11.设∫f(x)收敛,且imnf(x)=A。证明A=0 证用反证法。不妨设A>0,则对E=A>0,3X>a,Yx>X J(x)-4<A,从而f(x)>A。由 2八(xk=2(x)+9(>(x+1B-x), 可知1mJ。fx)=+,与∫f(x)x收敛发生矛盾 同理也可证明不可能有A<0,所以A=0 12.设f(x)在a+2)上可导,且∫。f(x)与厂f(xl都收敛,证明 limf(x)=0。 证 f' (x)dx= df(x)=lim f(x)-f(a) 由∫f(x)的收敛性,可知mf(x)存在且有限,再利用第1题的结 论,得到 limf(x)=0。11．设∫ 收敛，且 +∞ a f (x)dx f x A x = →+∞ lim ( ) 。证明 A = 0。 证 用反证法。不妨设 A > 0 ，则对 0 2 1 ε = A > ， ∃X > a ， ∀x > X ： f x A A 2 1 ( ) − < ，从而 f x A 2 1 ( ) > 。由 ∫ B a f (x)dx = ∫ X a f (x)dx + ∫ B X f (x)dx ( ) 2 1 f (x)dx A B X X a > ∫ + − ， 可知 ∫ = +∞ ，与 收敛发生矛盾。 →+∞ B a B lim f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 同理也可证明不可能有 A < 0，所以 A = 0。 12．设 在 上可导，且 与 都收敛，证明 。 f (x) [a,+∞) ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ′ a f (x)dx lim ( ) = 0 →+∞ f x x 证 ∫ +∞ a f '(x)dx = ∫ = +∞ a df (x) lim f (x) f (a) x − →+∞ ， 由 的收敛性, 可知 存在且有限, 再利用第11题的结 论，得到 ∫ +∞ a f '(x)dx lim f (x) x→+∞ lim ( ) = 0 →+∞ f x x 。 274