48· 工程科学学报，第38卷，第1期 R TuTPLU △Tk≈ △HM。V。 (2) 熔体 这相当于要求式(1)中0，相对于声速而言必须 充分小，从面可以展开成Tw级数h(1-光)= 品体 0 一+，进而舍去余项而得到。但在晶核长大过程 U 0 中，其界面生长速度可以达到很高的量级.当界面生 长速度很大时，h1一受)不能展开成Tc级数 图1过冷熔体中颗粒生长示意图 本文将考虑与界面温度变化有关的界面动力学过冷对 Fig.1 Schematic illustration of particle growth in an undercooled 颗粒界面生长形态的影响，利用渐近分析方法，研究过 melt 冷熔体中颗粒的界面演化及其界面形态稳定性，揭示 界面动力学过冷对颗粒生长速度和界面形态的影响. 2 渐近解 1理论模型 鉴于参数￡很小，记基态解为T,Ts和R,并将 考虑处于过冷熔体内的颗粒生长（图1），记V= 它们展开成ε的渐近级数： 点，品为界面特征速度，工.为运场温度，。为颗粒初 TB=TD+ET+…,Ts=Tw+ETs1+…, Rg=Rm+ERI+…. (10) 始半径.选择颗粒的初始半径。作为长度尺度，「。/W 其中各系数均为球调和函数.界面平均曲率K相应展 作为时间尺度，△T=TM-T.作为温度尺度，则量纲一 开西为 的热传导控制方程如下： 2K=元+虎M+2)R。+m (11) 。证=T,8 证=kT (3) 其中A是Laplacian算子的一部分： 其中e=c,PAT/△H为小参数，c。为比热容，Kr= 色为 KL A=品(mo) 热扩散系数.在颗粒界面上，温度场满足连续性条件、 sin'0a2 Gibbs--Thomson条件和能量守恒条件： 将方程(10)和(11)代入方程(3)~(9)，比较ε TL=Ts=Tu, (4) 的各阶项，得到首阶近似的控制方程： VTHLO=0,VTiSo =0. (12) T:=2rK+CMIn (1-BU,T:+M In (1-BU), 界面条件： (5) TRLo=TaSo* (13) (1+2rCK)U=(f VTs -VTL)-n. (6) = -+CMTln(1-BRi)+MxIn(1-BRi) 其中 r=-YTw R TuPL (14) TATAH'Ms =AHATM (-）a=- (15) ar ar ,C=,B E= V 六8=。 远场与内部条件： T。→-1（当r一→∞），To一→0(1）（当r0) 在远场，满足远场条件 (16) T→-1，当r→0： (7) 另外，满足正则条件 界面初始条件 (17) T→0(1)，当r0: (8) Rm(0)=1. 以及界面初始条件 根据方程(12)可知，其有形式解 R(0,p,0)=1. (9) 7n=a,0+0rn=0+o0 r 由此可见，M、是界面动力学过冷△T、量纲一化 后非线性部分的系数，它的大小与界面动力学系数成 从而，利用条件式(13)~(16)，解得温度场为 反比，也决定了界面动力学过冷△T、的大小.本文 T=-1+ Rmo-2+(1-C)MxRwoln(1-BRin)1 假定：在过冷熔体中，液相密度与固相密度相等 1-CMKIn(1-BRio)工程科学学报，第 38 卷，第 1 期 ΔTK≈ＲgTM TIρLUI ΔHM0V0 ． ( 2) 这相当于要求式( 1) 中 UI 相对于声速而言必须 充分小，从而可以展开成 Taylor 级数 ( ln 1 － UI V ) 0 = － UI V0 + …，进而舍去余项而得到． 但在晶核长大过程 中，其界面生长速度可以达到很高的量级． 当界面生 长速度很大时， ( ln 1 － UI V ) 0 不能展开成 Taylor 级数． 本文将考虑与界面温度变化有关的界面动力学过冷对 颗粒界面生长形态的影响，利用渐近分析方法，研究过 冷熔体中颗粒的界面演化及其界面形态稳定性，揭示 界面动力学过冷对颗粒生长速度和界面形态的影响． 1 理论模型 考虑处于过冷熔体内的颗粒生长( 图 1) ，记 V = kL ΔT r0ΔH为界面特征速度，T∞ 为远场温度，r0 为颗粒初 始半径． 选择颗粒的初始半径 r0 作为长度尺度，r0 / V 作为时间尺度，ΔT = TM － T∞ 作为温度尺度，则量纲一 的热传导控制方程如下: ε TL t = 2 Δ TL，ε TS t = κT 2 Δ TS ． ( 3) 其中 ε = cpρLΔT /ΔH 为小参数，cp 为比热容，κT = κS κL 为 热扩散系数． 在颗粒界面上，温度场满足连续性条件、 Gibbs--Thomson 条件和能量守恒条件: TL = TS = TI， ( 4) TI = 2ΓK + CMK ( ln 1 － βUI ) TI + MK ln( 1 － βUI ) ， ( 5) ( 1 + 2ΓCK) UI = ( k^ Δ TS － Δ TL )·n． ( 6) 其中 Γ = γTM r0ΔTΔH，MK = ＲgT2 M ρL ΔHΔTM0 ， k^ = kS kL ，C = ΔT TM ，β = V V0 ． 在远场，满足远场条件 TL→ － 1，当 r→∞ ; ( 7) 另外，满足正则条件 TS→O( 1) ，当 r→0; ( 8) 以及界面初始条件 Ｒ( θ，φ，0) = 1． ( 9) 由此可见，MK 是界面动力学过冷 ΔTK 量纲一化 后非线性部分的系数，它的大小与界面动力学系数成 反比［14］，也决定了界面动力学过冷 ΔTK 的大小． 本文 假定: 在过冷熔体中，液相密度与固相密度相等． 图 1 过冷熔体中颗粒生长示意图 Fig． 1 Schematic illustration of particle growth in an undercooled melt 2 渐近解 鉴于参数 ε 很小，记基态解为 TLB、TSB和 ＲB，并将 它们展开成 ε 的渐近级数: TLB = TBL0 + εTBL1 + …，TSB = TBS0 + εTBS1 + …， ＲB = ＲB0 + εＲB1 + …． ( 10) 其中各系数均为球调和函数． 界面平均曲率 K 相应展 开［4］为 2K = － 2 ＲB0 + ε Ｒ2 B0 ( Λ + 2) ＲB1 + …． ( 11) 其中 Λ 是 Laplacian 算子的一部分: Λ = 1 sinθ   ( θ sinθ   ) θ + 1 sin2 θ  2 2 ． 将方程( 10) 和( 11) 代入方程( 3) ～ ( 9) ，比较 ε 的各阶项，得到首阶近似的控制方程: 2 Δ TBL0 = 0， 2 Δ TBS0 = 0． ( 12) 界面条件: TBL0 = TBS0， ( 13) TBS0 = － 2Γ ＲB0 + CMK TBS0 ln( 1 － βＲ'B0 ) + MK ln( 1 － βＲ'B0 ) ， ( 14 ( ) 1 － 2ΓC Ｒ ) B0 Ｒ'B0 = k^ TBS0 r － TBL0 r ． ( 15) 远场与内部条件: TBL0→ － 1 ( 当 r→∞ ) ，TBS0→O( 1) ( 当 r→0) ． ( 16) 界面初始条件 ＲB0 ( 0) = 1． ( 17) 根据方程( 12) 可知，其有形式解 TBL0 = a0 ( t) + b0 ( t) r ，TBS0 = aS0 ( t) + bS0 ( t) r ． 从而，利用条件式( 13) ～ ( 16) ，解得温度场为 TBL0 = － 1 + ＲB0 － 2Γ + ( 1 － C) MKＲB0 ln( 1 － βＲ'B0 ) 1 － CMKln( 1 － βＲ'B0 ) ·1 r ， · 84 ·