§8.3角动量的合成 1.角动量合成的一般规则 我们在很多情况下会遇到角动量合成(即相加)的问题。在本节,我们只注意角动量合成的一般规 律,而不注意那些角动量的具体物理背景,所以我们将采用 Dirac符号 设J和J2是两个互相独立的角动量,这意思是,它们的分量分别满足角动量的对易关系,而它们 互相之间是对易的: 0,i,k J和J2的矢量和记为 了+2,ie.J= 则不难证明J仍然是角动量,即它的分量也满足角动量的对易关系。(所以角动量可以相加,却不可以 被常数乘!) 从未耦合(和J2未相加)的角度看来,这个体系的完备算符集是J2,-,12,J2,共同本征 态是|1,m,2,m2),Hbet空间的总维数是(2h+1(2/2+1);而角动量耦合以后,体系的完备算符 集变成了J2,,J2,J2(不难验证它们是两两对易的),共同本征态则记为,m,2),也就是说 J1J,mh,j2)=(+1)h21,m,2 J|j,m,1,2)=mjm,,2) J2|,m,元,2)=(1+1)h2,m,,) J2|,m,,2)=1(2+1)h2,m,2) 根据叠加原理,|m,方,2)一定是|1,m,2,m)的线性组合: jm,2)=∑C(,2,j m y, m 若采用 Dirac符号则 C(,2,m2m2,m)=(h,m;2m2,m元,) 这些组合系数称为 Clebsch- Gordan(CG)系数。实际上,从未耦合表象到耦合表象的变换是一个幺正变 换,而CG系数就是这个幺正变换的矩阵元。 我们的问题是:j,m和2m1;j2,m2有什么关系?组合系数C(1,/2,/;m1,m2,m)是什么? 以J2=J1-+J2作用于上述展开式得到 m,mh2)=∑(m+m2)C(,23六m,m2,m)1,m;2,m2 即是 ,m),mn;2,m2) 所以 (m-m-m2)C(1,j2,m1,m2,m)=0 这就是说,只有在 的时候才能有 C(i1,/2,jm1,m2,m)≠0 其次,在一个特殊的状态下未耦合的本征态和耦合的本征态是相同的,那就是“最大投影态” m =JI, m2 =J2 注意到1 §8.3 角动量的合成 1. 角动量合成的一般规则 我们在很多情况下会遇到角动量合成（即相加）的问题。在本节，我们只注意角动量合成的一般规 律，而不注意那些角动量的具体物理背景，所以我们将采用 Dirac 符号。 设 1 ˆ J  和 2 ˆ J  是两个互相独立的角动量，这意思是，它们的分量分别满足角动量的对易关系，而它们 互相之间是对易的：   0, , , , . ˆ , ˆ 1 2 J J i k x y z i k = = 1 ˆ J  和 2 ˆ J  的矢量和记为 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , i.e. , , , x x x y y y z z z J J J J J J J J J J J J = + = + = + = + 则不难证明 J ˆ  仍然是角动量，即它的分量也满足角动量的对易关系。（所以角动量可以相加，却不可以 被常数乘！） 从未耦合（ 1 ˆ J  和 2 ˆ J  未相加）的角度看来，这个体系的完备算符集是 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ , , , z z J J J J ，共同本征 态是 1 1 2 2 j m j m , ; , ，Hilbert 空间的总维数是 1 2 (2 1)(2 1) j j + + ；而角动量耦合以后，体系的完备算符 集变成了 2 2 2 1 2 ˆ , , , z J J J J （不难验证它们是两两对易的），共同本征态则记为 1 2 j,m; j , j ，也就是说 2 2 1 2 1 2 J j m j j j j j m j j , ; , ( 1) , ; , , = + 1 2 1 2 ˆ , ; , , ; , , z J j m j j m j m j j = 2 2 1 1 2 1 1 1 2 J j m j j j j j m j j , ; , ( 1) , ; , , = + 2 2 2 1 2 2 2 1 2 J j m j j j j j m j j , ; , ( 1) , ; , . = + 根据叠加原理， 1 2 j,m; j , j 一定是 1 1 2 2 j m j m , ; , 的线性组合： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , , ; , ( , , ; , , ) , ; , , m m j m j j C j j j m m m j m j m =  若采用 Dirac 符号则 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 C j j j m m m j m j m j m j j ( , , ; , , ) , ; , , ; , . = 这些组合系数称为 Clebsch-Gordan (CG) 系数。实际上，从未耦合表象到耦合表象的变换是一个幺正变 换，而 CG 系数就是这个幺正变换的矩阵元。 我们的问题是： j,m 和 1 1 2 2 j m j m , ; , 有什么关系？组合系数 1 2 1 2 C j j j m m m ( , , ; , , ) 是什么？ 以 1 2 ˆ ˆ ˆ z z z J J J = + 作用于上述展开式得到 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , , ; , ( ) ( , , ; , , ) , ; , , m m m j m j j m m C j j j m m m j m j m = +  即是 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , ( ) ( , , ; , , ) , ; , 0, m m  m m m C j j j m m m j m j m − − = 所以 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , , ; , , ) 0. m m m C j j j m m m − − = 这就是说，只有在 m m m = +1 2 的时候才能有 1 2 1 2 C j j j m m m ( , , ; , , ) 0.  其次，在一个特殊的状态下未耦合的本征态和耦合的本征态是相同的，那就是“最大投影态” m = j , m = j , m = j 1 1 2 2 . 注意到