If()karana -|f(=) 由于f()=+i为解析函数,故 ax ay 从而 ou o Cx ax ax ( au.av ax ax 2+y)f()=()P 9.证明:柯西-黎曼方程的极坐标形式是 ay i au 证令x=rcos,y= rsin e,利用复合函数求导法则和l,v满足CR条件,得 rsin 0)+-rcos6=-rsin0 +-rcosB r 0)+arcos ae ax ar=cos0+-sin0= cos0+-sin6 os8--rsine rcOS rae 总之,有 au 10.证明:如果函数f(=)=+在区域D内解析,并满足下列条件之一,那么f(-)是常数 (1)∫(=)恒取实值。 (2)f(2)在D内解析。 (3)|f()在D内是一个常数 (4)agf(-)在D内是一个常数。 (5)au+b=c,其中a、b与c为不全为零的实常数。3 ( ) 2 2 | | u v x v v x u u f z x + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ， ( ) 2 2 | | u v y v v y u u f z y + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 由于 f ( )z = u + i v 为解析函数，故 y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ = − ∂ ∂ ， 从而 ( ) ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 | | | | x v u x u u u v f z y f z x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + x u x v uv x v x u uv x v v x u v 2 2 2 2 2 2 ( ) () () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | 1 1 u v f z f z u v x v x u v x v x u u u v + = + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = 9．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ = − ∂ ∂ u r r v 1 证 令 x = r cosθ , y = rsinθ ，利用复合函数求导法则和u,v 满足 C-R 条件，得 cosθ sinθ y u x u r u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) r u r r x u r y u r y v r x v v ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θ θ θ sin cos sin cos 即 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 。又 ( ) θ θ θ sin r cos y u r x u u ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ cosθ sinθ cosθ sinθ x u y u y v x v r v ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θ ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − u r r x u r y u r 1 cos sin 1 总之，有 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ = − ∂ ∂ u r r v 1 。 10．证明：如果函数 f ( )z = u + iv 在区域 D 内解析，并满足下列条件之一，那么 f ( )z 是常数。 （1） f ( )z 恒取实值。 （2） f ( )z 在 D 内解析。 （3）| f ( )z |在 D 内是一个常数。 （4）arg f ( )z 在 D 内是一个常数。 （5） au + bv = c ，其中 a 、b 与 c 为不全为零的实常数