式中λ1,A2都是拉格朗日乘数。求θ对a,β的一价偏导数。并令其为零,则有 ∑12B-A121 上、下式分别左乘以a′、β′得 a∑12B=1a'1a=A B"Σ21a=A2B∑2B=2 而(a'∑1B)=B∑21a 故λ1′=A2,并且λ1是一实数,转置为A1。所以λ1=2=X 这表明,λ恰好等于线性组合U与V之间的相关系数。于是可将(3-3)式改写为 ∑12B-λ∑11a=0 对(3-4)左乘∑∑然后将(3-5)代入得 ∑1∑12B-2∑2B (3-6) 对(3-6)左乘∑得 ∑∑21∑∑12B-x2B=0 ∑1∑12-2)B=0 (3-7) 同理对(3-5)式左乘∑2∑2,然后将(34)式代入得 22∑1a=0 对(3-8)左乘∑得 ∑1∑12∑2∑21a-2a=0 即(1∑12∑2∑21-2)a=0 (3-9) 欲使(3-9)和(3-7)式中的a,β有非零解,其充分必要条件是 ∑Σ12∑2 (3-10) 21H22-2=0 (3-11) (3-10)和(3-11)式是2个特征方程。(3-10)的左边是关于2的p次多项式,从而有p个根, 设这p个根为22≥22≥…≥2>0,所以应取最大的特征根λ=A,将λ代入(39)式便可求出对 应的特征向量a1 (3-11)的左边是关于入2的q次多项式,有q个根。由于∑∑12Σ2∑1与∑2221∑1∑12的非 零特征根相同。故可以用相同符号表示≥2…≥2>0,并称1≥2≥…≥k>0为典型相关 系数,将λ=λ1代入(3—7)式可求出对应的特征向量β1。 这样求得U1=a1X1,V=BX2,就是要找的第一对典型变量,它们在所有的线性组合U,V中具 有最大的相关。A1就是U1,V1的典型相关系数 同理,由λ2及(3-7),(3-9)式得与U,V1相独立的第二对典型变量U2=a2X2,H2=B2X2 直至全部典型变量。 若对X1,X2进行标准化,即 (xx-A)/S (i=1,2,…,p,k=1,2,…,n)21 式中λ1，λ2 都是拉格朗日乘数。求θ对α，β的一价偏导数。并令其为零，则有：       =  −  =   =  −  =   0 0 21 2 22 12 1 11           （3—3） 上、下式分别左乘以α′、β′得 ： 21 2 22 2 12 1 11 1              =  =  =  = 而    21 ' 12 (  ) =  故λ1′=λ2，并且λ1 是一实数，转置为λ1。所以λ1=λ2=λ 这表明，λ恰好等于线性组合 U 与 V 之间的相关系数。于是可将（3—3）式改写为 ∑12β－λ∑11α=0 （3—4） ∑21α－λ∑22β=0 （3—5） 对（3—4）左乘 1 21 11 −   然后将（3—5）代入得 22 0 2 12 1 21 11  −  = −    （3—6） 对（3—6）左乘 1 22 −  得 0 2 12 1 21 11 1 22    − = − −    即 ( ) 0 2 12 1 21 11 1 22    − = − −   （3—7） 同理对（3—5）式左乘 1 21 21 −   ，然后将（3—4）式代入得 11 0 2 21 1 12 22  −  = −    (3—8) 对（3—8）左乘 1 11 −  得 0 2 21 1 12 22 1 11    − = − −    即 ( ) 0 2 21 1 12 22 1 11    − = − −   （3—9） 欲使（3—9）和（3—7）式中的α，β有非零解，其充分必要条件是 0 2 21 1 12 22 1 11    − = − −  （3—10） 0 2 12 1 21 11 1 22    − = − −  （3—11） （3—10）和（3—11）式是 2 个特征方程。（3—10）的左边是关于λ2 的 p 次多项式，从而有 p 个根， 设这 p 个根为 0 2 2 2 2 1     P  ，所以应取最大的特征根λ=λ1，将λ1 代入（3—9）式便可求出对 应的特征向量α1。 （3—11）的左边是关于λ2 的 q 次多项式，有 q 个根。由于 21 1 12 22 1 11    − − 与 12 1 21 11 1 22    − − 的非 零特征根相同。故可以用相同符号表示 0 2 2 2 2 1     K  ，并称 1  2   K  0 为典型相关 系数，将λ=λ1 代入（3—7）式可求出对应的特征向量β1。 这样求得 1 1 1 1 1 2 U =X , V = X ，就是要找的第一对典型变量，它们在所有的线性组合 U，V 中具 有最大的相关。λ1 就是 U1，V1 的典型相关系数。 同理，由λ2 及（3—7），（3—9）式得与 U1，V1 相独立的第二对典型变量 2 2 2 2 2 2 U =X , V = X ， 直至全部典型变量。 若对 X1 ，X2 进行标准化，即： ki ki i Si x  = (x − x ) （i=1，2，…，p，k=1，2，…，n）