第1次讨论课 Exercise a,b,c是三个不同的数,用x-a,x-b,x-c除一元多项 式∫(x)的余式依次为r,s,t,试求用g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)除f(x)的 余式 解:设f(x)=q(x)g(x)+r(x),则可设r(x)=a2x2+a1x+ao, 由于9(x)是三次多项式, 故,r(x)不超过二次 WW(a)=f(a=r, r(b)=f(b)=s, r(c)=f(c)=t 由于g(a)=g(b)=9(c)=0 故有如下方程组 abc 容易通过这个方程组解出a0,a1,a2的值,从而得到r(x) Exercise2求p,q,r之间的关系,使得x3+px2+qx+r的根成等比 数列 解:设x3+px2+gx+r的三个根分别为a,xo,aro,则有x3+px2 qr +r=(a-0)(a-co)(a-aco). 将右式展开,便有: +ro+ar 由此,便有()3=r Exercise3如果任意多项式或者与多项式p(x)互素,或者能被p(x)整 试证明p(x)不可约。 证明:用反证法。 假设p(x)可约,则不妨设p(x)=1(x)p2(x),其中,degp(x)<degp(x) i=1,2。从而p1(x)既不与p(x)互素,又不能被p(x)整除。矛盾! 故,p(x)不可约。证毕 Exercise4集合Rn={(a1,a2,…,an)|a;∈R}关于矩阵的加法和数 (1)是否构成有理数域上的线性空间? (2)是否构成复数域上的线性空间? 解:(1)显然,Rη关于矩阵的加法和数乘,构成有理数域上的线性空由于Rn对于实数域构成线性空 间 间,而有理数域包含于实数域 因此其对于有理数域必构成线性
第 1 次讨论课 Exercise 1 设 a, b, c 是三个不同的数，用 x − a, x − b, x − c 除一元多项 式 f(x) 的余式依次为 r, s, t，试求用 g(x) = (x − a)(x − b)(x − c) 除 f(x) 的 余式。 解： 设 f(x) = q(x)g(x) + r(x)，则可设 r(x) = a2x 2 + a1x + a0， 由 于 g(x) 是 三 次 多 项 式 ， 故，r(x) 不超过二次。 则 r(a) = f(a) = r，r(b) = f(b) = s，r(c) = f(c) = t。 由于 g(a) = g(b) = g(c) = 0。 故有如下方程组： 1 a a2 1 b b2 1 c c2 a0 a1 a2 = r s t 容易通过这个方程组解出 a0, a1, a2 的值，从而得到 r(x)。 Exercise 2 求 p, q, r 之间的关系，使得 x 3 + px2 + qx + r 的根成等比 数列。 解： 设 x 3 + px2 + qx + r 的三个根分别为 x0 a , x0, ax0，则有 x 3 + px2 + qx + r = (x − x0 a )(x − x0)(x − ax0)。 将右式展开，便有： p = −( x0 a + x0 + ax0) q = x 2 0 a + x 2 0 + ax2 0 r = −x 3 0 由此，便有 ( q p ) 3 = r。 Exercise 3 如果任意多项式或者与多项式 p(x) 互素，或者能被 p(x) 整 除，试证明 p(x) 不可约。 证明： 用反证法。 假设 p(x) 可约，则不妨设 p(x) = p1(x)p2(x)，其中，deg pi(x) < deg p(x), i = 1, 2。从而 p1(x) 既不与 p(x) 互素，又不能被 p(x) 整除。矛盾！ 故，p(x) 不可约。证毕。 Exercise 4 集合 R n = {(a1, a2, . . . , an) T |ai ∈ R} 关于矩阵的加法和数 乘 (1) 是否构成有理数域上的线性空间？ (2) 是否构成复数域上的线性空间？ 解： (1) 显然，R n 关于矩阵的加法和数乘，构成有理数域上的线性空 由于 R n 对于实数域构成线性空 间，而有理数域包含于实数域， 因此其对于有理数域必构成线性 空间。 间。 1
(2)R关于矩阵的加法和数乘,不构成复数域上的线性空间。 显然Rn对矩阵的加法成Abel群,但对于定义在复数域上的数乘不封 闭。例如,a∈R”,A=i∈C,但MagR”。 Exercise5如果向量a不在子空间S中,但是在向量β和S生成的 子空间中,试证明β必在a和S生成的子空间中 证明:设向量B和S生成的子空间是L(B,S),则已知agS但a∈ L(B,S),故可以设α=kB+7,其中,∈S,且可知k≠0 若k=0,推出a∈S,矛盾。 因此,B=a-Y∈L(a,S)。证毕 Exercise6设W,W1,W2都是线性空间V的子空间,其中W1∈W2, 且W∩W1=W∩W2,W+W1=W+W2。试证明W1=W2 证明1:只需证W2CW1,即证:a∈W2都有a∈W1 已知W+W1=W+W2,则可知存在B∈W1,T∈W,使得a=B+y 又已知W1cW2,故B∈W2。从而,有a-B=y∈W∩W2 再由已知W∩W1=W∩W2得a-B∈W∩W1cW1,从而a∈W 所以,W1=W2。证毕。 证明2:根据维数定理,可得 此证明方法只适用于有限维情 W+ W+ W∩W=W2}→dmW=dmW2 不妨设dimW1=r,a1,a2,,ar是W1的一组基。那么,a1,a2,,a 在V中线性无关 由W1cW2,有 又由于dimV2=r以及a1,a2,,a,在V中线性无关,那么a1,a2,,ar 也是W2的一组基 故对于va∈W2,a可表示为a1,a2,,ar的线性组合,从而 所以,W1=W2。证毕 Exercise7设W1,W2是数域F上V的两个子空间,a,B∈v,其 中a∈W2但agW1,又BgW2,证明 (1)k∈F,B+kagW2 (2)至多有一个k∈F,使得B+ka∈W1 证明:(1)用反证法 假设存在一个k∈F,使得B+ka∈W2,设y=B+ka,则由a,T∈W2 有B=y-ka∈W2。矛盾。 故Wk∈F,B+kagW2。证毕 (2)用反证法。 假设存在k1,k2∈F且k1≠k2,使得B+ka∈W1,i=1,2。则B+ k1a-(日+k2a)=(k1-k2)a∈W1,于是a∈W1。矛盾 此,至多有一个k∈F,使得B+ka∈W1。证毕 Exercise8设S和T都是R3的子空间,其中S是形如(0.,x2,x3) 的向量构成的,T=L(1,2,0)2,(3,1,2)),试求S∩T和S+T,并求它们 的维数
(2) R n 关于矩阵的加法和数乘，不构成复数域上的线性空间。 显然 R n 对矩阵的加法成 Abel 群，但对于定义在复数域上的数乘不封 闭。例如，a ∈ R n，λ = i ∈ C，但 λa ∈/ R n。 Exercise 5 如果向量 α 不在子空间 S 中，但是在向量 β 和 S 生成的 子空间中，试证明 β 必在 α 和 S 生成的子空间中。 证明： 设向量 β 和 S 生成的子空间是 L(β, S)，则已知 α ∈/ S 但 α ∈ L(β, S)，故可以设 α = kβ + γ，其中，γ ∈ S，且可知 k 6= 0。 若 k = 0，推出 α ∈ S，矛盾。 因此，β = 1 k α − 1 k γ ∈ L(α, S)。证毕。 Exercise 6 设 W, W1, W2 都是线性空间 V 的子空间，其中 W1 ⊆ W2， 且 W ∩ W1 = W ∩ W2，W + W1 = W + W2。试证明 W1 = W2。 证明 1： 只需证 W2 ⊆ W1，即证：∀α ∈ W2 都有 α ∈ W1。 已知 W +W1 = W +W2，则可知存在 β ∈ W1, γ ∈ W，使得 α = β+γ。 又已知 W1 ⊆ W2，故 β ∈ W2。从而，有 α − β = γ ∈ W ∩ W2。 再由已知 W ∩ W1 = W ∩ W2 得 α − β ∈ W ∩ W1 ⊆ W1，从而 α ∈ W1。 所以，W1 = W2。证毕。 证明 2： 根据维数定理，可得 此证明方法只适用于有限维情 况。 W + W1 = W + W2 W ∩ W1 = W ∩ W2 ¾ ⇒ dim W1 = dim W2。 不妨设 dim W1 = r，α1, α2, . . . , αr 是 W1 的一组基。那么，α1, α2, . . . , αr 在 V 中线性无关。 由 W1 ⊆ W2，有 α1, α2, . . . , αr ∈ W2。 又由于 dim W2 = r 以及 α1, α2, . . . , αr 在 V 中线性无关，那么 α1, α2, . . . , αr 也是 W2 的一组基。 故对于 ∀α ∈ W2，α 可表示为 α1, α2, . . . , αr 的线性组合，从而 α ∈ W1。 所以，W1 = W2。证毕。 Exercise 7 设 W1, W2 是数域 F 上 V 的两个子空间，α, β ∈ V，其 中 α ∈ W2 但 α ∈/ W1，又 β ∈/ W2，证明： (1) ∀k ∈ F，β + kα ∈/ W2； (2) 至多有一个 k ∈ F，使得 β + kα ∈ W1。 证明： (1) 用反证法。 假设存在一个 k ∈ F，使得 β+kα ∈ W2，设 γ = β+kα，则由 α, γ ∈ W2 有 β = γ − kα ∈ W2。矛盾。 故 ∀k ∈ F，β + kα ∈/ W2。证毕。 (2) 用反证法。 假设存在 k1, k2 ∈ F 且 k1 6= k2，使得 β + kiα ∈ W1, i = 1, 2。则 β + k1α − (β + k2α) = (k1 − k2)α ∈ W1，于是 α ∈ W1。矛盾。 因此，至多有一个 k ∈ F，使得 β + kα ∈ W1。证毕。 Exercise 8 设 S 和 T 都是 R 3 的子空间，其中 S 是形如 (0, x2, x3) T 的向量构成的，T = L((1, 2, 0)T ,(3, 1, 2)T )，试求 S ∩ T 和 S + T，并求它们 的维数。 2
解:由已知易见S=L(0,1,0)x,(0,0,1)2)。 可以算出 130 210≠0 于是有S+T=R3,即dim(S+T)=3。 a∈S∩T,由于a∈T,可设a=k1(2+k21 又由于a∈S,便有k1+3k2=0 0 通过计算,可得a=k-5 从而,S∩T=L(0,-5,2))。 Exercise9设a1=3x2+1,a2=x-1,试求F3[]的两个子空间W1 和W2,使得F3]=W1⊕L(a1;a2),且F3ld]=W2+L(a1,a2)但不是直 试讨论 (1)满足条件的W1和W2是否唯一? (2)试将本命题在R3中重新描述,并给出几何解释 解: (1)显然L(a1,a2)的维数是2,故W1的维数是1。从而W1应由一个 不为0的多项式g(x)生成,且g(x)gL(a1,a2)。 可以取g1(x)=1或g2(x)=3x2+x+1,其均不属于L(a1,a2)。 知L(1(x)≠L(2(x),但L(g1(x)L(a1,a2)=L(g2(x)L(a1,a2) F3{x],所以满足条件的W1不唯一。 对于W2,显然其维数应为2或3,故W2可取F3z],也可取L(g1(x),a2) 故取法不唯一。 (2)命题在R3中的重新描述如下 (3,0,1)2,a2=(0,1,-1)2,试求R3中的两个子空间W1和 使得R3=W1L(a1,a2),且R3=W2+L(a1,a2)但不是直和 几何解释如下: W1为1维子空间,由不属于L(a1,a2)平面的某向量生成。 W2为2维或3维子空间。当W2为2维子空间时,其为不与L(a1,a2)注:在线性空间中,任意子空间 重合的平面。当W2为3维子空间时,其为R3。 均含有0,故此时不存在平行平 面的情况 Exercise10设W=L (21)(64) 求M2(F)的一个子 空间W",使得W⊕W"=M2(F)。 解:知M2(F)同构于R4。故只需找到两个线性无关的向量,使之 与a1=(3,1,2,1),a2=(0,1,5,4)构成R4的一组基即可。 法一:观察法。直接观察得到(0,0,1,0)和(0,0,0,1)2。则 0 00
解： 由已知易见 S = L((0, 1, 0)T ,(0, 0, 1)T )。 可以算出： ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 3 0 2 1 0 0 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0 于是有 S + T = R 3，即 dim(S + T) = 3。 ∀α ∈ S ∩ T，由于 α ∈ T，可设 α = k1 1 2 0 + k2 3 1 2 。 又由于 α ∈ S，便有 k1 + 3k2 = 0。 通过计算，可得 α = k 0 −5 2 。 从而，S ∩ T = L((0, −5, 2)T )。 Exercise 9 设 α1 = 3x 2 + 1，α2 = x−1，试求 F3[x] 的两个子空间 W1 和 W2，使得 F3[x] = W1 ⊕ L(α1, α2)，且 F3[x] = W2 + L(α1, α2) 但不是直 和。 试讨论： (1) 满足条件的 W1 和 W2 是否唯一？ (2) 试将本命题在 R 3 中重新描述，并给出几何解释。 解： (1) 显然 L(α1, α2) 的维数是 2，故 W1 的维数是 1。从而 W1 应由一个 不为 0 的多项式 g(x) 生成，且 g(x) ∈/ L(α1, α2)。 可以取 g1(x) = 1 或 g2(x) = 3x 2 + x + 1，其均不属于 L(α1, α2)。 知 L(g1(x)) 6= L(g2(x))，但 L(g1(x)) ⊕ L(α1, α2) = L(g2(x)) ⊕ L(α1, α2) = F3[x]，所以满足条件的 W1 不唯一。 对于 W2，显然其维数应为 2 或 3，故 W2 可取 F3[x]，也可取 L(g1(x), α2)。 故取法不唯一。 (2) 命题在 R 3 中的重新描述如下： α1 = (3, 0, 1)T，α2 = (0, 1, −1)T，试求 R 3 中的两个子空间 W1 和 W2， 使得 R 3 = W1 ⊕ L(α1, α2)，且 R 3 = W2 + L(α1, α2) 但不是直和。 几何解释如下： W1 为 1 维子空间，由不属于 L(α1, α2) 平面的某向量生成。 W2 为 2 维或 3 维子空间。当 W2 为 2 维子空间时，其为不与 L(α1, α2) 注：在线性空间中，任意子空间 均含有 0，故此时不存在平行平 面的情况。 重合的平面。当 W2 为 3 维子空间时，其为 R 3。 Exercise 10 设 W = L µµ 3 1 2 1 ¶ , µ 0 1 5 4 ¶¶，求 M2(F) 的一个子 空间 W0，使得 W ⊕ W0 = M2(F)。 解： 知 M2(F) 同构于 R 4。故只需找到两个线性无关的向量，使之 与 α1 = (3, 1, 2, 1)T , α2 = (0, 1, 5, 4)T 构成 R 4 的一组基即可。 法一：观察法。直接观察得到 (0, 0, 1, 0)T 和 (0, 0, 0, 1)T。则 W0 = L µµ 0 0 1 0 ¶ , µ 0 0 0 1 ¶¶ 3
法二:取与a1,a2正交的两个向量a3=(x3,x2,x3,x3),a4=(x1,x2,x3,x4) 于是,对于i=3,4,有 3xi+x2+2x3+r4=0 x2=-5x3-44 x2+5x3+4x4=0 r3+x4 因此,可以得到a3=(1,-5,1,0)2,a4=(1,-4,0,1)2,故有
法二：取与 α1, α2 正交的两个向量 α3 = (x 3 1 , x3 2 , x3 3 , x3 4 ) T , α4 = (x 4 1 , x4 2 , x4 3 , x4 4 ) T。 于是，对于 i = 3, 4，有 ½ 3x i 1 + x i 2 + 2x i 3 + x i 4 = 0 x i 2 + 5x i 3 + 4x i 4 = 0 =⇒ ½ x i 2 = −5x i 3 − 4x i 4 x i 1 = x i 3 + x i 4 因此，可以得到 α3 = (1, −5, 1, 0)T , α4 = (1, −4, 0, 1)T，故有 W0 = L µµ 1 −5 1 0 ¶ , µ 1 −4 0 1 ¶¶ 4