解(1)若f(=)恒取实值,则v=0,又根据()在区域D内解析,知CR条件成立,于是 故u在区域D内为一常数,记u=C(实常数),则∫(=)=+=C为一常数 (2)若f()=+m=u-n在区域D内解析,则 d(-y)_ 又f(=)=l+在区域D内解析,则 au av ou (2) 结合(1)、(2)两式,有 auau av 故u,v在D内均为常数,分别记之为 l1=C1,n2=C2(C,C2为实常数), 则 为一复常数。 (3)若|f()在D内为一常数,记为C1,则n2+y2=C12,两边分别对于x和y求偏导,得 Oy 由于()在D内解析,满足CR条件如=,如=-如代入上式又可写得 au aaaa ax 解得如==0。同理,可解得 ar an 0故u,v均为常数,分别记为u=C=C2,则 f(-)=u+i=C1+C2=C为一复常数 (4)若argz在D内是一个常数C1,则f()≠0,从而f()=+n≠0,且 rgf()=arctan-+T,u<O,v>0 C1-xu<0,v<0 总之对agf()分别关于x和y求偏导,得4 解 （1）若 f ( )z 恒取实值，则v = 0 ，又根据 f (z) 在区域 D 内解析，知 C-R 条件成立，于是 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u ， = 0 ∂ ∂ = − ∂ ∂ x v y u 故 u 在区域 D 内为一常数，记u = C(实常数)，则 f (z) = u + iv = C 为一常数。 （2）若 f ( )z = u + iv = u − iv 在区域 D 内解析，则 ( ) y v y v x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ， ( ) x u x v y u ∂ ∂ = ∂ ∂ − = − ∂ ∂ （1） 又 f ( )z = u + iv 在区域 D 内解析，则 y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ = − ∂ ∂ （2） 结合（1）、（2）两式，有 = 0 ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ vy v x v y u x u ， 故u,v 在 D 内均为常数，分别记之为 ( 为实常数) 1 1 2 2 1 2 u = C , u = C C ,C ， 则 f (z) = u + iv = C1 + iC2 = C 为一复常数。 （3）若| f ( )z |在 D 内为一常数，记为C1 ，则 2 1 2 2 u + v = C ，两边分别对于 x 和 y 求偏导，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 0 2 2 0 y v v y u u x v v x u u 由于 f ( )z 在 D 内解析，满足 C-R 条件 x v y u y v x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , 代入上式又可写得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 y u u x u v y u v x u u 解得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u 。同理，可解得 = 0 ∂ = ∂ ∂ vy v x v 故 u,v 均为常数，分别记为 1 2 u = C ,v = C ，则 f ( )z = u + iv = C1 + iC2 = C 为一复常数。 （4）若arg z 在 D 内是一个常数C1，则 f (z) ≠ 0，从而 f (z) = u + iv ≠ 0 ，且 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − < < + < > > = arctan , 0, 0 arctan , 0, 0 arctan , 0 arg u v u v u v u v u u v f z π π ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < < + < > > = 0, 0 0, 0 1 1 1 1 C u v C u v C u π π 总之对arg f ( )z 分别关于 x 和 y 求偏导，得