(5)以高等数学知识为背景拟造新题 以高等数学的思想和知识为背景,把高等数学中的问题初等化,可以 拟造新题。如(4)中不动点的定义和只有有限个不动点的条件,可看成构 造这类题的例子。下面再举一例 高等几何中有一个帕斯卡( Pasca1)定理:“二阶曲线内接六角形的对 边交点共线”。在这个定理中,把二阶曲线特殊化为圆,内接六角形用内 接六边形代替,相应的对边改为对角线,则可拟造以下的题目: 已知圆的内接六边形的顶点为A(-3,4),B(0,5),C(4,3),D(4, 3),E(-3,-4),F(-5,0),求证AE与FB的交点、AD与CF的交点 BD与CE的交点在同一直线上 利用帕斯卡定理的对偶定理“二阶曲线的外切六边形的对顶点连线共 点”(这个定理被称为布里安桑( Brianchon)定理),则可拟造如下的题目 已知六边形 HIJKLM与圆相切于点A(-3,4),B(0,5),C(4,3) D(4,-3),E(-3,-4),F(-5,0)。求证压K、LL、』M三条直线共点 若把圆改为椭圆,显然也可得到类似的题目 (6)不完全确定条件或结论拟造新题 到目前为止,我们所探讨的数学题,其条件和结论均是完全确定的。 但在数学教学中,还经常使用结论或条件不完全确定的题的拟造方法。请 看下面几道例题 例16设a、b是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n为整 数},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数},C={(x,y)|x2 +y2≤144是平面内点的集合,讨论是否存在a和b使得A∩B≠中,且 (a,b)∈C同时成立。 例17求在Acos20+Bcos2(中+0)+ Ccos e cos(中+0)的值与0无 关的条件。 例18设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S <0。指出S1,S2,…,S1中,哪一个值最大,并说明理由。 例19设△ABC的三边a、b、c满足an=bn+cn(n∈N,n≥2)。试判定 △ABC的类型。 由这几个例题可以看出,拟造这类题需对所探求的条件或结论的范围 作限制,而且这个限制表现在解答过程需要对条件或结论进行讨论(5)以高等数学知识为背景拟造新题 以高等数学的思想和知识为背景，把高等数学中的问题初等化，可以 拟造新题。如(4)中不动点的定义和只有有限个不动点的条件，可看成构 造这类题的例子。下面再举一例。 高等几何中有一个帕斯卡(Pascal)定理：“二阶曲线内接六角形的对 边交点共线”。在这个定理中，把二阶曲线特殊化为圆，内接六角形用内 接六边形代替，相应的对边改为对角线，则可拟造以下的题目： 已知圆的内接六边形的顶点为 A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)，D(4， －3)，E(－3，－4)，F(－5，0)，求证 AE 与 FB 的交点、AD 与 CF 的交点、 BD 与 CE 的交点在同一直线上。 利用帕斯卡定理的对偶定理“二阶曲线的外切六边形的对顶点连线共 点”(这个定理被称为布里安桑(Brianchon)定理)，则可拟造如下的题目： 已知六边形 HIJKLM 与圆相切于点 A(－3，4)，B(0，5)，C(4，3)， D(4，－3)，E(－3，－4)，F(－5，0)。求证 HK、IL、JM 三条直线共点。 若把圆改为椭圆，显然也可得到类似的题目。 (6)不完全确定条件或结论拟造新题 到目前为止，我们所探讨的数学题，其条件和结论均是完全确定的。 但在数学教学中，还经常使用结论或条件不完全确定的题的拟造方法。请 看下面几道例题： 例 16 设 a、b 是两个实数，A＝｛(x，y)｜x＝n，y＝na＋b，n 为整 数｝，B＝｛(x，y)｜x＝m，y＝3m2＋15，m 是整数｝，C＝｛(x，y)｜x2 ＋y2≤144｝是平面内点的集合，讨论是否存在 a 和 b 使得 A∩B≠φ，且 (a，b)∈C 同时成立。 例 17 求在 Acos2θ＋Bcos2(ψ＋θ)＋Ccosθcos(ψ＋θ)的值与θ无 关的条件。 例 18 设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝12，S12＞0，S13 ＜0。指出 S1，S2，…，S12中，哪一个值最大，并说明理由。 例 19 设△ABC 的三边 a、b、c 满足 an＝bn＋cn(n∈N，n≥2)。试判定 △ABC 的类型。 由这几个例题可以看出，拟造这类题需对所探求的条件或结论的范围 作限制，而且这个限制表现在解答过程需要对条件或结论进行讨论