解:由已知易见S=L(0,1,0)x,(0,0,1)2)。 可以算出 130 210≠0 于是有S+T=R3,即dim(S+T)=3。 a∈S∩T,由于a∈T,可设a=k1(2+k21 又由于a∈S,便有k1+3k2=0 0 通过计算,可得a=k-5 从而,S∩T=L(0,-5,2))。 Exercise9设a1=3x2+1,a2=x-1,试求F3[]的两个子空间W1 和W2,使得F3]=W1⊕L(a1;a2),且F3ld]=W2+L(a1,a2)但不是直 试讨论 (1)满足条件的W1和W2是否唯一? (2)试将本命题在R3中重新描述,并给出几何解释 解: (1)显然L(a1,a2)的维数是2,故W1的维数是1。从而W1应由一个 不为0的多项式g(x)生成,且g(x)gL(a1,a2)。 可以取g1(x)=1或g2(x)=3x2+x+1,其均不属于L(a1,a2)。 知L(1(x)≠L(2(x),但L(g1(x)L(a1,a2)=L(g2(x)L(a1,a2) F3{x],所以满足条件的W1不唯一。 对于W2,显然其维数应为2或3,故W2可取F3z],也可取L(g1(x),a2) 故取法不唯一。 (2)命题在R3中的重新描述如下 (3,0,1)2,a2=(0,1,-1)2,试求R3中的两个子空间W1和 使得R3=W1L(a1,a2),且R3=W2+L(a1,a2)但不是直和 几何解释如下: W1为1维子空间,由不属于L(a1,a2)平面的某向量生成。 W2为2维或3维子空间。当W2为2维子空间时,其为不与L(a1,a2)注:在线性空间中,任意子空间 重合的平面。当W2为3维子空间时,其为R3。 均含有0,故此时不存在平行平 面的情况 Exercise10设W=L (21)(64) 求M2(F)的一个子 空间W",使得W⊕W"=M2(F)。 解:知M2(F)同构于R4。故只需找到两个线性无关的向量,使之 与a1=(3,1,2,1),a2=(0,1,5,4)构成R4的一组基即可。 法一:观察法。直接观察得到(0,0,1,0)和(0,0,0,1)2。则 0 00解： 由已知易见 S = L((0, 1, 0)T ,(0, 0, 1)T )。 可以算出： ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 3 0 2 1 0 0 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0 于是有 S + T = R 3，即 dim(S + T) = 3。 ∀α ∈ S ∩ T，由于 α ∈ T，可设 α = k1   1 2 0   + k2   3 1 2  。 又由于 α ∈ S，便有 k1 + 3k2 = 0。 通过计算，可得 α = k   0 −5 2  。 从而，S ∩ T = L((0, −5, 2)T )。 Exercise 9 设 α1 = 3x 2 + 1，α2 = x−1，试求 F3[x] 的两个子空间 W1 和 W2，使得 F3[x] = W1 ⊕ L(α1, α2)，且 F3[x] = W2 + L(α1, α2) 但不是直 和。 试讨论： (1) 满足条件的 W1 和 W2 是否唯一？ (2) 试将本命题在 R 3 中重新描述，并给出几何解释。 解： (1) 显然 L(α1, α2) 的维数是 2，故 W1 的维数是 1。从而 W1 应由一个 不为 0 的多项式 g(x) 生成，且 g(x) ∈/ L(α1, α2)。 可以取 g1(x) = 1 或 g2(x) = 3x 2 + x + 1，其均不属于 L(α1, α2)。 知 L(g1(x)) 6= L(g2(x))，但 L(g1(x)) ⊕ L(α1, α2) = L(g2(x)) ⊕ L(α1, α2) = F3[x]，所以满足条件的 W1 不唯一。 对于 W2，显然其维数应为 2 或 3，故 W2 可取 F3[x]，也可取 L(g1(x), α2)。 故取法不唯一。 (2) 命题在 R 3 中的重新描述如下： α1 = (3, 0, 1)T，α2 = (0, 1, −1)T，试求 R 3 中的两个子空间 W1 和 W2， 使得 R 3 = W1 ⊕ L(α1, α2)，且 R 3 = W2 + L(α1, α2) 但不是直和。 几何解释如下： W1 为 1 维子空间，由不属于 L(α1, α2) 平面的某向量生成。 W2 为 2 维或 3 维子空间。当 W2 为 2 维子空间时，其为不与 L(α1, α2) 注：在线性空间中，任意子空间 均含有 0，故此时不存在平行平 面的情况。 重合的平面。当 W2 为 3 维子空间时，其为 R 3。 Exercise 10 设 W = L µµ 3 1 2 1 ¶ , µ 0 1 5 4 ¶¶，求 M2(F) 的一个子 空间 W0，使得 W ⊕ W0 = M2(F)。 解： 知 M2(F) 同构于 R 4。故只需找到两个线性无关的向量，使之 与 α1 = (3, 1, 2, 1)T , α2 = (0, 1, 5, 4)T 构成 R 4 的一组基即可。 法一：观察法。直接观察得到 (0, 0, 1, 0)T 和 (0, 0, 0, 1)T。则 W0 = L µµ 0 0 1 0 ¶ , µ 0 0 0 1 ¶¶ 3