1208 作业: 1724,25,26,27,29 看书 121-1 126 答疑时间:周二周五下午3:30-5:30; 地点:理学院数学楼1108室或大厅
1 看书： P P 121 126 − 177 P 24, 25, 26, 27, 29 . 作业： 答疑时间：周二,周五 下午 3:30-5:30； 地点: 理学院数学楼1108室 或大厅。 1208
§4特征值和特征向量 §4-1线性变换的特征值和特征向量 定义11:设o是Vn(F)上的线性变换,若对 入∈F,存在非零向量,使得5=5 则称是线性变换σ的一个特征值, 5是的属于特征值的特征向量。 定义12:Vx=∈5=号}称为线性变换 o的属于特征值λ的特征子空间。特征子 空间V的维数叫做特征值λ的几何重数
2 §4 特征值和特征向量 11 ( ) , V F n F = 定义 ：设 是 上的线性变换，若对 存在非零向量 ，使得 ， 空间 的维数叫做特征值 的几何重数。 的属于特征值 的特征子空间。特征子 定义 ： 称为线性变换 = = V 12 V { V } §4-1 线性变换的特征值和特征向量 则称 是线性变换 的一个特征值， 是 的属于特征值 的特征向量
V∈,O=入O∈顸, 7是σ的不变子空闻 example:设W是o的_维不变子空间则中 任一非零向量是o的特征向量;反之,每 个特征向量生成一个o的一维不变子空间 pOof:=∷V∈W,o∈W,α=a 反之,任特征向量α生成L(a,且Ⅴβ∈L(x), 有β=kox,o(kax)=kox=k入a∈L(x) 设5,52…,5是V的一组基,则L(5) (i=1,…,r)均是σ的一维不变子空间
3 , ( ) ( ). ( ) ( ) : , , . = = = = k k k k L L L proof W W 有 反之，任特征向量 生成 ，且 ， . , , 是的不变子空间 = V V V 均是 的一维不变子空间， 设 ， ， 是 的一组基 则 ( 1, , ) , , ( ) 1 2 i r r V L i = example W W 1: , 设 是的一维不变子空间 则 中 任一非零向量是的特征向量；反之，每一 个特征向量生成一个的一维不变子空间
od=na bAX=aX 以下介绍怎样求σ的特征值和特征向量: (设G在中一组基G,62…,bn下的矩阵为A) va∈V,有o=A分(o-A8)=0 Vi=Ker(o-na) 而ker(o-入E)≠{O} >(A-1X=0有非零解 <>det(A-X1)=0 数λ是σ的特征值令λ满足de(A-A)=0
4 ( ) ( ) ( ). V = L 1 L 2 L r ( ). ( ) 0 = − = − = V Ker V ，有 det( ) 0. ( ) 0 ( ) {0} − = − = − A I A I X Ker 有非零解 而 数是的特征值满足det(A−I) = 0. 设 在 中一组基 下的矩阵为 ） 以下介绍怎样求 的特征值和特征向量 ( V , , , n . A : 1 2 = = AX X
det(A-,l)=det P(A-AP =det(PAP-入1)=det(B-入/)2 det(A-λD)与基的选取无关 定义13:多项式f4()=de(A-)称为G的 特征多项式,它的根称为σ的特征根 定义:设A∈Mn(F,o是上的线性变换, f(X)=anXm+…+a1X+a是F上多项式, 若f(4)=anm+…+a1A+an=0, f(o) o"+∴+a1,O+aLE=0 9 则称f(X)是(或4)化零多项式
5 det( ) . det( ) det( ), det( ) det ( ) 1 1 A I 与基的选取无关 P AP I B I A I P A I P − = − = − − = − − − . 13 ( ) det( ) 特征多项式，它的根称为 的特征根 定义 ：多项式 称为 的 f A = A− I 1 0 : ( ), ( ) , n m m A M F V f X a X a X a F = + + + 定义 设 是 上的线性变换， 是 上多项式 1 0 1 0 ( ) 0, ( ) 0, ( ) ( ) . m m m m f A a A a A a I f a a a f X A = + + + = = + + + = 若 则称 是 或 的化零多项式
Hamilton- Cayley定理: 4-2 设fA()=det(入I-A4),则fA(A)=0 proof:设B()=(x-A)则有 B()(X-A)=入l-A1=f() B()=Bn1+2Bn-2+…+Bo 又设f()=”+an1”+…+a1+ao 则由(xnBn1+x2Bn2+…+B0)(入-A) =(+an-12+…+a1+a0)1 展开比较两边同次项系数得
6 () = det( − ), ( ) = 0. − f I A f A Hamilton Cayley 设 A 则 A 定理： 2 0, 2 1 1 ( ) ( )( ) ( ) . : ( ) ( ) B B B B B I A I AI f I proof B I A n n n n A = + + + − = − = = − − − − − 记 设 则有 a a a I B B B I A f a a a n n n n n n n n n n A ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 2 0 2 1 1 1 0, 1 1 = + + + + + + + − = + + + + − − − − − − − − 则由（ ） 又设展开比较两边同次项系数,得 §4-2
B B-B.A=a Bo-BA=a,I A BoA=a0/ 0=A+an-A"+.+a,A+a0=f(a 推论:设。是V上的线性变换,f4(入)是 o的特征多项式,则f(o)=0
7 − = − = − = = − − − − − B A a I I B B A a I A B B A a I A B I A n n n n n n 0 0 0 1 1 1 2 1 1 1 0 ( ). 1 0 1 A a 1 A a A a f A A n n n = + + + + = − − 得 , ( ) 0. , ( ) = f V f A 的特征多项式 则 推论：设 是 上的线性变换 是
§4-3极小多项式 定义14:σ(或A的化零多项式中次数最低的 首一多项式称为(或4)的极小多项式,记为 ^)或mn(入 定理8:对任一线性变换σ,极小多项式 存在且唯一;又∨f(xX)∈F[X], f(X)是a的化零多项式分m(X)f(X) poC:diL(V)=n2,对vo∈L(V, 8,0,O,O 中最多有n2个线性无关
8 §4-3 极小多项式 ( ) ( ). ( ) , 14 ( ) m m A A A 或 首一多项式称为 或 的极小多项式 记为 定义 ： 或 的化零多项式中次数最低的 ( ) [ ], ( ) ( ) ( ). A f X F X f X m X f X 定理8：对任一线性变换 ，极小多项式 存在且唯一；又 是 的化零多项式 ， ， ， ， 中最多有 个线性无关。 对 ， 2 3 2 2 : dim ( ) , ( ) n proof L V n L V =
从前向后,必存在d,使 e,σ,∝2,,od线性无关 而σ4可由前d个线性表出: o=aC+ao+ao+.tad-10d-1 于是m(X)=X-an1841-…-a1X-a 是o的化零多项式,且次数最低。 下证:f(a)=0÷m(X)f(X 显然; →若f(a)=0,Vf(X)∈FX,由带余除法有
9 1 1 2 0 1 2 2 1 : , , − − − = + + + + d d d d d a a a a d d 而 可由前 个线性表出 ， ， ， ， 线性无关 从前向后，必存在 使 f ( ) 0 m (X) f (X). 下证： = A 是 的化零多项式，且次数最低。 于是 1 0 1 1 m(X) X a X a X a d d d = − − − − − − 若 f ( ) = 0, f (X)F[X], 由带余除法有 显然；
f(x=m,(X)g(X+r(X), r=ooxdegrf(B)=0.化零多项式同 mA(A)=0今mA(B)=0 极小多项式同
10 f (X) = mA (X)q(X)+ r(X), r = 0或degr d 9 A B, m (X) m (X). 定理 ：若 相似 则 A = B ( ) 0 ( ) 0. ( ) 0 ( ) 0. ( ) ( ) ( ) 1 1 = = = = = = − − m A m B f A f B P f A P f P AP f B A A ( ) ( ). deg ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m X f X m X r X f m q r r A A A 即 最低，知 ， 则 = = = + = 化零多项式同 极小多项式同 推论：的极小多项式是特征多项式的因子