依分布收敛也可以用于近似计算概率 对于随机向量,类似地也有依分布收敛及收敛的充要条件.于是有 v(S1…,Sa.∑s5 →>∑s51(1.14) 概率论中另一个最重要的定理是中心极限定理,其叙述如下 若随机变量序列n为独立同分布,EEn=H且War5n=2(n=1,2,…),则 N(0,1) 中心极限定理对d维随机变量也是成立的 定理1.9( Polya定理)设随机变量序列ξn和随机变量ξ满足ξn→>ξ,且ξ的分 布函数F(x)是连续函数,则5n的分布函数Fn(x)一致收敛到5的分布函数F:(x) 此结论称为 Polya定理,其证明是数学分析的一个习题 推论1.10若随机变量序列n为独立同分布,EEn=H且 Vars=2(n 则 dy2丌·n 这可以理解为引1+…+5n有近似分布N(E(1+…+5n),am(1+…+5n) 可以用特征函数或矩母函数来表示依分布收敛,具体结论如下 若随机变量序列n的特性函数qn(4)”→Q(,且p(4)在λ=0点连续,则 qλ)必是某个随机变量ξ的特征函数,而且n5 注1以上结论比(1.12)式要好用.因为在(1.12)式中需要事先知道极限函数确实是特 征函数,而此需要正是在应用时难以判别的而此断言正好给出了判断一个函数为特征函数 的充分条件,所以这是非常有用的 注2此结论在内容上易于理解,在应用上也简单方便,但是其证明则需要用到超出本 书范围的 Fourier- Stilt jes分析这个数学工具.而在一般初等概率论中也并不给出此结论的 推导.有兴趣的读者可以选阅较高一些水平的概率论教科书,例如,严士健等人编写的《概 率论》 注3对于d维情形,相应的结论仍然正确 1.7典型分布 离散随机变量的典型分布有 [ Bernoul I i(二项)分布B(N,p)]概率函数为 P(x) :(1-p)-(0<p<1x=0,1,,N),数学期望为Np 77 依分布收敛也可以用于近似计算概率. 对于随机向量, 类似地也有依分布收敛及收敛的充要条件. 于是有 å å = = ¾® Û " ¾® d i i i d d i n d d i i n d d n s s s s 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 (x ,L,x ) (x ,L,x ) ( ,L, ), x x . (1. 14) 概率论中另一个最重要的定理是中心极限定理, 其叙述如下 若随机变量序列 n x 为独立同分布 , Exn = m 且 ( 1,2, ) Varx n = s 2 n = L , 则 (0,1) 1 N n n n d ¾® + + - s x L x m . 中心极限定理对 d 维随机变量也是成立的． 定理１．９（Polya 定理） 设随机变量序列 n x 和随机变量x 满足x x d n ® , 且x 的分 布函数 F (x) x 是连续函数, 则 n x 的分布函数 F (x) x n 一致收敛到x 的分布函数 F (x) x . 此结论称为 Polya 定理，其证明是数学分析的一个习题. 推论１．１０ 若随机变量序列 n x 为独立同分布, Exn = m 且 ( 1,2, ) Varx n = s 2 n = L , 则 | 0 2 1 | ( ) 2 2 2 ( ) 1 ®¥ -¥ s - m - -¥< <¥ ® s p× x + + x £ - ò x n n u n x n e du n Sup P L x . 这可以理解为 n x +L+ x 1 有近似分布 ( ( ), ( )) 1 1 n N E x +L+x Var x +L+ x n . 可以用特征函数或矩母函数来表示依分布收敛，具体结论如下 若随机变量序列 n x 的特性函数 j (l) ¾ ¾®j(l),且j(l) n®¥ n 在 l = 0 点连续, 则 j(l) 必是某个随机变量x 的特征函数, 而且x ¾®x d n . 注 1 以上结论比(1.12)式要好用. 因为在(1.12)式中需要事先知道极限函数确实是特 征函数, 而此需要正是在应用时难以判别的. 而此断言正好给出了判断一个函数为特征函数 的充分条件, 所以这是非常有用的. 注 2 此结论在内容上易于理解, 在应用上也简单方便, 但是其证明则需要用到超出本 书范围的 Fourier-Stieltjes 分析这个数学工具． 而在一般初等概率论中也并不给出此结论的 推导. 有兴趣的读者可以选阅较高一些水平的概率论教科书, 例如, 严士健等人编写的《概 率论》. 注 3 对于d 维情形, 相应的结论仍然正确. １．７ 典型分布 离散随机变量的典型分布有 [Bernoulli(二项)分布 B(N, p) ] 概率函数为 x N x p p x N p x - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ( ) = (1 ) (0 < p < 1, x = 0,1,..., N) ， 数学期望为Np