 2 ++ km m =  不妨设 k1  0 ，于是由上式得 1 2 1 k k  = −  2 −− m m k k  1 即 1 是    m , , , 2 3  的线性组合。  设  i 是   i i  m , , , , , , 1 2  −1 +1  的线性组合 即 i i i i i m m  = k11 + k2 2 ++ k −1 −1 + k +1 +1 ++ k  于是 k11 ++ ki−1i−1 + (−1)i + ki+1i+1 ++ km m =  因为 i i m k , k ,  , k , 1, k , k 1 2 −1 − +1 不完全为 0，所以    m , , , 1 2  线性相关。 定理 3 若 n 维向量   r , , , 1 2  线性相关，则   r  r  m , , , , , 1  +1  也线性相关