例24.3设x1=V2,xn1=√3+2xn,n=1,2,3…。证明数列{xn}收 敛,并求它的极限。 解首先有0<x<3。设0<x<3,则0<xk=√3+2xk<3,由数 学归纳法,可知对一切n,成立 0<x,<3 由于xn1xn=√3+2xn-x= (3-xn)(1+xn) >0,数列{xn}单调增加且 √3+2xn+xn 有上界,由定理2.4.1可知{x}收敛 设imxn=a,对xn1=√3+2xn两边求极限,得到a=√3+2a,解 n→0 此方程,得到a=3,即 n x例2.4.3 设 x1 = 2 , xn+1 = 3 2 + xn , n = ,3,2,1 "。证明数列{ xn }收 敛，并求它的极限。 解 首先有 30 < x1 < 。设 < < 30 k x ，则 1 0 < k+ x = <+ 323 k x ，由数 学归纳法，可知对一切n ，成立 < xn < 30 。 由于 xn+1 - xn = 3 2 + xn - xn = 0 23 )1)(3( > ++− + nn nn xx xx ，数列{ xn }单调增加且 有上界，由定理2.4.1可知{ xn }收敛。 设lim n→∞ xn = a ，对 xn+1= 3 2 + xn 两边求极限，得到a = 3 2 + a ，解 此方程，得到a = 3，即 lim n→∞ xn = 3