要使上式成立,只要2b<b2-2,r<b2-2.由于b2-2>0,根据有理数的稠密性, 2b 知存在有理数r使得0<b2-2,又由一2b <b,推知r<b,对这样的r,满足 26 b-r>0,(b-r)2>2,这就证明了,在B中找到了比b更小的有理数b-r,所以B无 最小数。 可见,有理数的分划可以分为两类,第一类型是上类B有最小数,我们称这类分划为 有理分划;第二类型是上类B无最小数,我们称这类分划为无理分划。显然,任一有理分 划与其上类的最小有理数对应,反之任一有理数b,总可确定一有理分划 A={x|x<b,x∈Q} B={x|x≥b,x∈Q}。 这样,有理数可以与有理分划建立一一对应,我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”。 于是有如下定义。 定义2有理数的任一无理分划称为无理数。 为了一致起见,称有理数的任一有理分划为有理数。有理数和无理数统称为实数。 §3实数的性质 为了研究实数的性质,我们回顾有理数的一些熟知性质,如有理数是全序域,所谓全 序域,简单地说就是可以比较大小,而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算。有理 数集是稠密的,即对任意有理数a、b(a<b),总存在有理数C,使得a<c<b。由稠密 性虽得不出有理数连续地分布在数轴上,但却是密密麻麻地分布在数轴上。另外,有理数满 足阿基米德原理,即对任意有理数b>a>0,必存在自然数n,使得na>b 31实数的运算 我们用x,y,2,…表示实数,即表示有理数的分划,用a,b,c,…表示有理数。用记号 R表示实数的集合,记号Q表示有理数的集合。为了书写方便,用A表示实数x的下类, B4表示实数x的上类,B表示B去掉最小数的集合 定义1设有实数x、y 1)若集合A=A,则称x=y 2)若集合A1≠A,AA,则称x小于y,或y大于x,记作x<y或y>x。 185185 要使上式成立，只要2 2 2 br < b - ， b b r 2 2 2 - < 。由于 0 2 2 2 > - b b ，根据有理数的稠密性， 知存在有理数 r 使得 b b r 2 2 0 2 - < < ，又由 b b b < - 2 2 2 ，推知r < b ，对这样的r ，满足 b - r > 0 ，( ) 2 2 b - r > ，这就证明了，在B 中找到了比b 更小的有理数b - r ，所以 B 无 最小数。 可见，有理数的分划可以分为两类，第一类型是上类 B 有最小数，我们称这类分划为 有理分划；第二类型是上类 B 无最小数，我们称这类分划为无理分划。显然，任一有理分 划与其上类的最小有理数对应，反之任一有理数b ，总可确定一有理分划： A ={ x | x < b, xÎQ}； B = { x | x ³ b, x ÎQ}。 这样，有理数可以与有理分划建立一一对应，我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”。 于是有如下定义。 定义 2 有理数的任一无理分划称为无理数。 为了一致起见，称有理数的任一有理分划为有理数。有理数和无理数统称为实数。 §3 实数的性质 为了研究实数的性质，我们回顾有理数的一些熟知性质，如有理数是全序域，所谓全 序域，简单地说就是可以比较大小，而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算。有理 数集是稠密的，即对任意有理数a 、b (a < b) ，总存在有理数c ，使得a < c < b。由稠密 性虽得不出有理数连续地分布在数轴上，但却是密密麻麻地分布在数轴上。另外，有理数满 足阿基米德原理，即对任意有理数b > a > 0，必存在自然数n ，使得na > b 。 3.1 实数的运算 我们用 x, y, z, L表示实数，即表示有理数的分划，用 a, b, c,L表示有理数。用记号 R 表示实数的集合，记号 Q 表示有理数的集合。为了书写方便，用 Ax 表示实数 x 的下类， Bx 表示实数 x 的上类， 0 Bx 表示 Bx 去掉最小数的集合。 定义 1 设有实数x 、 y ， 1） 若集合 Ax = Ay ，则称 x = y ； 2） 若集合 Ax ¹ Ay ， Ax Ì Ay ，则称x 小于 y ，或 y 大于 x ，记作 x < y 或 y > x