ah ∑QP2=-∑0 cot ot P a@, sin t cos ot a@ sin @t cos o in ot sin ot cost 例8(92=4mma=12.s是正则变换,新的哈密顿量为 P H=H+sin ot cost 2o, Pp 事实上 OH=>aH pe+ o ap bi Ops aPa sin ot cos ot OP 20P=29, tan ot+00a sin ot cos ot o tan =O-O Q=o ∑QP=-∑p a@a sin ot cos at oQa B= zB Cot @t P sin ot cos ot - p-Pa cos ot sin ot coser p=-p oct ot 【例5】—【例8】也可不给出新的哈密顿量H*,而要求解题者自行选取,这样题目的难 度就提高了。 3.正则变换的充分条件(判定定理) 判断一个变换(1)是不是正则变换的基本方法当然是利用正则变换的定义,但这未必总是 最方便的方法。因此我们还要寻找其他方法。 判定定理:变换(1)成为正则变换的充分条件为 (Padqa-Pad@)+(H-H)dt=dF, (2) 其中F是某个函数F(qQ,)的恰当微分。H是用新变量PQ以及t表示的 Hamilton函 数。换言之,如果H(Pq)是正则变量p2qn的任一 Hamilton量。(意即正则方程 aH n,a=12…,s成立)并且对于变换(1),存在H*=H*(PQ,)和 母函数F=F(q1Q,1)使(2)成立,那么变换(1)就是正则变换。(意即 aH P g.a0=-Pa=12-s成立)其中F(Q)称为母函数 证明:对于满足条件(2)的F=F(q,Q1)作以下两种变化5 * 1 1 1 2 cot sin cos sin cos sin sin cos H H s s s p Q P q t P Q p Q t t Q t t P q P P t t t                               = = =     = − + = − +     = − − + = −    【例 8】 tan 1,2 cot Q q t s P p t         =  =  = 是正则变换，新的哈密顿量为 * sin cos 1 s H H Q P t t       = = +  事实上 * 1 1 1 tan sin cos sin cos H H s s s p Q P q t Q P p P t t P t t                  = = =         = + = +        2 tan sin sin cos t Q Q Q Q t t t           = − + = * 1 1 1 2 cot sin cos sin cos cot cos sin cos H H s s s q Q P p t P Q q Q t t Q t t t P P P P t t t                                = = =     = + = − +     = − − + = −    【例 5】－【例 8】也可不给出新的哈密顿量 H * ，而要求解题者自行选取，这样题目的难 度就提高了。 3．正则变换的充分条件（判定定理） 判断一个变换（1）是不是正则变换的基本方法当然是利用正则变换的定义，但这未必总是 最方便的方法。因此我们还要寻找其他方法。 判定定理：变换（1）成为正则变换的充分条件为 ( ) ( ) * 1 1 s p dq P dQ H H dt dF     =  − + − = （2） 其中 1 dF 是某个函数 F q Q t 1 ( , , ) 的恰当微分。H*是用新变量 P Q,   以及 t 表示的 Hamilton 函 数。换言之，如果 H p q t ( , , ) 是正则变量 p q,   的任一 Hamilton 量。（意即正则方程 , , 1,2, , H H q p s p q        = = − =   成立）并且对于变换（1），存在 H H P Q t * * , , = ( ) 和 母函数 F F q Q t 1 1 = ( , , ) 使（2）成立，那么变换（1）就是正则变换。（意即 * * 1,2 H H Q P s P Q        = = − =   成立）其中 F q Q t 1 ( , , ) 称为母函数。 证明：对于满足条件（2）的 F F q Q t 1 1 = ( , , ) 作以下两种变化：