x Mip x X=[X1, X2F-I X2p x2 p+l x2 p+2 n p+ 由Ⅹ计算得协方差阵为 其中∑1,∑2分别为第一组和第二组变量的协方差阵,∑1=∑?1为第一组与第二组变量之间的协方 差阵。若对X1,X2进行标准化,即: xh=(xk-x)/S, (i=1,2,…,p,k=1,2,…,n) x=01b-x,)/S (j=1,2, q,k=1,2 由协方差阵进一步转化为相关阵R: R1R12 在研究两组随机变量X1,X2的相关时,主要是考虑这两组变量线性组合间的相关。故令: U=ax,+a2x2 P C V=B1 p+l+B2xp++.+Bgpg=Ar2 和v分别为X1,X2的任意一个线性组合一一典型变量(由各组变量的线性组合构成的综合变量) 典型变量间的相关系数称为典型相关系数,记为(利用典型相关系数来代表两组变量间相关性的分析方 法称为典型相关分析)。根据拉格朗日乘数6=a'>2B-(ana)-A2(Σ2B),利用特征方 程R12R2R21-2R1|=0求出特征根λ(典型相关系数),再把代入下列方程: (R12R2R21-22R1a=0 (3-12) 或(R21R1R12-x2R2)=0 (3-13) 即可求出构成各典型向量的线性组合的系数——特征向量a1和B 以下在教学中可以省去。 上式分别为X1,X2的任意一个线性组合,其中,a;(F1,2,…,p),β(j=1,2,q)为任意实 数 (3-1)式中的α,β若确定,则U,Ⅴ便确定。确定α,β的原则是使U,V之间的相关系数ρ达到 最大,即p=E(m)/EUE2为最大。 假设a,β是这样的向量:能使得U,V都具有单位方差(方差为1)即 EU=EaX1Xa=a∑1a=1 (3-2) E=EBX2X2B=B∑2B 此时有EC=Eax1=aEx1=0 EV=EBX2=BEX2=0 于是问题转化为在方差为1的限制条件下,求使E(U,V)达到最大的a,β。根据求条件极值原理 6=a22B-41(a2xa)-2(B22B)20 X=[X1，X2]=               + + + + + + + + + n n np n p n p n p q p p p p q p p p p q x x x x x x x x x x x x x x x x x x               1 2 1 2 21 22 2 2 1 2 2 2 11 12 1 1 1 1 2 1 由 X 计算得协方差阵为：              = 21 22 11 12 其中∑11，∑22 分别为第一组和第二组变量的协方差阵，∑12=∑21 为第一组与第二组变量之间的协方 差阵。若对 X1 ，X2 进行标准化，即： ki ki i Si x  = (x − x ) （i=1，2，…，p，k=1，2，…，n） kj kj j S j x  = (x − x ) （j=1，2，…，q，k=1，2，…，n） 由协方差阵进一步转化为相关阵 R：         = 21 22 11 12 R R R R R 在研究两组随机变量 X1，X2 的相关时，主要是考虑这两组变量线性组合间的相关。故令：    = + + + = = + + + = 1 +1 2 +2 + 2 1 1 2 2 1 V x x x X U x x x X p p q p q p p           (3—1)  和  分别为 X1，X2 的任意一个线性组合——典型变量（由各组变量的线性组合构成的综合变量）， 典型变量间的相关系数称为典型相关系数，记为 i （利用典型相关系数来代表两组变量间相关性的分析方 法称为典型相关分析）。根据拉格朗日乘数 ( ) ( ) 2 2 22 1 2 1 11 1  =12  −    −    ，利用特征方 程 11 0 2 21 1 12 22 − = − R R R  R 求出特征根 i （典型相关系数），再把 i 代入下列方程： ( 11) 0 2 21 1 12 22 − = − R R R  R  （3—12） 或 ( 22 ) 0 2 12 1 21 11 − = − R R R  R  （3—13） 即可求出构成各典型向量的线性组合的系数——特征向量  i 和  i 。 以下在教学中可以省去。 上式分别为 X1，X2 的任意一个线性组合，其中，αi（i=1，2，…，p），βj（j=1，2，…q）为任意实 数。 (3—1)式中的α，β若确定，则 U，V 便确定。确定α，β的原则是使 U，V 之间的相关系数ρ达到 最大，即 2 2  = E(UV) EU EV 为最大。 假设α，β是这样的向量：能使得 U，V 都具有单位方差（方差为 1）即    =   =  = =   =  = 1 1 2 2 22 2 1 1 11 2         EV E X X EU E X X (3—2） 此时有 0 0 2 2 1 1 =  =  = =  =  = EV E X EX EU E X EX     于是问题转化为在方差为 1 的限制条件下，求使 E（U，V）达到最大的α，β。根据求条件极值原理。 令 ( ) ( ) 2 2 22 1 2 1 11 1  =12  −    −   