《微分几何》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：微分几何 Differential Geometry 课程代码：06S1022B 课程类别：专业选修课 适用专业：数学与应用数学专业（师范类） 课程学时：45学时（理论35，实践10） 课程学分：2.5学分 修读学期：第6学期 先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程 二、课程目标 微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维 空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一流形。微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学 的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高 等代数、数学分析和常微分方程。 本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对像、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意 义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基 本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲 面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。 (一)具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对像的基本思想，对中学的 几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7】 2. 掌握向量函数的相关概念和计算：掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏 雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念；综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的 问题，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求3、4】 3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基 本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念：了解曲面论的基本定理：理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯 波涅公式及其应用。对曲面的几何有一定的认识，具有一定的计算能力和分析问题、解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7】 (二)课程目标与毕业要求的对应关系 表1课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、 直观想象等数学学科专业能力。 3.学科素养 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科 课程目标1 4.教学能力 的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究 7.学会反思 能力。 7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方 法分析和解决数学教育教学中的问题。 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要 理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清 晰、合理的认识。 课程目标2 3.学科素养 3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联 4.教学能力 系， 认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素 养。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科 的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究 能力。 课程目标3 3.学科素养 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要 4.教学能力 理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清 7.学会反思 晰、合理的认识。 3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联 系， 认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素 亦。《微分几何》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：微分几何 Differential Geometry 课程代码：06S1022B 课程类别：专业选修课 适用专业：数学与应用数学专业（师范类） 课程学时：45学时（理论35，实践10） 课程学分：2.5学分 修读学期：第6学期 先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程 二、课程目标 微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维 空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间——流形。微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学 的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高 等代数、数学分析和常微分方程。 本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意 义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基 本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲 面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的 几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7】 2. 掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏 雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念；综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的 问题，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求3、4】 3. 掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基 本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯- 波涅公式及其应用。对曲面的几何有一定的认识，具有一定的计算能力和分析问题、解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标1 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、 直观想象等数学学科专业能力。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科 的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究 能力。 7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方 法分析和解决数学教育教学中的问题。 课程目标2 3.学科素养 4.教学能力 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要 理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清 晰、合理的认识。 3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联 系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素 养。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科 的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究 能力。 课程目标3 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要 理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清 晰、合理的认识。 3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联 系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素 养