作。特别是[2]中已将模型推广到系数1(i=1,:2,3)为平方可积随机过程的情形。 为简单和实用起见，本文仅限于讨论k:(i=1,2,3)为二阶矩随机变量（即E{K:2}<∞） 的下述模型： (-K:tdt+dB(t),tost<tI,C(to)=Cor dc(t)= -K:dt+dB:(t),tist<t:* (1) (-K,C(t)dt+dB,(t),ta≤t≤t. 其中to为初始时刻，其余符号与[2]中一致。 本文中研究随机模型解过程统计性质的方法与C1]、[2]中不同，可以不必去解(1) 式中三个分段的It6方程，也不必进行解过程的矩函数的复杂计算，而直接由模型(1)导 出相应的Fokker-一Planck方程（即所谓“向前方程”，简称F一P方程），这是一个确定 性的偏微分方程，在一定的初始条件和边界条件下求解，即可得到脱碳过程C(t)的转移概 率密度函数f(c,t|c',t'),由此便可获得大量有用的统计信息。这种方法与1]、[2] 中所运用的矩函数方法相轴相成，在随机过程和随机微分方程的理论和应用上具有重要的 意义。它对于处理非随机系数的It6方程是可行和有效的，这已为人们所熟知。但是，对 于象(1)式中的三个方程那样带有随机系数的It6方程来说，这种方法的可行性至今在一 般专著和文献中很少进行系统的讨论。因此，本文旨在通过模型(1)的F一P方程的推导 和求解具体说明：转移概率密度的方法对于随机系数的t6方程同样适用，并且也是有效 的。当然，作为应用性的讨论，本文不可能过多地涉及随机系数t6方程的理论研究。这 方面已有的部分成果可参看[3]、[4幻、[5]、[6]。 一、模型（1)的F一P方程 首先注意到模型(1)中三个分段方程均属随机系数的It6方程，其一般形式为。 rdX(t,)=f(t,o,X(t,@))dt+g(t,o,X(t,o)dB(t;), (2) 1X(o,o)=Xo(o),(oe)。 其中Xo满足E{Xo2}<∞，且Xo与dB(t)相互独立。为简单计，下面村论中都略写0。 设方程(2)的解过程为X(t),(x,t)是它的一阶密度函数。·由于条件密度函数与条 件特征函数之间有付氏变换关系：（令△x=x一x') f(x,t+△t|x',t)=F-1[b(u,t+△tlx',t)] eab(u,t+△tlx',t)du, (3) 2xo0 { 定义a.(x',t)合E{[X(t+△t)-X()|x',t,称它为X(t)的n阶增量矩，并在u=0 附近展开函数中为Taylor级数，则(3)式变成 i,t+at1,0-22器y。me加 =三，台1ax,6门。 (4) a=0 nl 但… 132作 。 特别是 〔幻 中已将模型推广到系数 二 ， ， 为平方可积随机过程的 情 形 。 为简单和实用起见 ， 本文仅限于讨论 ， ， 为二阶矩随机变量 即 凡 艺 《 必 的下述模型 厂 一 ， “ ， ’ 。 ‘ ， ， ， “ “ 。 ’ “ 。 ， 二 一 ， ， ， ， ， ’ ‘ ‘ ，，，， ‘ 气 ’ 一 ， 《 咬 。 。 其中 。 为初始时刻 ， 其余符号与 〔幻 中一致 。 本文中研究随机模型解过程统计性质的方法与 仁 、 〕 中不 同 ， 可 以不必 去解 式 中三个分段 的 方程 ， 也不必进行解过程 的矩 函数的复杂计算 ， 而直接由 模型 导 出相应 的 。 一 。 方程 即所谓 “ 向前方程夯 ， 简称 一 方程 ， 这是一个确定 性 的偏微分方程 ， 在一定 的初始条件和边界条件下求解 ， 即可 得到脱碳过程 的转移概 率密度 函数 。 ， 尹 ， 尹 ， 由此便可获得大量有用的统计信息 。 这种方法与 〔 〕 、 〕 中所运用的矩函数方法相辅相成 ， 在随机过程和随机微分 方程 的理论 和应用上具有重要 的 意义 。 它对于处理非随机系数的 合方程是可行和有效的 ， 这 已为人们所熟知 。 但 是 ， 对 于象 式中的三个方程那样带有随机系数的 方程来说 ， 这种方法的可行性荃今在一 般专著和文献中很少进行系统的讨论 。 因此 ， 本文 旨在通过模型 的 一 方程 的推 导 和求解具体说明 转移概率密度 的方法对于随机系数 的 比方程 同样适用 ， 并且也 是 有 效 的 。 当然 ， 作为应用性的讨论 ， 本文不 可能过多地涉及随机系数 方程 的理论 研 究 。 这 方面 已有的部分成果可参看 〔 〕 、 〔 〕 、 〔 、 〔 〕 。 一 一 、 模型 的 一 方程 首先注意到模型 中三个分段方程均属随机系数的 合方程 ， 其甲般形式为 干圣 ’ ， “ 叮 ’ ‘ ， 吧 ’ ’ “ ， 。 ， ‘’ ， ‘ ， ‘” ‘ ’ ， 、 入 吸 ， 。 少 气 尹， 气。 已 ‘ 咨少 其 中 。 满足 。 恶 ， 且 。 与 相互独立 。 为简单计 ， 下面讨论 中都略写 。 设方程 的解过程为 ， ， 是它 的一 阶密度 函数 。 · 由于条件密度函数与条 件特征函数之间有付 氏变换关系 令△ 一 产 ， △ 尹 ， 一 ‘ 小 ， △ ， ， 之〕 劫 一 “ 一 ‘ △‘ ，· ‘ ， ” ‘ ， 定义。 二 ， ， 会 〔 ，、 △ 一 、 二 ， ， ， ， 称它 为 的 断 增量矩 ， 并 在 。 附近展开 函数中为 级数 ， 则 式变成 ， △ ， ， 艺 旦瓷尸了 ‘· ’ “ ’ “ 产 ’ ‘ 乙 △ 二 。 弋尘 · ‘ · ‘ ， ，，鑫 但