f(x,y)=xsin y--In(1-xy)+g() 再将f0,y)=2siny+y2代入上式,得到 (y)=2 所以 f(x, y)=(2-x)sin y--In(1-xy)+y 19.验证: (1):=-·sm(m满足热传导方程=k9 (2)m= arctan x满足 Laplace方程。++ 证(1)由 ne cos(y), n'e sin(ny), 得到 (my )=k (2)由 2 x2+y2ax2(x2+y2)2 得到 au a2u a 20.设∫(r,)=re*,确定a使得∫满足方程 f 解将1 f ( , x y) x sin y ln(1 xy) g( y) y = − − + , 再将 f (0, y) = 2sin y + y 3 代入上式，得到 3 g y( ) = + 2sin y y ， 所以 3 ln(1 ) 1 ( , ) (2 )sin xy y y f x y = − x y − − + 。 19．验证： （1） e sin( ) 满足热传导方程 2 z ny −kn x = 2 2 y z k x z ∂ ∂ = ∂ ∂ ； （2） y x u = z arctan 满足 Laplace 方程 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u ； 证 （1）由 2 cos( ) z kn x ne ny y ∂ − = ∂ ， 2 2 2 2 sin( ) z kn x n e ny y ∂ − = − ∂ ， 得到 z x ∂ = ∂ 2 2 sin( ) kn x kn e ny − − = 2 2 z k y ∂ ∂ 。 （2）由 u x ∂ = ∂ 2 2 1 1 1 yz z y x y x y ⋅ ⋅ = 2 ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 2 2 u x ∂ = ∂ 2 2 2 ( )2 xyz x y − + ， u y ∂ = ∂ 2 2 2 2 1 1 x xz z y x y x y ⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎜ ⎟ − = − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 u y ∂ = ∂ 2 2 2 ( )2 xyz x + y ， ， u x ∂ = ∂ arctan x y ， 2 2 0 u z ∂ = ∂ ， 得到 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u 。 20．设 t r f r t t 4 2 ( , ) e − = α ，确定α 使得 f 满足方程 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ r f r t r r f 2 2 1 。 解 将 12